Qing-Rui Wang - Teachings

课表、人物故事与投影当前开放至 2026 年 11 月 4 日。手机上可左右滑动查看完整表格。

周次与日期	上课内容	人物与材料
第 1 周周一，9 月 14 日	统计力学导论
第 1 周周三，9 月 16 日	微观态与统计平均；微正则系综与等概率假设；Boltzmann 熵与热力学第二定律	Ludwig Eduard Boltzmann 课后阅读 / 全屏投影
第 2 周周一，9 月 21 日	温度与热平衡；热容与热力学稳定性；二能级系统、Stirling 近似与负温度	Rudolf Julius Emanuel Clausius 课后阅读 / 全屏投影
第 2 周周三，9 月 23 日	压强、体积与热力学第一定律；正则系综、Boltzmann 分布与配分函数；能量涨落、系综等价与二能级系统	Josiah Willard Gibbs 课后阅读 / 全屏投影
第 3 周周一，9 月 28 日	Gibbs 熵及 Shannon、von Neumann、Rényi 熵；自由能与 Legendre 变换；系综等价与最大熵原理	John Joseph Hopfield Geoffrey Everest Hinton 课后阅读 / 全屏投影
第 3 周周三，9 月 30 日	化学势与巨正则系综；巨配分函数、粒子数涨落与巨热力学势；广延量与 Euler 关系	Ryogo Kubo 课后阅读 / 全屏投影
第 4 周周一，10 月 5 日	国庆假期，停课
第 4 周周三，10 月 7 日	国庆假期，停课
第 5 周周一，10 月 12 日	经典相空间与配分函数；热德布罗意波长；理想气体与能量均分定理	Elliott Hershel Lieb 课后阅读 / 全屏投影
第 5 周周三，10 月 14 日	理想气体熵、不可分辨性与 Gibbs 佯谬；混合熵；巨正则理想气体、化学势与粒子数涨落；Maxwell–Boltzmann 速率分布	James Clerk Maxwell 课后阅读 / 全屏投影
第 6 周周一，10 月 19 日	Maxwell 的分布推导；分子运动论与气体压强；双原子气体的经典平动、转动、振动与热容；自由度冻结问题	Paul Ehrenfest Tatyana Afanasyeva-Ehrenfest 课后阅读 / 全屏投影
第 6 周周三，10 月 21 日	Lennard–Jones 势与相互作用气体；Mayer $f$ 函数与第二维里系数；van der Waals 状态方程	Johannes Diderik van der Waals 课后阅读 / 全屏投影
第 7 周周一，10 月 26 日	Debye–Hückel 屏蔽与 Debye 长度；量子态计数、求和变积分；三维非相对论与相对论粒子的态密度调整前：簇展开、逸度与巨正则处理；由簇积分得到维里系数原计划：相互作用气体导论；Mayer 函数与维里展开	Paul Adrien Maurice Dirac 课后阅读 / 全屏投影原计划：杨振宁、李政道
第 7 周周三，10 月 28 日	一、二、三维态密度；Planck 分布、Wien 位移律与 Stefan–Boltzmann 定律；光子气热力学与紫外灾难；太阳光谱与宇宙微波背景调整前：Debye 屏蔽；量子气体、态密度与求和变积分；非相对论与相对论粒子的态密度原计划：van der Waals 修正与真实气体状态方程	Max Karl Ernst Ludwig Planck 课后阅读 / 全屏投影原计划：Paul Adrien Maurice Dirac
第 8 周周一，11 月 2 日	Einstein 与 Debye 模型；声子态密度与 Debye 温度；固体热容的高温经典极限与低温 $T^3$ 定律调整前：光子气与 Planck 分布；黑体辐射与 Stefan–Boltzmann 定律原计划：簇展开、逸度与巨正则处理	Peter Joseph William Debye 课后阅读 / 全屏投影原计划：Max Karl Ernst Ludwig Planck
第 8 周周三，11 月 4 日	双原子气体的量子转动与振动；自由度冻结调整前：Debye 模型、声子与固体低温热容原计划：Debye 屏蔽	Albert Einstein 课后阅读 / 全屏投影原计划：Peter Joseph William Debye
第 9 周周一，11 月 9 日	期中考试
第 9 周周三，11 月 11 日	期中讲评；理想 Bose 气体与 Bose–Einstein 分布；高温经典极限调整前：转动与振动自由度、冻结效应与双原子分子热容原计划：量子气体、态密度与求和变积分	Satyendra Nath Bose 课后阅读 / 全屏投影原计划：Albert Einstein
第 10 周周一，11 月 16 日	Bose–Einstein 凝聚；临界温度、凝聚比例与热容调整前：理想 Bose 气体与 Bose–Einstein 分布；高温经典极限原计划：非相对论与相对论粒子的态密度	Nikolay Nikolayevich Bogoliubov 课后阅读 / 全屏投影原计划：Satyendra Nath Bose
第 10 周周三，11 月 18 日	Fermi–Dirac 分布与理想 Fermi 气体；零温极限、费米能与费米面调整前：Bose–Einstein 凝聚；临界温度、凝聚比例与热容；凝聚内容结束后介绍 Bogoliubov 的超流与准粒子工作原计划：光子气、黑体辐射与 Stefan–Boltzmann 定律	Enrico Fermi 课后阅读 / 全屏投影原计划：Nikolay Nikolayevich Bogoliubov
第 11 周周一，11 月 23 日	低温 Fermi 气体、Sommerfeld 展开、热容与简并压调整前：Fermi–Dirac 分布与理想 Fermi 气体；零温极限与费米能原计划：Debye 模型、声子与固体低温热容	Philip Warren Anderson 课后阅读 / 全屏投影原计划：Enrico Fermi
第 11 周周三，11 月 25 日	白矮星、Chandrasekhar 极限与 Pauli 顺磁性调整前：低温 Fermi 气体、热容与简并压原计划：转动与振动自由度、冻结效应、双原子分子热容	Wolfgang Ernst Friedrich Pauli 课后阅读 / 全屏投影原计划：Philip Warren Anderson
第 12 周周一，11 月 30 日	Landau 能级、轨道抗磁性与磁场中的电子调整前：白矮星、Chandrasekhar 极限与 Pauli 顺磁性原计划：理想 Bose 气体、Bose–Einstein 分布与凝聚	Lev Davidovich Landau 课后阅读 / 全屏投影原计划：Wolfgang Ernst Friedrich Pauli
第 12 周周三，12 月 2 日	热力学第零、第一与第二定律；Carnot 循环与热力学温标；热力学势、Maxwell 关系与第三定律调整前：Landau 能级、轨道抗磁性与磁场中的电子原计划：Fermi–Dirac 分布与理想 Fermi 气体	Nicolas Léonard Sadi Carnot 课后阅读 / 全屏投影原计划：Lev Davidovich Landau
第 13 周周一，12 月 7 日	液–气相平衡、Maxwell 等面积构造、Clapeyron 关系与临界点调整前：Carnot 循环、第二定律与热力学势原计划：低温 Fermi 气体、费米能、热容与简并压	Michael Ellis Fisher 课后阅读 / 全屏投影原计划：Nicolas Léonard Sadi Carnot
第 13 周周三，12 月 9 日	Ising 模型与平均场理论；临界指数与平均场近似的适用范围调整前：液–气相平衡、Clapeyron 关系与热力学应用原计划：白矮星、Chandrasekhar 极限与 Pauli 顺磁性	Giorgio Parisi 课后阅读 / 全屏投影原计划：Michael Ellis Fisher
第 14 周周一，12 月 14 日	补充：一维近邻 Ising 模型的转移矩阵解与有限温度下无相变调整前：相变与临界现象；Ising 模型与平均场理论原计划：Landau 能级、轨道抗磁性与磁场中的电子	Rodney James Baxter 课后阅读 / 全屏投影原计划：Giorgio Parisi
第 14 周周三，12 月 16 日	补充：二维 Ising 模型；Peierls 论证、Kramers-Wannier 对偶与临界温度调整前：Landau 理论、序参量、临界指数与普适性原计划：Carnot 循环、第二定律与热力学势	Lars Onsager 课后阅读 / 全屏投影原计划：Leo Philip Kadanoff
第 15 周周一，12 月 21 日	Landau 理论与序参量；一级、二级相变与临界指数；普适性调整前：补充：一维近邻 Ising 模型的转移矩阵解与有限温度下无相变原计划：相平衡、Clapeyron 关系与热力学应用	Leo Philip Kadanoff 课后阅读 / 全屏投影原计划：Rodney James Baxter
第 15 周周三，12 月 23 日	相变与配分函数的解析性；热力学极限与 Lee–Yang 零点调整前：补充：二维 Ising 模型；Peierls 论证、Kramers-Wannier 对偶与临界温度原计划：相变、临界现象；Ising 模型与平均场理论	杨振宁、李政道课后阅读 / 全屏投影原计划：Lars Onsager
第 16 周周一，12 月 28 日	补充：Landau-Ginzburg 理论、关联长度与临界涨落原计划：Landau 理论、序参量、临界指数与普适性	Kenneth Geddes Wilson 课后阅读 / 全屏投影
第 16 周周三，12 月 30 日	课程总结与期末复习；综合题、答疑与机动补讲原计划：拓展专题	Vadim Lvovich Berezinskii John Michael Kosterlitz David James Thouless 课后阅读 / 全屏投影

01 · 9 月 16 日（周三） · Ludwig Boltzmann

从原子运动到熵：统计力学的奠基者

课程内容：微观态、宏观态与热平衡；微正则系综；微观状态数与熵

课堂共看

微观运动可以逆转，宏观热现象为什么有明确的方向？

同一个宏观状态，可以由许多不同的微观状态实现。
Boltzmann 把熵与微观态数联系起来，建立第二定律的统计解释。
从他对原子论的坚持，再认识加州游记中幽默而亲切的物理学家。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Ludwig Boltzmann（1844–1906）

Ludwig Eduard Boltzmann（1844 年 2 月 20 日—1906 年 9 月 5 日）是奥地利理论物理学家，统计力学的主要奠基者之一。他用原子和分子的统计规律解释宏观热现象，为热力学第二定律提供了统计解释。

早年与求学

他出生于维也纳，十岁以前在家接受教育，随后就读于上奥地利州林茨的高中。十五岁时，父亲去世。1863 年，他进入维也纳大学学习数学与物理，1866 年获博士学位，师从 Josef Stefan。

学术生涯

1869 年，年仅 25 岁的他成为格拉茨大学数学物理教授，后来还在维也纳、慕尼黑和莱比锡任教。他也讲授自然哲学，学生包括 Paul Ehrenfest 和 Lise Meitner。

主要学术贡献：从微观运动到宏观热现象

Boltzmann 把宏观热现象与微观粒子运动联系起来：研究气体怎样趋于平衡、平衡时各微观态如何分配概率、热能怎样分布，并用微观态计数与概率解释熵和热力学第二定律。

1. 熵与第二定律的统计解释

同样的宏观状态，可以由许多不同的粒子位置和动量安排实现。1877 年，Boltzmann 通过计数这些实现方式，把热力学中的熵与微观状态联系起来。用现代记号写为：

$S = k_{B} \ln Ω$

这里，Ω 是在给定能量、体积和粒子数等约束下，与所选宏观状态相容的微观态数，k_B 是 Boltzmann 常数。一个宏观状态的实现方式越多，熵就越大。采用对数还使两个相互独立体系的“态数相乘”对应于“熵相加”。

图片来源

第二定律为何具有统计意义？

在微正则的等概率假设下，一个宏观状态包含的微观态越多，它出现的概率就越大。对宏观体系，平衡状态对应的微观态通常占压倒性多数，因此平衡具有统计上的典型性。

例如，盒中有 N 个位置近似独立、均匀分布的气体分子。在平衡时刻，它们全部位于指定半个盒子内的概率为 $P = {(\frac{1}{2})}^{N} = 2^{- N}$ 。

当 N 达到宏观数量时，这个概率小得难以想象。这说明气体扩散后很难自发重新聚集在一边：小幅涨落仍然存在，而如此显著的宏观熵减极难观察到。态数计数解释了不同宏观状态的概率；从低熵初态怎样趋于平衡，还需要结合动力学来说明。
2. 描述气体趋于平衡：Boltzmann 方程与 $H$ 定理（1872）

在 Maxwell 气体动理论的基础上，他用分布函数统计不同位置、动量附近的分子数，并用 Boltzmann 方程描述自由运动和碰撞怎样改变这一分布。对于分子质量为 m、受到外力 F(r, t) 作用的经典稀薄气体，方程写为：

$\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{𝐩}{m} \cdot 𝛁 f + 𝐅 \cdot \frac{\partial f}{\partial 𝐩} = {(\frac{\partial f}{\partial t})}_{coll}$

这里 f = f(r, p, t) 是单粒子分布函数，p = mv 是分子动量。∇ 对位置 r 求梯度，∂f/∂p 表示动量空间的梯度。左边三项依次表示分布随时间的变化、分子运动造成的空间输运、外力造成的动量变化；右边下标 coll 表示碰撞对分布变化率的贡献。

H 定理表明，在稀薄气体和“分子混沌”等假设下，孤立气体的相应统计熵不减，平衡时得到 Maxwell 速度分布。这为研究气体的弛豫和输运提供了动力学基础。
3. 平衡分布与能量均分

Boltzmann 发展了热平衡分布的统计描述。用现代正则系综的记号，一个与温度为 T 的热库弱耦合、粒子数和体积固定的体系，处于能量为 E_i 的微观态 i 的概率为：

$p_{i} = \frac{e^{- β E_{i}}}{Z}, Z = \sum_{j} e^{- β E_{j}}$

这里 β = 1/(k_BT)，Z 是配分函数，使所有微观态的概率之和等于 1。在正温度下，单个微观态的能量越高，概率权重越小；升温会减弱这种差别。这一分布把微观能量与宏观温度联系起来，也是计算内能、热容等热力学量的起点。

经典二次自由度的能量均分

Boltzmann 在 Maxwell 等人的工作基础上发展了能量均分的理论。在经典热平衡中，每个以独立二次项出现在能量里的变量，平均贡献 k_BT/2。例如，单原子理想气体有三个平动方向，因此：

$⟨ \frac{1}{2} m v_{x}^{2} ⟩ = \frac{1}{2} k_{B} T, U = \frac{3}{2} N k_{B} T$

这里 N 是粒子数，尖括号表示热平衡平均。由此可得定容热容 C_V = 3Nk_B/2；对一维经典谐振子，动能和势能各含一个二次项，平均总能量则为 k_BT。
4. 早期系综工作（1884–1885）

他研究由许多遵循相同力学规律、却处于不同微观状态的体系组成的集合，提出了今天微正则系综和正则系综的先行形式，当时分别称为 ergode 和 holode。这些工作为后来 Gibbs 系统建立系综理论提供了重要基础。
5. 辐射定律：Stefan–Boltzmann 定律（1884）

他结合热力学与电磁理论中的辐射压，从理论上推出 Stefan 先前提出的四次方辐射定律。黑体单位面积向外辐射的总功率为：

$\frac{P}{A} = σ T^{4}$

其中 P 是黑体向外辐射的总功率，A 是辐射表面积，σ 是 Stefan–Boltzmann 常数，T 是绝对温度。温度升高到两倍，单位面积的辐射功率就增至 16 倍；这一结果把热力学与电磁辐射联系起来。

原子是真实存在，还是理论构造？

十九世纪末，原子模型已被用于解释物质性质，但它应当具有怎样的物理地位，仍存在争论。Ernst Mach 强调从经验出发，对把原子假说当作已经确证的实在持保留态度；Wilhelm Ostwald 的能量论则希望以能量及其转化为基础，避免把热现象还原为微观机械运动。

Boltzmann 主张保留原子模型，并以模型解释现象、产生预言的能力来检验它。1895 年的吕贝克会议上，他与 Ostwald 围绕能量论发生激烈争论，Felix Klein 等人支持 Boltzmann。他与 Mach 的关系紧张，却与 Ostwald 保持私人友谊。

加州游记：啤酒、英语与龙虾

1905 年，Boltzmann 受邀赴加州大学伯克利分校讲授暑期课程，并在《一位德国教授的黄金国之旅》（Reise eines deutschen Professors ins Eldorado）中记录这段经历。

启程前，他在维也纳西北火车站的餐厅吃了烤猪肉、卷心菜和土豆，喝了几杯啤酒，随后在游记中打趣：

“My memory for figures, otherwise tolerably accurate, always lets me down when I am counting beer glasses.”
“我对数字的记忆平时还算可靠，可一数自己喝了几杯啤酒，就总是不灵。”

起初他为用英语讲课而紧张，但第二讲便逐渐放松；听说学生觉得他讲得清楚，他更有信心了。说起练习过的 blackboard 和 chalk，他还颇为得意。

英语老师教过的 lobster 则带来一个实际的收获：他终于能在餐馆点到龙虾沙拉。

当时 Berkeley 校园周围禁止售酒。Boltzmann 打听酒铺时，同事先四下张望、确认他可靠，才透露 Oakland 的店名。他写道：

“I managed to smuggle in a whole battery of wine bottles and from then on the road to Oakland became very familiar.”
“我设法‘走私’进来一整排酒瓶，从此，去 Oakland 的路就变得十分熟悉了。”

酒买回来了，他却仍得饭后偷偷喝，几乎觉得自己染上了恶习。他讽刺道：禁酒风气又给世间增添了一种虚伪。

Klein 的催稿术：你不写，就交给 Zermelo

同一篇加州游记里，Boltzmann 还讲了一次被“催稿”的经历。数学家 Felix Klein 请他为《数学科学百科全书》撰稿，他推辞了很久。Klein 最后写信告诉他：如果你不写，我就把这项任务交给 Ernst Zermelo。

1896 年，Zermelo 利用 Poincaré 回归定理质疑第二定律的机械推导：在满足回归条件的体系中，几乎所有初态对应的运动都会重新接近初态，因而不能断言熵永远严格增加。Boltzmann 则强调第二定律的统计意义，以及宏观气体回归时间的漫长。

Boltzmann 不愿让对方的观点成为百科全书中的通行说法，立即回信接下了任务。原本计划旅行归来后在乡下休息的九月，就这样变成了带着一批维也纳物理学家查文献、赶文章的日子。

另一位参与撰稿的教授 Wirtinger 似乎也有同感，索性把这部百科全书的标志画成一个捕鼠夹：教授被诱饵吸引，就被夹住了。Boltzmann 一边自嘲，一边也赞赏 Klein 和同事们把数学知识整理成可用文献的理想与投入。

晚年与纪念

1906 年 5 月，健康状况的恶化使 Boltzmann 无法继续授课；院长在致主管部门的信中称其患有“严重的神经衰弱”。

1906 年 9 月 5 日，他与妻子、女儿在的里雅斯特附近的杜伊诺度假期间自杀身亡，终年 62 岁。他生前已受到学界广泛尊重，不能把这场悲剧简单归因于学术争论或“原子论无人相信”。他后来安葬于维也纳中央公墓，墓碑上刻着熵公式 S = k log W。

Boltzmann 完整墓碑：熵公式、半身像与碑文 — Boltzmann 墓碑全貌（维也纳中央公墓）

身后的实验证据

在 Boltzmann 生前，Albert Einstein 已于 1905 年从分子热运动出发，建立了布朗运动的定量理论。他给出悬浮微粒位移的统计规律，把显微镜下可见的运动与分子尺度联系起来，使原子论有了可供实验检验的定量预言。

1908–1909 年，Jean Perrin 通过悬浮微粒的高度分布和布朗运动等测量，验证了相关理论，并得到相互一致的 Avogadro 常数，为原子和分子的存在提供了有力的定量证据，推动了原子论的广泛接受。他因这些研究获得 1926 年诺贝尔物理学奖。

资料与进一步阅读

人物生平：Wikipedia、MacTutor。
原子论与不可逆性：Boltzmann’s Work in Statistical Physics。
1877 年熵与概率论文（英译）。
辐射定律：Boltzmann 1884 年原始论文。
早期系综：1884–1885 年单循环系统论文（英译与评注）。
加州游记：Margaret Malt 英译，收入 Carlo Cercignani 的 Ludwig Boltzmann: The Man Who Trusted Atoms，第 231–249 页。啤酒引句见第 231 页，Klein 催稿见第 232–233 页，英语与龙虾见第 236–237 页，买酒见第 237–238 页；回归争论的背景见同书第 100–101 页。正文英文引文据此，中文为译文或转述。全文。
游记另一节译：Physics Today 45(1), 44–51（1992）。PDF。
布朗运动的理论与实验：Einstein 获奖颁奖词中的布朗运动介绍、Jean Perrin，1926 年诺贝尔演讲。
墓碑照片：Daderot 摄影，MagentaGreen 修整，Wikimedia Commons。

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02 · 9 月 21 日（周一） · Rudolf Clausius

从热机到熵：Clausius 与第二定律

课程内容：温度；微正则系综续；热容、稳定性与熵

课堂共看

能量守恒，为什么热却总是自发地从高温流向低温？

Clausius 把能量的收支与过程的方向分开，奠定现代热力学的基础。
他为熵命名，也用平均自由程与维里定理研究分子运动。
从创造科学语言的理论家，到带领学生救助伤员的教授。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Rudolf Clausius（1822–1888）

Rudolf Clausius（1822 年 1 月 2 日—1888 年 8 月 24 日）是德国理论物理学家，热力学的主要奠基者之一，也是气体动理论的重要开拓者。他建立了热力学第二定律的重要表述，并在 1865 年为状态量 S 创造了“熵”（entropy）这个名称。

早年与求学

他出生于当时普鲁士的 Köslin（今波兰 Koszalin）。1840 年进入柏林大学时，他曾对历史很感兴趣，后来选择数学与物理。1848 年，他凭借关于大气光学的论文获得哈雷大学博士学位。

类似的跨学科转向也见于威滕（Edward Witten）：他本科主修历史，曾在 1972 年担任民主党总统候选人乔治·麦戈文（George McGovern）的竞选助理；麦戈文最终输给了共和党候选人理查德·尼克松。威滕后来转向理论物理，并在数学物理中作出重要贡献。

学术生涯

1850 年，他发表研究热与机械功之间关系的奠基性论文，并在柏林任教。1855–1867 年在苏黎世联邦理工学院任教授，兼任苏黎世大学教授。此后他先后在维尔茨堡和波恩任教，1869 年到波恩后一直工作至去世。

主要学术贡献：熵、分子运动与平均关系

Clausius 的三项工作分别回答三个问题：热过程有什么方向性，快速运动的分子为什么只会缓慢扩散，以及微观作用力怎样决定宏观压力。以下用现代记号介绍这些思想。

1. 描述热过程的方向：熵与第二定律

Clausius 对第二定律的表述是：不可能使一个过程的唯一结果成为把热从低温物体传到高温物体。冰箱能够把热从冷处搬到热处，是因为它还消耗了功。Clausius 在研究这类过程时引入状态量 S，并在 1865 年将它命名为熵。对于可逆过程中的微小变化：

$d S = \frac{đ Q_{rev}}{T}$

这里 T 是绝对温度，đQrev 是体系在可逆过程中吸收的微小热量。热量依赖过程，而熵是状态函数：两个平衡态之间的熵差，可以沿连接它们的可逆路径计算。对于一个完整循环，第二定律给出 Clausius 不等式：

$\oint \frac{đ Q}{T} \leq 0$

热量以流入体系为正，T 是与体系交换这份热量的热库温度。可逆循环取等号；计入传热在内的不可逆性时，循环积分小于零。对孤立体系，第二定律表述为 ΔS ≥ 0。

Clausius 建立了熵的宏观概念与变化规律。后来，Boltzmann 等人进一步追问：这些规律怎样从大量粒子的运动和概率中产生？这正是热力学通向统计力学的关键问题。
2. 建立热、功与内能的关系：热力学第一定律（1850）

在 Joule 等人关于热与功转化的实验基础上，Clausius 将吸热、内能变化与对外做功写进统一的关系，成为现代热力学的重要起点。对不交换物质、整体动能与外场势能不变的封闭体系，用现代记号写为：

$d U = đ Q + đ W$

U 是内能；đQ 以体系吸热为正，đW 以外界对体系做功为正。内能是状态函数，热和功则描述能量传递的不同方式，依赖具体过程。这并不意味着能量守恒由 Clausius 一人发现；他的贡献在于热力学理论的清晰表述与系统建立。
3. 确定相共存曲线的斜率：Clausius–Clapeyron 关系

Clausius 在 Clapeyron 的先行工作基础上，用新的热力学框架处理相变。对纯物质的一阶相变，两相共存曲线的斜率满足：

$\frac{d p_{coex}}{d T} = \frac{L}{T Δ v}$

pcoex 是两相共存时的压强，L 是从第一相转到第二相的摩尔潜热，Δv 是对应的摩尔体积变化，两者取相同的相变方向。对液–气相变，共存压强就是饱和蒸气压 psat。若蒸气近似为理想气体、液体摩尔体积可以忽略：

$\frac{d \ln p_{sat}}{d T} \approx \frac{L}{R T^{2}}$

其中 R 为摩尔气体常数，L 为摩尔汽化潜热。这说明饱和蒸气压怎样随温度变化，也把沸点、潜热与相共存联系起来。
4. 解释扩散：气体动理论与平均自由程（1857–1858）

1857 年，Clausius 将分子的平动与内部运动纳入气体动理论，认识到单靠平动能不足以解释气体的全部热能。他给出的分子运动速度很高，荷兰科学家 Christophorus Buys Ballot 随即提出一个尖锐问题：如果分子运动如此迅速，为什么实际观察到的气体混合与扩散却慢得多？

Clausius 在 1858 年的回应抓住了碰撞：分子走过的总路程，并不等于它离出发点的距离。一次次碰撞改变前进方向，长路程可以只对应很小的净位移。他引入平均自由程，描述相邻两次碰撞之间平均走过的距离，使“微观运动快、宏观扩散慢”成为能够定量研究的问题。

$λ = \frac{1}{\sqrt{2} n σ}, σ = π d^{2}$

这是现代稀薄、热平衡的同种硬球气体模型中的结果，采用碰撞前速度近似不相关的假设。n = N/V 为粒子数密度，d 为球的直径，σ 为碰撞截面。密度或碰撞截面越大，平均自由程越短。

用现代随机游走的语言说，在没有宏观流动的情况下，分子多次碰撞后的典型位移只随时间的平方根增长。在三维正常扩散区间，位移的均方值满足 ⟨|r(t) − r(0)|²⟩ ≃ 6Dt，扩散系数的量级为 D ∼ v̄λ，其中 v̄ 是平均速率。要扩散到给定距离，碰撞越频繁，通常需要的时间就越长。

铜导线中的电子提供了另一个“运动很快、定向漂移很慢”的例子。室温下，在自由电子近似中，铜的费米速率约为 vF ≃ 1.6 × 10⁶ m/s，所有导电电子的平均速率约为 ⟨|v|⟩ ≃ 3vF/4 ≃ 1.2 × 10⁶ m/s。这个速率主要由费米统计决定。平衡时各方向的速度相互抵消，平均速度为零；电流对应的是电场引起的微小定向漂移。

例如，在截面积 A = 1 mm²、电流 I = 1 A 的铜导线中，取导电电子数密度 n ≃ 8.5 × 10²⁸ m⁻³，则漂移速率为 vd = I/(neA) ≃ 7.3 × 10⁻⁵ m/s，即每秒约 0.073 mm，其中 e 为元电荷。两种速率相差约十个数量级。平均速率衡量电子运动有多快，漂移速率衡量它们整体朝一个方向移动有多快。

平均自由程把分子碰撞与宏观输运联系起来，成为研究扩散、黏滞和热传导的重要尺度。Maxwell 与 Boltzmann 随后进一步发展了速度分布、碰撞与输运理论。
5. 联系平均动能与作用力：维里定理（1870）

“维里”音译自 virial，源于拉丁语 vis，意为“力”。Clausius 于 1870 年把与力有关的长期平均量 $- \frac{1}{2} ⟨ \sum_{i} 𝐫_{i} \cdot 𝐅_{i} ⟩$ 称为体系的“维里”。

维里定理的关键来自牛顿方程。记粒子动量为 pᵢ = mᵢvᵢ，对位置与动量的内积求时间导数：

$d(∑ᵢ rᵢ·pᵢ)/dt = 2K + ∑ᵢ rᵢ·Fᵢ$

若粒子的位置与动量保持有界，且长期平均存在，左边的长期时间平均趋于零，于是得到：

$⟨ K ⟩ = - \frac{1}{2} ⟨ \sum_{i} 𝐫_{i} \cdot 𝐅_{i} ⟩$

K 是总动能，r_i 是第 i 个粒子的位置，F_i 是它受到的总力；尖括号表示长期时间平均。对于容器内的气体，总力必须包含容器壁的作用。

对三维经典粒子体系，若内部相互作用由只依赖粒子间距离的两体势给出，且除容器壁外没有外场作用，把壁面压力与粒子间作用分开，并在热平衡下使用能量均分定理，可得到：

$p V = N k_{B} T + \frac{1}{3} ⟨ \sum_{i < j} 𝐫_{i j} \cdot 𝐅_{i j} ⟩$

这里 r_ij = r_i − r_j，F_ij 是粒子 j 对粒子 i 的作用力。此式中的尖括号表示平衡系综平均；在时间平均可由系综平均替代时，也可理解为长期时间平均。忽略粒子间相互作用时恢复理想气体状态方程；保留它们，就能把真实气体的压力修正与微观作用联系起来。维里定理与后来的维里展开相关，但并不是同一个结果。

因此，不必逐一求解所有粒子的轨迹，也能建立平均动能、作用力与宏观压力之间的关系。

1850 年：修正热质说，保留 Carnot 的可逆热机结论

Carnot 在 1824 年研究热机时，沿用了热质说：做功时，热从高温流向低温，热的总量保持不变。Joule 的实验则支持热与机械功可以相互转化。Clausius 因而需要重新回答：热机输出的功从哪里来，Carnot 关于理想热机的结论还能否成立？

Clausius 在 1850 年指出，热机每完成一个循环，内能回到初始值；从高温热库吸收的热量，一部分转化为输出功，其余排给低温热库。保留可逆热机的思想，并用第二定律限制过程的方向，可以重新得到 Carnot 的结论：在相同的两个热库之间工作，可逆热机的效率最高。

热机输出功 Wout = QH − QC；效率 η = Wout/QH ≤ 1 − TC/TH

这里 QH > 0 是从高温热库吸收的热量，QC > 0 是向低温热库放出的热量；Wout 以热机对外输出功为正。T_{\mathrm H} 与 T_{\mathrm C} 是两个热库的绝对温度，满足 T_{\mathrm H}>T_{\mathrm C}>0。可逆热机取效率上限。

第一定律说明热量与功怎样满足能量守恒，第二定律说明能量转化受哪些方向和效率限制。这是两个不同、但彼此相容的规律。

1865 年：给 entropy 取个像 energy 的名字

Clausius 对热转化与过程方向的研究先于“熵”这个名称。1865 年，他正式把状态量 S 命名为 entropy。词根来自希腊语 τροπή（tropē，意为“转变”）；他有意让新词与 energy 相似，以呼应这两个物理量之间的联系。

“I have intentionally formed the word entropy so as to be as similar as possible to the word energy”
“我有意把 entropy 这个词造得尽可能与 energy 相似。”

——Clausius，1865 年论文；英译节选见 William F. Magie 编 A Source Book in Physics（1935）。

同一段文字还说明，采用古典语言的词根，是希望这个名称能在不同现代语言中通用。这个命名既考虑物理含义，也考虑科学交流；理解熵本身，则需要回到它的定义与第二定律。

Clausius 1865 年论文中引入 Entropie 一词的德文原文 — “Entropie”一词的命名段落（1865）来源：Linda Hall Library 馆藏扫描

1923 年：胡刚复创译“熵”

中文的“熵”（shāng）由物理学家胡刚复创译，通常追溯到 1923 年。当时，他为来南京讲学的热工学家 Rudolf Plank 翻译；1923 年第 5 期《科学》刊载了原文及他的译文《热力学第二定律及熵之观念》。

“熵”是一个形声字：左边的“火”是形旁，表示它属于热学范畴；右边的“商”是声旁，提示读音 shāng，同时也呼应除法之商的意思。造字的启发来自可逆过程中“微小吸热量除以绝对温度”的关系。

讲台之外：救护队与家庭

1870 年普法战争爆发时，48 岁的 Clausius 组织了由波恩学生组成的救护队。在 Vionville 和 Gravelotte 一带，他参与搬运和救助伤员，自己腿部受伤，此后长期受疼痛和行动不便困扰。

1875 年，妻子去世，他承担起照料孩子的责任。英国皇家学会悼文收录的兄弟 Robert 的回忆提到，他会辅导孩子的功课，也投入他们的日常生活。

56 岁学骑马：从医生的建议到拿手本领

腿伤让 Clausius 多年行走不便，医生建议他尝试骑马。于是，1878 年，已经 56 岁的他开始学习这项新技能。英国皇家学会悼文收录的兄弟 Robert 的回忆说，他后来成了一位出色的骑手，骑马也明显改善了他的健康。

Clausius 与妻子 Adelheid 在波恩旧公墓的墓碑 — Clausius 与妻子 Adelheid 的墓碑（波恩旧公墓）图片来源

Clausius 之后的熵：从热过程到信息与时空

熵的概念不断扩展：从热过程的方向和微观状态的统计，到信息的不确定性、量子纠缠与时空几何。以下十个节点采用现代记号，年份对应代表性论文。阅读时可以关注同一个问题：每一种熵究竟在描述什么？

Google Scholar 搜索 entropy 的截图，显示约 4,990,000 条检索结果 — Google Scholar 对“entropy”给出的估计结果约 499 万条

1. Boltzmann (1877)：数微观态

Clausius 建立了熵与可逆热交换的关系；Boltzmann 则为熵寻找微观解释：同一个宏观状态可以由多少种粒子排列和运动方式实现？1877 年，他把这些实现方式的数目与熵联系起来。用现代记号写为：

$S = k_{B} \ln Ω$

\Omega 是与所指定宏观状态相容的微观态数；约束可包括能量、体积、粒子数及粗粒化的密度分布等。k_B 是 Boltzmann 常数。实现方式越多，熵越大；对于相互独立的体系，微观态数相乘，取对数后恰好对应熵相加。在微正则的等概率假设下，微观态数越多的宏观状态越容易出现；对通常的宏观体系，热平衡对应的微观态占压倒性多数。
2. Gibbs (1902)：看概率分布

当体系与热库交换能量时，各微观态的概率通常并不相等。Gibbs 在 1902 年的著作中系统建立系综方法，把熵与整个微观态分布联系起来。原著主要使用经典相空间中的连续分布；用现代离散记号表示，相应的 Gibbs 熵为：

$S = - k_{B} \sum_{i} p_{i} \ln p_{i}$

p_i 是第 i 个微观态的概率，所有概率之和为 1，并约定 0 ln 0 = 0。当 \Omega 个微观态等概率，即 p_i = 1/Ω 时，这个公式回到 S = k_B ln Ω。它因此能在同一框架下处理微正则系综的等概率分布和正则系综等非等概率分布。

这里的熵属于所选概率分布。对于孤立经典体系，精确 Hamilton 演化保持细粒化 Gibbs 熵不变；讨论宏观熵增时，还需要说明粗粒化或所保留的宏观信息。
3. von Neumann (1927)：描述量子态

量子体系的统计状态由密度矩阵 ρ̂ 描述，它同时容纳纯态和混合态。1927 年，von Neumann 在量子统计的框架下建立相应的熵表达式。用现代记号写为：

$S = - k_{B} Tr (\hat{ρ} \ln \hat{ρ})$

Tr 表示取迹，密度矩阵满足 Tr ρ̂ = 1。若其本征值为 p_i，上述公式就是 −k_B∑p_i ln p_i，且不依赖所选基底。纯态只有一个非零本征值 1，因此熵为零；混合态的熵大于零。

量子理论还带来一种新的可能：整体处于纯态时，一部分的约化态仍然可以是混合态。将这个公式用于约化密度矩阵，就为后面介绍的纠缠熵提供了基础。
4. Shannon (1948)：消息的不确定性

通信中的问题是：在收到一个符号之前，它的取值有多大不确定性？1948 年，Shannon 用下面的量描述离散信源：

$H = - \sum_{i} p_{i} \log_{2} p_{i}$

这里 p_i 是符号出现的概率，以 2 为对数底，单位为比特。等概率的两个选项对应 1 比特；完全确定的结果对应 0 比特。对独立同分布的符号序列，H 给出无损压缩时每个符号所需平均比特数的渐近下限。符号之间存在关联时，需要考察序列的熵及熵率。

这一进展使熵成为通信与数据压缩的定量工具。它衡量概率上的不确定性，不评价消息的意义或价值。对同一组物理微观态概率，Gibbs 熵与信息熵满足 S = k_B ln 2 · H；任意数据的信息熵则未必对应一个体系的热力学熵。
5. Jaynes (1957)：由约束选择分布

前面的公式由概率分布计算熵；Jaynes 将问题反过来：只知道一些平均量时，应当采用什么分布？1957 年，他把最大熵原则系统用于统计力学。以已知平均能量 U 为例，允许的概率分布必须满足：

$概率归一化 ∑i pi = 1；已知平均能量 ∑i pi Ei = U$

在给定微观态及其计数方式后，从这些分布中选取 Gibbs 熵最大的一个。用拉格朗日乘子处理上述两个约束，就得到正则分布：

$p_{i} = \frac{e^{- β E_{i}}}{Z}, β = \frac{1}{k_{B} T}$

E_i 是微观态的能量，Z = ∑_i exp(−βE_i) 保证概率归一化。参数 β 由平均能量约束确定；与热力学温度对应后，β = 1/(k_BT)。

这一方法将系综构造表述为受已知信息约束的推断过程，使熵既能描述分布，也能帮助选择分布。体系达到平衡的实际机制和所需时间，则属于另一个动力学问题。
6. Rényi (1961)：改变对不同概率的权重

单一的 Shannon 熵不能完全刻画一个概率分布。1961 年，Alfréd Rényi 引入参数，构造一族对概率大小有不同敏感程度的熵：

$H_{α} = \frac{1}{1 - α} \ln \sum_{i} {p_{i}}^{α}$

其中 α > 0，α ≠ 1。较大的 α 更突出大概率事件；0 < α < 1 时，小概率事件的影响相对增强。当 α → 1 时，恢复 H = −∑_i p_i ln p_i，即以自然对数定义的 Shannon 熵。这里的单位为 nat；改用以 2 为底的对数，单位就是比特。

例如二阶 Rényi 熵 H₂ = −ln ∑_i p_i²，由两次独立抽样得到相同结果的概率决定。把各概率替换为密度矩阵的本征值，就得到量子 Rényi 熵；其中 S₂ = −ln Tr ρ̂² 与量子态的纯度 Tr ρ̂² 直接相连（取 k_B = 1）。因此，这一族熵也成为研究量子态与纠缠的工具。
7. Bekenstein–Hawking (1973–1975)：黑洞也有熵

把有熵的物体投入黑洞后，如果只看外部，熵似乎减少了。Bekenstein 在 1973 年系统提出，应把黑洞自身的熵也计入，并主张它正比于事件视界面积。Hawking 在 1974 年发现黑洞会发出具有热谱的量子辐射，1975 年发表完整计算。由此确定的温度，使面积熵的比例系数也得到确定。在 Einstein 引力的半经典近似下：

$S_{\mathrm{BH}}=\frac{k_{\mathrm B}c^3A}{4G\hbar}=\frac{k_{\mathrm B}A}{4\ell_{\mathrm P}^{\,2}},\qquad \ell_{\mathrm P}=\sqrt{\frac{G\hbar}{c^3}}\approx1.616\times10^{-35}\,\mathrm m$

A 是事件视界面积，G 是引力常数，c 是光速，ℏ 是约化 Planck 常数，\ell_{\mathrm P} 是普朗克长度。这个公式把热力学、量子理论与引力联系在一起：黑洞的熵由视界面积决定。

广义第二定律要求考察黑洞熵与外部物质、辐射熵之和。黑洞蒸发时，视界面积可以减小，外部辐射的熵也必须同时计入。这一发现使“黑洞的熵由哪些微观自由度承载”成为量子引力中的核心问题。
8. 纠缠熵 (1986–1996)

von Neumann 熵的一个重要应用，是研究量子体系不同部分之间的纠缠。设整体 AB 处于纯态，将 B 的自由度取迹后，得到 A 的约化密度矩阵。取 k_B = 1，定义：

$ρ̂_A = Tr_B |ψ⟩⟨ψ|，S_A = −Tr(ρ̂_A ln ρ̂_A)$

对于二分纯态，S_A = S_B；当两部分没有纠缠时，S_A = S_B = 0。例如，两个量子比特组成的 Bell 态满足：

$|ψ⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2，S_AB = 0，S_A = S_B = ln 2$

此时 ρ̂_A = ρ̂_B = Î₂/2，其中 Î₂ 是二维单位矩阵。整体的量子态完全确定，但任一量子比特的约化态都是最大混合态。这种局部混合性来自两部分的纠缠；若整体本来就是混合态，子系统熵还包含其他混合贡献，便不能单独用来度量纠缠。

这一概念与黑洞问题很早就发生联系。1986 年，Luca Bombelli、Rabinder K. Koul、Joohan Lee 和 Rafael D. Sorkin 研究了将不可观测自由度取迹产生的熵及其黑洞解释。1993 年，Mark Srednicki 对三维空间中无质量自由标量场的基态计算发现：固定短距离截断后，大球形区域的纠缠熵领先项随边界面积增长。这提供了面积律的重要实例。

1996 年，Charles H. Bennett、Herbert J. Bernstein、Sandu Popescu 和 Benjamin Schumacher 进一步赋予纠缠熵操作意义：对许多份相同且独立制备的二分纯态，仅用局域操作与经典通信，每份态可渐近提取 S_A/ln 2 对标准 Bell 纠缠对。于是，熵还能衡量可用于量子信息任务的纠缠资源。这些年份标记的是重要进展，并非纠缠熵的首次定义。
9. Kitaev–Preskill / Levin–Wen (2006)：拓扑纠缠熵

纠缠熵的领先项常由局部边界附近的关联决定，其中是否还藏着更整体的信息？2006 年发表的两组独立工作——Alexei Kitaev 与 John Preskill、Michael Levin 与 Xiao-Gang Wen——提出了拓扑纠缠熵。对于平面上二维有能隙拓扑相的基态，在没有任意子激发时，取边界光滑、尺度远大于关联长度的圆盘状区域 A，有（k_B = 1）：

$S_A = αL − γ + o(1)，γ = ln 𝒟，𝒟 = √(∑ₐ dₐ²)$

L 是边界长度；面积律系数 α 依赖微观细节，o(1) 是随区域增大而趋于零的修正。拓扑常数项 −γ 则与任意子类型 a 的量子维数 d_a 有关，𝒟 称为总量子维数。

为了从局部边界贡献中提取这项常数，Kitaev–Preskill 选择三个相邻的大区域及其并集，使如下组合中的局部边界项相消：

$S_topo = S_A + S_B + S_C − S_AB − S_AC − S_BC + S_ABC → −γ$

这里 AB = A∪B，其余下标同理；箭头表示区域尺寸远大于关联长度的极限。三个区域及其并集须按论文的构型选取，使局部边界贡献相消。Levin–Wen 使用另一种区域组合提取同类拓扑信息。

例如，toric code 有四种任意子类型，均满足 d_a = 1，所以 𝒟 = √4 = 2，γ = ln 2。这使我们能仅从基态的纠缠结构中提取拓扑序的信息。不同拓扑序也可能具有相同的 γ，因此它是重要的特征量，而不是完整的分类标签。
10. Ryu–Takayanagi (2006)：熵与极小曲面

黑洞熵与面积有关，量子场的纠缠熵也常有面积律；两者能否建立定量联系？2006 年，Shinsei Ryu 与 Tadashi Takayanagi 在 AdS/CFT 对应中提出了这样的关系。这里，一类边界量子场论与多一维空间中的引力理论相对应。对于具有经典 Einstein 引力对偶的静态情形，取 k_B = ℏ = c = 1，在经典引力领先阶：

$S_{A} = - Tr ({\hat{ρ}}_{A} \ln {\hat{ρ}}_{A}) ≃ \frac{Area (γ_{A})}{4 G_{N}}$

ρ̂_A 是边界量子体系中区域 A 的约化密度矩阵，G_N 是引力理论的牛顿常数。γ_A 位于固定时刻的引力空间切片上，以 ∂A 为边界，并与 A 共同围成一个体区域；这就是同调条件。在所有满足这些条件的候选曲面中，取面积最小者。比较场论的熵与曲面面积时，两侧采用相匹配的短距离截断。

式中的近似号提醒我们，面积项是经典引力的领先贡献；超出这一近似还需量子修正。这条关系把量子体系的熵计算转化为引力空间中的几何问题，使熵成为联系量子信息与时空结构的定量工具。整体为纯态时，它计算区域与其余部分的纠缠熵；整体为混合态时，它计算区域的 von Neumann 熵，其中也包含混合的贡献。

资料与进一步阅读

现代热力学与统计解释：David Tong：Statistical Physics 讲义，第 4 章讨论熵、可逆过程及第二定律；正文的维里推导使用现代记号。
生平与个人经历：MacTutor：Rudolf Clausius；G. F. FitzGerald，英国皇家学会悼文（1890），前两页含 Robert Clausius 对家庭生活与救护队的回忆。本文均为转述。
56 岁学骑马：英国皇家学会悼文（1890），第 2 页，Robert Clausius 的回忆记载了医生建议、学骑马的年龄及健康改善；1878 年的时间见上述 MacTutor 传记。正文为转述。
任教经历：ETH 历任教授名录；波恩大学：Clausius 诞辰二百周年介绍。
热、功与 Carnot 理论：Clausius，1850 年论文；1851 年英译。
熵的命名：Clausius，1865 年论文英译节选，说明希腊语词源、与 energy 的相似性及跨语言命名的考虑。
中文“熵”的创译：史晓雷，《刘仙洲的工程教育梦——兼谈熵、焓的译介》（《中国科学报》，清华大学转载），考证胡刚复的 1923 年译文；厦门大学：胡刚复人物介绍，介绍“火”与“商”的造字思路。
气体动理论：Clausius，On the Nature of the Motion Which We Call Heat（1857 年论文英译），讨论分子的平动与内部运动。
平均自由程：Clausius，1858 年原始论文；Stephen G. Brush，统计力学形成史，讨论 Buys Ballot 的质疑与 Clausius 的回应。
维里定理：Clausius，On a Mechanical Theorem Applicable to Heat（1870）；原文扫描。
Boltzmann 的统计解释：1877 年论文英译；Planck，论正常光谱中能量分布的定律（1901），第 3 式采用熵与几率之对数的关系。
Gibbs 的系综熵：Elementary Principles in Statistical Mechanics（1902）。
von Neumann 的量子熵：1927 年量子力学论文的注释英译，第 3 篇。
Shannon 的信息熵：A Mathematical Theory of Communication（1948）。
Jaynes 的最大熵方法：Information Theory and Statistical Mechanics（1957）。
Rényi 熵：Alfréd Rényi，On Measures of Entropy and Information（1961）。
Bekenstein 的黑洞熵：Black Holes and Entropy（1973）。
Hawking 辐射与黑洞热力学：Black hole explosions?（1974）；Particle Creation by Black Holes（1975）。
纠缠熵与黑洞的早期联系：Luca Bombelli、Rabinder K. Koul、Joohan Lee、Rafael D. Sorkin，Quantum Source of Entropy for Black Holes（1986）。
纠缠熵与面积律：Mark Srednicki，Entropy and Area（1993）（arXiv:hep-th/9303048）。
纠缠熵的操作意义：Charles H. Bennett、Herbert J. Bernstein、Sandu Popescu、Benjamin Schumacher，Concentrating Partial Entanglement by Local Operations（1996）（arXiv:quant-ph/9511030）。
拓扑纠缠熵：Alexei Kitaev、John Preskill，Topological Entanglement Entropy（2006）（arXiv:hep-th/0510092）；Michael Levin、Xiao-Gang Wen，Detecting Topological Order in a Ground State Wave Function（2006）（arXiv:cond-mat/0510613）。
Ryu–Takayanagi 公式：Shinsei Ryu、Tadashi Takayanagi，Holographic Derivation of Entanglement Entropy from the anti–de Sitter Space/Conformal Field Theory Correspondence（2006）（arXiv:hep-th/0603001）。
铜导线中的电子速率：Cambridge：铜的费米速率；OpenStax：金属导电与漂移速率。平均速率采用低温自由费米气体近似，漂移速率按正文给定的电流与截面积估算。
Witten 的早年经历：Encyclopedia.com：Edward Witten 生平；本科专业、竞选工作与转向物理的经历为正文转述。
Witten 的生平自述：AIP：Edward Witten 口述访谈（2021）。

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03 · 9 月 23 日（周三） · Josiah Willard Gibbs

热力学与统计力学：Gibbs 的平衡理论

课程内容：正则系综；热库、Boltzmann 因子与配分函数

课堂共看

不知道每个分子的轨迹，怎样计算整个体系的热力学性质？

先确定体系能与环境交换什么，再选择系综。
从微观态的概率与配分函数，得到自由能、内能和涨落。
熵依赖怎样计数：任意的粒子标签不能增加热力学组分。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Josiah Willard Gibbs（1839–1903）

Josiah Willard Gibbs（1839 年 2 月 11 日—1903 年 4 月 28 日）是美国理论物理学家、物理化学家，与 Maxwell、Boltzmann 并列为统计力学的主要奠基者。“统计力学”（statistical mechanics）这一名称也由他提出。他把系综方法发展成系统的理论：用一组可能的微观状态及其概率，计算宏观物理量，并建立与热力学的联系。

早年与求学

他出生于美国康涅狄格州 New Haven，父亲 Josiah Willard Gibbs Sr. 是耶鲁大学神学院的圣经文献学教授。1858 年本科毕业后，他继续在耶鲁研究工程问题；1863 年以齿轮轮齿形状的研究获得博士学位，这是美国授予的第五个博士学位，也是第一个工程学博士学位。

留校任助教时，他前两年教拉丁语，第三年教自然哲学。1866–1869 年，他先后在巴黎、柏林和海德堡学习数学与物理。

学术生涯

1871 年，Gibbs 成为耶鲁大学数学物理学教授，一直任职到 1903 年去世。1873 年，他发表热力学图示与曲面研究；1876、1878 年分两部分发表《论非均匀物质的平衡》，建立广泛适用于物理和化学的平衡理论。1902 年，《统计力学基本原理》出版，系统呈现了他关于系综、概率分布与热力学基础的研究。

主要学术贡献：热力学、系综与向量分析

Gibbs 为化学平衡建立统一的热力学描述，又用系综方法奠定统计力学的系统基础。化学势、相律、概率与粒子计数从不同层次回答平衡怎样确定；向量分析则提供了广泛使用的计算语言。下面的公式采用现代记号。

1. 研究物质组成与相平衡：化学势与 Gibbs 自由能（1876–1878）

在《论非均匀物质的平衡》中，Gibbs 将物质组成的变化纳入热力学。对只考虑体积功、忽略界面等额外贡献的多组分简单体系，基本关系写为：

$dU = T dS − p dV + ∑ₐ μₐ dNₐ$

其中 N_a 是第 a 种组分的粒子数。化学势 \mu_a 描述增加该组分时，内能对粒子数的变化率：

$\mu_a=\left(\frac{\partial U}{\partial N_a}\right)_{S,V,N_{b\ne a}}$

求偏导时保持熵、体积和其他组分的粒子数不变。对于各组分总量固定的相平衡问题，在恒温恒压下，稳定平衡使 Gibbs 自由能最小；能够在两相间交换的组分，其化学势在平衡时相等：

$G = U + pV − TS，μₐ⁽ᵅ⁾ = μₐ⁽ᵝ⁾$

这里上标 \alpha,\beta 标记两个相。忽略界面与外场等额外效应时，两相平衡还要求温度和压强相同。化学势控制物质在相间的分配，也是巨正则系综中控制粒子交换的变量。

两种自由能适用的控制条件不同。上文的 Helmholtz 自由能 F = U − TS 用于固定温度、体积和粒子数的平衡问题；Gibbs 自由能 G = U + pV − TS 用于固定温度、压强和粒子数的平衡问题。多组分体系需要固定各组分的总粒子数。对这里的简单体系，

$dG = −S dT + V dp + ∑ₐ μₐ dNₐ$

因此，恒温恒压时改变组成所带来的自由能变化，正由各组分的化学势控制。
2. 确定多相共存的自由度：Gibbs 相律

对于只受温度、压强和组成控制的平衡体系，以 C 表示独立组分数、P 表示共存相数，可独立改变的强度变量数为：

$f = C − P + 2$

这里 f 是热力学自由度数。对无化学反应的混合物，温度、压强和各相的组成共有 2+P(C-1) 个变量；各组分在各相中的化学势相等，给出 C(P-1) 个约束，相减即得相律。

以水为例，冰、水和水蒸气三相共存时 C=1、P=3，所以 f=0：温度和压强都由三相共存条件确定。这里计数的是强度变量，不包括各相所占的比例。有化学反应时，应先确定独立组分数：若有 s 种物种、r 个独立反应，且无其他组成约束，则 C=s-r，再代入相律。

3. 用概率描述整个体系：系综理论（1902）

系综由许多遵守相同宏观条件的假想副本组成，每个副本都代表一个完整体系，其微观状态可以不同。Gibbs 将这一方法发展成系统的理论。若微观态 i 的概率为 p_i，物理量在该状态下的值为 A_i，其系综平均就是：

⟨A⟩ = ∑ᵢ pᵢ Aᵢ

系综的选择取决于体系与环境能交换什么。对简单的单组分体系，常用的三种平衡系综如下：

先看控制条件，再选系综
系综	固定宏观量	与环境交换	平衡概率
微正则	E、V、N	不交换能量和粒子	指定能量壳内 pᵢ = 1/Ω
正则	T、V、N	交换能量	pᵢ ∝ e^(−βEᵢ)
巨正则	T、V、μ	交换能量和粒子	pN,i ∝ e^[−β(EN,i−μN)]

表中 E,V,N,T,\mu 分别表示能量、体积、粒子数、温度和化学势，\Omega 是指定能量壳内的微观态数。下面以只交换能量的正则系综为例。

热库怎样给出 Boltzmann 权重？设体系的体积、粒子数固定，与一个大热库弱耦合；整体孤立，总能量为 E_{\mathrm{tot}}。体系处于能量为 E_i 的微观态 i 时，热库能量就是 E_{\mathrm{tot}}-E_i。在整体能量壳内各微观态等概率的假设下，体系处于该微观态的概率，正比于与之相容的热库微观态数：

p_i\propto\Omega_{\mathrm R}(E_{\mathrm{tot}}-E_i),\qquad S_{\mathrm R}=k_{\mathrm B}\ln\Omega_{\mathrm R}

下标 \mathrm R 表示热库。热库足够大，交换能量使其温度的变化可以忽略。利用 (\partial S_{\mathrm R}/\partial E_{\mathrm R})_{V_{\mathrm R},N_{\mathrm R}}=1/T，将热库熵作一阶展开：

S_{\mathrm R}(E_{\mathrm{tot}}-E_i)\simeq S_{\mathrm R}(E_{\mathrm{tot}})-\frac{E_i}{T}

代回态数公式，不依赖 i 的因子在归一化时抵消，得到 p_i\propto\mathrm e^{-E_i/(k_{\mathrm B}T)}。令 \beta=1/(k_{\mathrm B}T)，便得到正则分布和配分函数：

pᵢ = exp(−βEᵢ)/Z，Z = ∑ᵢ exp(−βEᵢ)

其中 β = 1/(kBT)，E_i 是微观态的能量，配分函数 Z 使概率归一化。对于能级不显含温度的体系，Z 还给出 Helmholtz 自由能和内能：

F = −kBT ln Z，U = −∂ ln Z/∂β（固定 V、N）

系综方法由此把微观状态的概率分布与宏观热力学性质联系起来。

4. 从概率分布计算熵：Gibbs 熵（1902）

在正则系综中，不同微观态通常具有不同概率。Gibbs 用整个概率分布来描述熵；用现代离散记号写为：

$S = −kB ∑ᵢ pᵢ ln pᵢ$

概率满足 ∑ᵢpᵢ = 1，并约定 0 ln 0 = 0。当 \Omega 个状态等概率、p_i=1/\Omega 时，立即得到 S=k_{\mathrm B}\ln\Omega。在正则系综中，代入 Boltzmann 分布则有 S=k_{\mathrm B}(\ln Z+\beta U)，从而与 F=U-TS 一致。

这个表达式把热力学熵与概率联系起来，也成为后来量子统计和信息论的重要参照。在孤立体系的 Hamilton 演化下，保留全部相空间细节的 Gibbs 熵（细粒化熵）保持不变。要讨论宏观熵增，还需要说明初始条件，以及如何按有限分辨率对微观细节作平均，即粗粒化；熵增并不能只由上面的公式推出。
5. 区分物理状态：粒子计数与混合熵

设两个等体积容器各有 N 个理想气体分子，初始温度、压强相同。若两侧是不同种类的气体，移去隔板后，每种气体都能占据两倍体积，总混合熵为：

$ΔS混合 = 2NkB ln 2$

若两侧原本就是同一种气体、处于相同热力学状态，在宏观热力学中，移去隔板不产生这种正比于粒子数的混合熵。问题因此变得尖锐：为什么给分子加上“原来在左边”或“原来在右边”的标签，不应该凭空增加热力学熵？

Gibbs 在 1902 年原著的最后一章区分了按粒子标号细分的状态，以及不因同种粒子置换而区分的状态。在可忽略量子交换效应的经典极限下，对同种、无内部自由度的粒子，现代的正则配分函数写为：

$Zₙ = [1/(N! h³ᴺ)] ∫ d³ᴺq d³ᴺp exp[−βH(q,p)]$

其中 H(q,p) 是 Hamilton 函数，q,p 分别代表全部位置和动量坐标。因子 1/N! 避免把同种粒子的标号排列重复计数；h^{3N} 由 Planck 常数确定相空间的计数尺度，使配分函数无量纲；这是吸收量子理论后采用的现代写法，并非照录 Gibbs 原著的记号。具体的量子统计由后来的 Bose、Fermi 和 Dirac 等人建立。

这项工作的意义，在于把“哪些差别算不同的物理状态”纳入统计力学的基础。混合熵不仅涉及计数，还涉及组分能否被物理地区分和分离；任意人为编号不能成为新的热力学组分。
6. 发展物理计算的语言：现代向量分析

Gibbs 与 Heaviside 独立发展现代向量分析。Gibbs 引入了沿用至今的点积与叉积记号，并将向量代数和向量微积分系统化，使之成为适合物理学应用的计算工具。

Gibbs 在 1881、1884 年印行供学生使用的讲义，后来由学生 Edwin Bidwell Wilson 整理为 1901 年出版的《向量分析》。

Gibbs 的博士课题：轮齿应该做成什么形状？

Gibbs 最早的研究涉及一个机械设计问题。1863 年，24 岁的他以《论直齿轮传动中的轮齿形状》（On the Form of the Teeth of Wheels in Spur Gearing）获得耶鲁大学博士学位，这也是美国第一个工程学博士学位。论文讨论的是如何确定相互配合的齿形，使两个齿轮按预定的转动关系传递运动。

可以用一对外啮合齿轮理解这个问题：20 齿的小轮转一圈，40 齿的大轮反向转半圈。但要让大轮在每一瞬间都以小轮一半的转速转动，还需要合适的齿形。两齿接触的位置会沿齿面移动，各处的轮廓必须配合，才能连续传递所要求的运动。

从直齿轮的端面看，齿廓是两条平面曲线。问题便成为：给定两轮的转动关系，怎样选择这两条曲线，使它们在工作区间内连续相切，既不分离，也不互相穿入？Gibbs 在论文开篇写道：“the subject reduces to one of plane geometry”，即“这个问题可以化为一个平面几何问题”。具体的机械运动由此成为可以用几何方法研究的对象。

下图是论文的第 25 图。John H. Lienhard 指出，论文的 25 幅插图都是用于推导的几何构造，并未直接画出完整的轮齿外形。它们体现了 Gibbs 的研究思路：先把机械设计中的接触条件写成几何关系，再研究满足条件的曲线。

Gibbs 齿轮博士论文第 25 图，保留原图曲线和 Fig. 25 编号 — Gibbs 齿轮博士论文 · Fig. 25来源：Gibbs 博士论文，图 25；休斯敦大学《Gibbs and Visualization》转载

十年后，Gibbs 在 1873 年的热力学研究中，用内能、熵和体积构成曲面，以几何关系讨论平衡与稳定性。从早年的齿廓曲线到热力学曲面，可以看到几何方法在他研究中的重要地位。这篇早年的齿轮博士论文长期未刊，直到 1947 年才首次正式出版，距他获得学位已有 84 年。

九年无薪的教授：耶鲁与 Johns Hopkins 的邀约

1871 年受聘时，Gibbs 还没有发表数学物理方面的论文。他在耶鲁的教授职位最初九年没有薪水，生活由父亲留下的财产支持。1880 年，Johns Hopkins 大学提出年薪 3000 美元的聘请，耶鲁随后给出每年 2000 美元；他选择留在 New Haven。

在这九年中，他完成并发表了热力学曲面和非均匀物质平衡的代表性研究。

Gibbs 终身未婚。1869 年回国后，他继续住在 New Haven 的家庭旧居，与姐妹 Anna、Julia 以及 Julia 的家人共同生活。家产使他能够维持独立的生活，也支持了他最初九年没有薪水的教授生涯。

读不懂公式的人，为什么替它们付印刷费？

Gibbs 的重要论文发表于《康涅狄格科学院学报》。论文篇幅长，数学公式又多，排印成本很高。为让工作得以出版，耶鲁教授和 New Haven 的商人共同筹款；据美国物理联合会的历史介绍，资助者中很少有人、甚至可能没有人能读懂这些论文。

学院通过与其他学会交换学报传播论文，Gibbs 也主动寄出抽印本，并另发摘要。Maxwell 的阅读与介绍，进一步帮助同行理解这些抽象结果。

Maxwell 的礼物：把热力学曲面做成石膏模型

1873 年，Gibbs 用几何方法研究热力学，把固定物质量时的内能写成熵和体积的函数 U=U(S,V)。曲面不仅画出状态，还把温度与压强包含在斜率中：

T = (∂U/∂S)ᵥ,ₙ，p = −(∂U/∂V)ₛ,ₙ

Maxwell 读后，真的动手把这套几何关系做成立体模型：先用黏土塑形，再制成石膏模型，并把其中一件送给 Gibbs。这件模型至今仍保存在耶鲁大学物理系。他还在曲面上画出等温线和等压线；苏格兰国家博物馆的介绍记载，部分曲线是借助阳光掠过曲面时形成的轮廓描出来的。

一篇高度抽象的论文，就这样变成可以拿在手里、转过来观看的礼物。模型表现的是具有固、液、气相特征的理想化物质，而不是把水的全部实验数据原样做成立体图。

读图提示：几何图左上角用旧记号 v,\phi,e 表示体积、熵与内能；标为 T_i 和 P_i 的曲线分别是等温线和等压线。对照上面的偏导数公式：固定体积时，沿熵方向的曲面斜率给出温度；固定熵时，沿体积方向的斜率的负值给出压强。

Maxwell 热力学曲面模型的两个视角来源：《A Commentary on the Scientific Writings of J. Willard Gibbs》（1936），图 3、4；Internet Archive 扫描，Wikimedia Commons 收录

Maxwell 的热力学曲面手稿来源：Maxwell，1875 年 7 月 8 日手稿；《科学书信与论文集》第 3 卷，图版 IV（第 232 页）；Wikimedia Commons

热力学曲面的几何图示来源：Maxwell，《Theory of Heat》（1875），第 207 页，图 26d；Wikimedia Commons

读者嫌太难，作者却嫌太长

1892 年 6 月 5 日，Rayleigh 写信给 Gibbs，建议他为《论非均匀物质的平衡》出新版，或以这篇论文为基础写一本专著，让读者更容易理解其中的思想。他认为原文：

“too condensed and too difficult for most, I might say all, readers.”

“对大多数读者——我甚至可以说，对所有读者——都过于凝练，也过于难懂。”

Gibbs 在 6 月 27 日的回信中，先回应了 Rayleigh 提出的光学问题，末尾谈到这篇论文时写道：

“I myself had come to the conclusion that the fault was that it was too long. I do not think that I had any sense of the value of time, of my own or others, when I wrote it.”

“我自己倒早已得出结论，认为它的毛病在于太长了。我想，写这篇论文时，我对时间的价值并没有什么意识，无论是自己的时间，还是别人的时间。”

Rayleigh 希望 Gibbs 多作一些解释；Gibbs 的回信则带有对自己写作方式的反省，提到了作者和读者双方付出的时间。这里讨论的是他的热力学长篇论文《论非均匀物质的平衡》。

晚年与纪念

1902 年：《统计力学基本原理》

《统计力学基本原理》的副标题是“特别论及热力学的合理基础”。书中先讨论一般力学体系的概率分布，最后一章再专门讨论分子体系中的同种粒子计数与粒子数变化。这样的安排让系综方法不必从某一种具体气体模型出发，也能建立与热力学的联系。

Gibbs 1902 年统计力学著作扉页 — 《统计力学基本原理》1902 年扉页来源：Gibbs，《统计力学基本原理》（1902）；加州大学图书馆藏本，Wikimedia Commons 收录

逝世与学术影响

1903 年，Gibbs 在 New Haven 去世，安葬于当地的 Grove Street Cemetery。他的一生与耶鲁和这座城市紧密相连，系综方法却进入了远为广阔的研究领域，后来在量子统计、多体物理和计算统计物理中继续发展。

据 Yale Alumni Magazine（2017）转述，Einstein 曾称 Gibbs 为“the greatest mind in American history”（美国历史上最伟大的头脑）。

资料与进一步阅读

人物生平、工程学博士与任教经历：MacTutor：Josiah Willard Gibbs；Yale：Gibbs 百年纪念。
父亲的任职与家庭生活：耶鲁神学院图书馆：早期圣经研究；耶鲁 Gibbs 档案目录，第 4 页；家庭旧居、与姐妹同住及家产支持的情况见 Klein（1990），第 41 页。
博士学位排序与“统计力学”的命名：AIP／Physics Today：Josiah Gibbs（2016）；第五个博士学位、第一个工程学博士学位亦见 Grove Street Cemetery 导览，第 6 页。
系综与概率的原始论述：Gibbs，《统计力学基本原理》（1902），尤其第 IV 章：正则系综、第 XIV 章的热力学对应及第 XV 章：同种粒子与粒子数变化。正文公式采用现代记号。
现代公式与热库推导：David Tong：Statistical Physics 讲义，第 1 章讨论系综、配分函数和涨落，第 2 章讨论经典气体及 Gibbs 佯谬。本文的现代推导不作为 Gibbs 原文引述。
热力学、化学平衡与早期评价：英国皇家学会 Gibbs 悼文。
向量分析与记号：Gibbs 原讲义，第 13–14 节：点积与叉积记号；Gibbs 与 Heaviside 的独立发展见 Physics Today：Oliver Heaviside（2012）。
齿轮博士论文与学位：Yale：美国第一个工程学博士学位；耶鲁 Gibbs 档案目录收录 1863 年论文手稿。
论文开篇、1947 年首次出版与研究风格：Martin J. Klein，The Physics of J. Willard Gibbs in His Time，Physics Today 43(9), 40–48（1990），PDF 第 2 页；25 幅几何插图的描述见 John H. Lienhard，Gibbs and Visualization。
课堂齿形背景：Carnegie Mellon University：Introduction to Mechanisms，第 7 章，第 7.2–7.3 节讨论啮合定律与渐开线；University of Western Australia：Conjugate tooth action，解释接触点的法向速度条件与配对齿廓。
后续技术研究：Shoichi Ishikawa，A Geometric Relationship between Pitch Curves and Tooth Profiles in Spur Gearing with Variable Ratio（2001），作者明确说明曲率关系的推导以 Gibbs 博士论文为基础。
九年无薪与论文出版筹款：AIP：Gibbs 生平与出版经历；年薪数额见 Yale Alumni Magazine：Gibbs 人物介绍。
Maxwell 制作与赠送曲面模型：苏格兰国家博物馆：热力学模型的历史；模型在耶鲁物理系的保存地点及 Einstein 评价的转述见 Yale Alumni Magazine：Gibbs 专题（2017）。各幅图片的具体出处见图下注明。
Rayleigh 与 Gibbs 的通信刊本：E. B. Wilson，A Letter from Lord Rayleigh to J. Willard Gibbs and His Reply，PNAS 31(1), 34–38（1945）；PMC 免费全文与原刊扫描。正文英文与原刊扫描核对：Rayleigh 的日期与摘录见第 35 页，Gibbs 的回信日期见第 35 页，摘录见第 38 页；中文为译文。

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04 · 9 月 28 日（周一） · John Joseph Hopfield、Geoffrey Everest Hinton

Hopfield 与 Hinton：从联想记忆到深度学习

课程内容：自由能、能量涨落与二能级系统

课堂共看

网络怎样从恢复一段记忆，走向学习数据的概率分布？

Hopfield：固定权重，让集体动力学恢复记忆。
Hinton 与合作者：用玻尔兹曼分布描述随机网络，通过数据学习权重。
从能量下降到关联函数之差，统计物理成为学习算法的一部分。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

John Joseph Hopfield（1933 年生）

美国理论物理学家，以集体行为和动力学研究记忆与生物识别。2024 年与 Geoffrey E. Hinton 分享诺贝尔物理学奖，获奖主题是使人工神经网络机器学习成为可能的基础性发现与发明。

早年与求学

1933 年出生于 Chicago，父母都是物理学家。1954 年毕业于 Swarthmore College，1958 年在 Cornell University 获博士学位，导师是 Albert W. Overhauser。博士研究关注晶体中光与激子的耦合，为其后来的极化激元工作奠定基础。

学术生涯

1958 年进入 Bell Laboratories，随后在 Paris、Berkeley 和 Princeton 从事研究与教学。1980 年赴 Caltech，担任化学与生物学教授；1997 年回到 Princeton 的分子生物学系。研究对象从半导体光学走向蛋白质、分子识别与神经网络，集体状态和动力学始终是贯穿其中的问题。

Geoffrey Everest Hinton（1947 年生）

英国出生的加拿大计算机科学家与认知科学家，长期研究神经网络怎样学习。1970 年在 Cambridge 获实验心理学学士学位，1978 年在 Edinburgh 获人工智能博士学位；在 Carnegie Mellon 任教后于 1987 年进入 University of Toronto，也曾创建 University College London 的 Gatsby Computational Neuroscience Unit。

他的学术训练来自实验心理学与人工智能；与物理学的关键联系，是把能量函数、玻尔兹曼分布和关联函数用于学习。玻尔兹曼机中固定权重时的随机状态更新，与训练时改变权重，是两个不同层次；模型中的温度控制噪声强度，不必等于计算机硬件的实际温度。

与合作者发展玻尔兹曼机、分布式表征和深度学习方法。2018 年与 Yoshua Bengio、Yann LeCun 共同获得图灵奖，2024 年与 Hopfield 共同获得诺贝尔物理学奖。

主要学术贡献：共同主题——从联想记忆到概率学习

本节先讲两条研究路线的联系，再分别介绍各自的重要工作。这里的共同主题是能量描述与统计学习，并非把两人的代表作视为共同署名成果。

1. Hopfield：从残缺线索恢复记忆（1982）

看到一部分图样，怎样恢复原来存储的完整图样？Hopfield 将记忆表示为网络的稳定集体状态，并用动力学把附近的初始状态带向这些状态。记忆分布在连接权重中，而不是放在某一个“记忆神经元”内。

下面采用便于与 Ising 模型比较的 $s_i=\pm1$ 记号；原论文采用零和一的二值记号。考虑固定的对称权重 $J_{ij}=J_{ji}$、无自连接 $J_{ii}=0$ 和固定阈值 $\theta_i$，定义网络能量：

$E(\mathbf s)=-\frac12\sum_{i\ne j}J_{ij}s_i s_j+\sum_i\theta_i s_i$

从物理上看，二值单元对应 Ising 自旋，权重对应相互作用，阈值对应局部偏置。不同记忆可以对应不同的局部能量极小及其吸引域，多图样之间的竞争可能产生挫折和伪记忆。这里的“能量”首先是控制网络动力学的函数，不必等于硬件实际储存的物理能量。

为什么更新会降低能量？

每次只更新一个单元，其余单元保持不变。单元按局部场选取状态；局部场为零时保持原状态：

$h_i=\sum_{j\ne i}J_{ij}s_j-\theta_i,\qquad s_i^{\prime}=\begin{cases}+1,&h_i>0,\\-1,&h_i<0,\\s_i,&h_i=0,\end{cases}$

把更新前后的状态代入能量函数，由权重对称性可直接得到：

$\Delta E=-(s_i^{\prime}-s_i)h_i\le0$

实际发生翻转时，能量严格下降；有限个二值状态不会构成下降循环。如果每个单元都持续获得更新机会，网络最终停在对单点翻转稳定的状态。这个结论依赖上述异步规则：同时更新多个单元可能产生振荡。它保证稳定收敛，但不保证终点是目标记忆或全局最低能量。

记忆怎样写入连接？

设希望存储 $P$ 个图样，每个图样有 $N$ 个分量 $\xi_i^{\mu}=\pm1$。一种经典的 Hebb 型外积规则是：

$J_{ij}=\frac1N\sum_{\mu=1}^{P}\xi_i^{\mu}\xi_j^{\mu}\quad(i\ne j),\qquad J_{ii}=0$

同一图样中同号的单元贡献正权重，异号的单元贡献负权重。存储阶段设定权重，回忆阶段固定权重、更新状态；这是两件不同的事。多个图样会发生串扰，还可能形成伪记忆，因此这条规则不保证任意多的图样都精确稳定。

用重叠度描述集体记忆
统计物理用宏观量概括大量微观自由度。对于目标图样 $\boldsymbol\xi^{\mu}$，可用重叠度衡量当前网络状态与它的一致程度：
$m^{\mu}=\frac1N\sum_{i=1}^{N}\xi_i^{\mu}s_i$
$m^{\mu}=1$ 表示完全恢复，$m^{\mu}=-1$ 表示整体反向；与目标无关的随机状态通常在零附近涨落。它类似磁化强度，是描述记忆检索的集体量；有限网络中观察到稳定记忆，并不自动意味着存在热力学相变。

一个可以手算的纠错例子

本课取 $N=6$、$P=1$、$\theta_i=0$，按上式只存储一个图样。把第三个分量翻错，得到初始状态：

$\boldsymbol\xi=(+1,+1,-1,+1,-1,-1),\qquad \mathbf s=(+1,+1,+1,+1,-1,-1)$

更新第三个单元时，其余五个单元共同给出：

$h_3=-\frac56,\qquad s_3^{\prime}=-1,\qquad\Delta E=-\frac53$

这一步把错误分量纠正，恢复完整图样。这个例子只说明单图样附近的吸引过程；零阈值模型还具有整体翻转对称性，$-\boldsymbol\xi$ 也同样稳定。
2. Hinton 与合作者：从能量景观到玻尔兹曼分布

1985 年，David H. Ackley、Geoffrey E. Hinton 和 Terrence J. Sejnowski 发表玻尔兹曼机学习算法。模型承接 Hopfield 网络的对称连接和能量描述，引入随机更新及隐藏单元，从数据中学习统计规律。这篇论文不是 Hopfield 与 Hinton 的共同署名成果。

沿用本课的二值记号和对称权重。每次随机选择一个单元，用热浴规则采样：
$P(s_i=+1\mid\mathbf s_{\setminus i})=\frac{1}{1+e^{-2\beta h_i}},\qquad h_i=\sum_{j\ne i}J_{ij}s_j-\theta_i$
这里 $\beta>0$ 控制噪声强度。局部场 $h_i\ne0$ 时，$\beta\to\infty$ 的极限趋向确定性选态；局部场恰为零时仍随机选态，与前面“保持原状态”的约定不同。有限噪声允许偶尔升高能量，单条轨迹不再单调下降。
与本讲自由能的联系

上述 $E$ 是衡量网络状态的 Lyapunov 函数，未必等于硬件的实际能量；确定性回忆是在寻找局部能量极小。玻尔兹曼机引入满足详细平衡的随机更新。在固定权重和适当遍历性条件下，引入有效逆温度 $\beta$，才能把相应平衡分布与配分函数写为：

$p_{\beta}(\mathbf s)=\frac{e^{-\beta E(\mathbf s)}}{Z},\qquad Z=\sum_{\mathbf s}e^{-\beta E(\mathbf s)}$

$F=-\beta^{-1}\ln Z$

这里 $F$ 是对应统计模型的自由能。$E$ 描述一个构型的代价，$F$ 则包含整个状态集合及其熵的贡献；算法中的有效温度控制噪声，不能直接当成生物大脑的体温。
3. 怎样学习权重：比较数据与模型的关联

把全部单元记为可见单元和隐藏单元。可见单元对应数据，隐藏单元用于表达潜在结构。模型为可见数据分配概率时，要对隐藏状态求和：
$\mathbf s=(\mathbf v,\mathbf u),\qquad p_\beta(\mathbf v)=\sum_{\mathbf u}p_\beta(\mathbf v,\mathbf u)$
固定 $\beta$，以数据平均对数似然 $\mathcal L=\langle\ln p_\beta(\mathbf v)\rangle_{\rm data}$ 为目标。把 $J_{ij}$（$i
$\frac{\partial\mathcal L}{\partial J_{ij}}=\beta\left(\langle s_i s_j\rangle_{\rm clamped}-\langle s_i s_j\rangle_{\rm model}\right)$
第一项先把可见单元固定为数据，再对隐藏单元的条件平衡分布取平均，最后对数据平均；第二项是网络自由运行时的全模型平衡平均。若数据所要求的关联更强，就沿梯度增大对应权重；反之减小。没有隐藏单元时，第一项直接成为数据关联。

学习为什么会涉及关联函数？
在固定逆温度下，把对称耦合 \(J_{ij}$（$i<j$）视为独立参数，对配分函数求导得到：
$\frac{\partial\ln Z}{\partial J_{ij}}=\beta\langle s_i s_j\rangle_{\rm model}$
因此，似然中的归一化项直接产生模型关联。通常的统计力学是给定耦合、计算关联；这里反过来，由数据约束关联，再学习耦合，构成一种逆统计力学问题。带隐藏单元时，数据项还必须对隐藏状态取条件平均。

训练调整权重，采样则在固定权重下更新状态，两者要区分。上述精确梯度要求平衡统计，实际估计可能很慢；有限采样和近似训练不保证每一步都提高精确似然。玻尔兹曼机也不等于今天所有深度神经网络的结构。

各自的重要工作：John Hopfield

1. 用耗散提高分子识别精度：动力学校对（1974）

正确分子与错误分子的结构很相似，单次结合能差所提供的选择性有限。Hopfield 提出，在初次识别之后加入由化学自由能驱动的中间步骤，并允许分子再次解离退出，使错误分子得到额外的淘汰机会。仅仅多加一个平衡中间态，并不能获得这种增益。

在正确、错误底物浓度相同的简化模型中，令 $\Delta\Delta G>0$ 为偏向正确底物的单分子结合自由能差。两次具有相同选择性的筛选，在充分驱动且反向通路受抑制等理想极限下，可以达到：

\varepsilon_{\rm eq}=e^{-\Delta\Delta G/(k_{\mathrm B}T)},\qquad \varepsilon_{\rm two\ stages}\simeq\varepsilon_{\rm eq}^{\,2}

第一项是平衡结合时的错／对比例；第二项中的 $\varepsilon$ 是产物形成通量的错／对比例。“平方”是特定两阶段模型的极限，不是所有校对过程的通用定律。识别精度的提升伴随化学自由能消耗，也受反应速率和通量要求约束。

这项工作将生物识别连接到非平衡统计物理。Jacques Ninio 于 1975 年独立提出相关的动力学放大机制，因此也常称 Hopfield–Ninio 机制。

2. 连续神经网络与优化

记忆能力是否只是把单元粗略分成两态造成的？Hopfield 将模型扩展到具有连续输入输出关系的单元，以连续时间动力学描述网络。在对称连接及适当单调响应等条件下，仍能构造下降函数并保留联想记忆。这说明关键在于相互作用和集体动力学，而非必须使用理想二值开关。

后来他与 David Tank 把约束和目标编码进网络，用动力学寻找优化问题的解。这为物理系统执行计算提供了方法，但局部能量极小并不自动给出全局最优解。

3. 极化激元与蛋白质物理

在 1958 年的工作中，Hopfield 把晶体的激子与电磁场一起量子化。激子是晶体中的电子—空穴激发；耦合后的正常模混合了光子与激子成分，形成激子极化激元。物理重点是：相互作用使系统的本征激发发生改变，不能总把光与物质当作彼此独立的对象。

Hopfield 早期研究激子与光的耦合，并与 David G. Thomas 合作解释半导体的光谱；两人于 1969 年共同获得 Oliver E. Buckley 固体物理奖。后来，他又研究血红蛋白结合氧时的协同性，以及生物分子中的电子转移，把凝聚态物理的模型方法带入生物物理。

各自的重要工作：Geoffrey Hinton

1. 反向传播与分布式表征

1986 年，David E. Rumelhart、Geoffrey E. Hinton 与 Ronald J. Williams 展示反向传播如何训练多层网络、形成内部表征。这项合作推动了该方法的传播与应用；反向传播有更早的历史，不能把它写成 Hinton 一个人的发明。

\frac{\partial L}{\partial w_{ij}^{(\ell)}}=\delta_i^{(\ell)}a_j^{(\ell-1)},\qquad \delta_i^{(\ell)}=\frac{\partial L}{\partial z_i^{(\ell)}}

这里 $L$ 是损失函数，$w_{ij}^{(\ell)}$ 将上一层激活 $a_j^{(\ell-1)}$ 连接到本层输入 $z_i^{(\ell)}$。链式法则把输出误差逐层传回，使隐藏层也能学习有用特征。分布式表征用许多单元的活动共同表示一个概念，因而能够共享特征并推广到新组合。

2. 推进深层网络的训练与应用：AlexNet 等工作

2012 年，Alex Krizhevsky、Ilya Sutskever 与 Hinton 的 AlexNet 在大规模图像识别中展示深层卷积网络的能力。网络结构、GPU 训练与正则化方法共同推动了这一进展；它属于多位研究者长期积累上的合作成果。

3. 概率建模与逐层学习：深度信念网络

2006 年，Hinton、Simon Osindero 与 Yee-Whye Teh 提出深度信念网络的逐层学习方法，将概率建模与深层表征联系起来。逐层预训练曾为当时难以优化的深层网络提供有效起点，推动了无监督表征学习。该结构包含有向和无向部分，应与一般玻尔兹曼机区分，也不是现代深度网络训练的必需步骤。

共同线索：从 Hopfield 网络到玻尔兹曼机

1985 年玻尔兹曼机论文在介绍能量函数时，明确说明它与 Hopfield 1982 年的模型有关，致谢中也列出了 Hopfield。2024 年，两人共同获得诺贝尔物理学奖；共同获奖不意味着两项代表作都是共同署名。

个人故事：Hopfield 备课时，一个“不对”的估算

在自述《Now What?》中，Hopfield 回忆，准备 Princeton 生物物理课时，他估算某一结合位点区分异亮氨酸和缬氨酸的错／对比例约为 $1/50$，而当时相关实验给出约 $1/3000$。他最初把这当作自己跨领域估算的失败，还讲给学生听。学期结束后，这个矛盾仍让他不安：如果估算和实验都大致正确，会不会是细胞进行了额外的校对？这两个数字属于他回忆中的特定问题，并非蛋白质合成的统一错误率。

个人故事：Hopfield 与 Feynman、Mead 合讲“计算的物理学”

1981–1982 学年，Hopfield 与 Richard Feynman、Carver Mead 在 Caltech 合讲全年课程 The Physics of Computation。他们把物理、工程和生物学放到同一课堂，讨论物理器件怎样计算、神经系统怎样处理信息。这样的教学与交流，为后来建立 Computation and Neural Systems 项目积累了基础。这门课强调计算本身的物理实现，以及计算器件与神经系统所遵循的物理规律。

个人故事：Hinton 求学中的“随机游走”

Hinton 在 2025 年诺贝尔奖播客访谈中回顾，自己在 Cambridge 学习时曾不断更换方向，当时并不是一条清楚规划好的路线；多年后回看，那些经历却成了有用的背景。他最后从实验心理学走向人工智能，贯穿其中的问题是大脑如何学习。

学术影响

Hopfield 的两条重要思路分别是：让网络的集体动力学完成记忆恢复，以及让耗散的反应网络提高分子识别精度。他的诺贝尔演讲题为 Physics is a point of view，强调物理学也是寻找可定量理解问题的一种方式。

2024 年诺贝尔物理学奖对应人工神经网络机器学习的基础性工作；动力学校对是他另一项独立的重要贡献。Hopfield 网络提供了理解记忆和计算的物理模型，现代深度学习还包含不同的网络结构、训练算法与后续发展。

Hopfield 网络用吸引子动力学恢复记忆，玻尔兹曼机则学习概率分布。两者都使用能量函数，玻尔兹曼机的学习规则还涉及关联函数与配分函数。

资料与进一步阅读

Hopfield 的生平与任教经历：Princeton，Hopfield 本人履历。
Hinton 的生平与任教经历：Hinton，个人简介与履历。
共同获奖与授奖理由：2024 年诺贝尔物理学奖，官方授奖说明。
联想记忆网络：Hopfield 1982，联想记忆网络原始论文。
玻尔兹曼机与概率学习：Ackley、Hinton、Sejnowski，玻尔兹曼机学习算法（1985）。
动力学校对：Hopfield 1974，动力学校对原始论文。
独立发展的动力学校对机制：Ninio 1975，酶识别的动力学放大。
连续网络与优化：Hopfield 1984，连续响应神经元。
极化激元与生物物理：Princeton，Hopfield 的跨学科贡献。
反向传播与分布式表征：Rumelhart、Hinton、Williams，反向传播与表征（1986）。
深度信念网络：Hinton、Osindero、Teh，深度信念网络（2006）。
深度学习与 AlexNet：ACM，2018 年图灵奖成果介绍。
Hopfield 的早年经历与备课回忆：Hopfield 自述，Now What?（2018）；正文的早年经历和备课故事为转述。
计算的物理学课程：Caltech，The Physics of Computation 课程与 CNS 项目。
Hinton 的求学故事：Hinton，诺贝尔奖播客访谈（2025）。
Hopfield 的研究方法与学术回顾：Hopfield，2024 年诺贝尔演讲。
神经网络研究的物理背景：2024 年诺贝尔物理学奖，科学背景。
激子与光场的量子耦合：Hopfield，Theory of the Contribution of Excitons to the Complex Dielectric Constant of Crystals（1958）。

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05 · 9 月 30 日（周三） · 久保亮五

Kubo 公式：平衡涨落与线性响应

课程内容：化学势、巨正则系综与粒子数涨落

课堂共看

没有外加扰动时的涨落，为什么能告诉我们施加微弱外场后的响应？

明确外场、耦合量与观测量，区分关联函数和响应函数。
用谐振子的平衡位置关联，算出施加微弱外力后的位移。
用电流关联计算电导率，并在经典弛豫模型中得到具体结果。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

久保亮五（Ryogo Kubo，1920–1995）

久保亮五，日本理论物理学家，非平衡统计力学的重要奠基者之一。他的线性响应理论用平衡态的时间关联计算体系受到微弱扰动后的响应，从而把微观统计力学与实验测量联系起来。电导、磁化率和光吸收等实验，都可以在适当的弱探测条件下用这个框架理解。平衡描述的是统计分布不随时间改变，并不意味着微观运动停止。

早年与求学

1920 年出生于东京，1941 年毕业于东京帝国大学物理学科。早期研究橡胶弹性，关注大量分子的统计行为怎样表现为宏观力学性质。

学术生涯

长期任教于东京大学；1980–1981 年在京都大学基础物理学研究所工作，1981–1992 年任庆应义塾大学教授。1957 年发表线性响应理论的代表论文，1977 年获得 Boltzmann 奖章。他也编写教材、培养学生，参与日本物理学界的组织工作。

先理解：平均、涨落与响应

想象一个温度为 $T$ 的体系。没有外场时，粒子仍在热运动，电流也可能在某一瞬间偏向一个方向。所谓平衡，是这些微观状态出现的概率不随时间改变。比如向左和向右的运动在平均意义上抵消，可以有 $\langle j\rangle=0$，同时 $\langle j^2\rangle>0$。平均电流为零，并不表示每次测量的电流都为零。

尖括号 $\langle\cdot\rangle$ 表示系综平均，可以想成把同样的实验重复很多次，再取平均。$\Delta A=A-\langle A\rangle$ 是某一次观测相对平衡平均值的偏离，称为涨落。小写 $\delta\langle A\rangle$ 则表示施加外场后，平均值相对原来改变了多少，称为响应。一个是本来就有的随机变化，一个是外场引起的平均变化。

例如，未受力的弹簧粒子在原点两边运动，平均位置为零。若施加一个向右的弱力，平均位置就会向右改变。只要力足够弱，把同样形状的外力放大两倍，平均位移的一阶变化也放大两倍，这就是线性响应。线性指对外场幅度的一阶关系，不要求响应立即发生，也不要求随时间画出来是一条直线。

Kubo 公式回答：能否只研究没有外场时的热运动，就预测加上弱外场后的平均变化？它把两者用同一个平衡时间关联函数联系起来。以下先在经典正则平衡态中讨论，即初始微观状态按温度 $T$ 的 Boltzmann 权重取样。

联系微观理论与实验测量

许多实验的做法是：给接近平衡的体系一个微弱探针，测量电流、磁化或极化怎样变化。在线性响应范围内，响应的一阶变化与探针强度成正比；比例系数可以随频率变化。Kubo 理论给出这些实验响应系数的微观表达式，把平衡态的时间关联与可测量的响应联系起来。

弱扰动下的实验响应及其微观来源
实验	测量的线性关系	理论中的时间关联
电导测量	加弱电场，测电流密度：$\delta\langle j\rangle_\omega=\sigma(\omega)E(\omega)$。直流电导对应低频极限。	电流关联决定导电响应。
交流磁化率	加弱交流磁场，测磁化的幅度与相位：$\delta\langle M\rangle_\omega=\chi_m(\omega)\delta H(\omega)$。	磁矩关联联系磁响应与磁损耗。
介电响应与弱光吸收	加弱电场，测极化：$\delta\langle P_{\rm el}\rangle_\omega=\varepsilon_0\chi_e(\omega)E(\omega)$；损耗部分与光吸收相联系。	极化关联决定介电响应。
核磁共振与电子自旋共振（NMR/ESR）	在静磁场上叠加弱横向射频或微波磁场，探测共振吸收；横向指垂直于静磁场。吸收与磁化率的虚部 $\chi_m^{\prime\prime}(\omega)$ 相联系。	磁矩关联包含共振频率、线宽与弛豫的信息。
热导测量	施加小温度梯度，测稳态热流密度：$\langle\mathbf j_Q\rangle=-\kappa\nabla T$。	Green–Kubo 关系用平衡热流关联的时间积分计算热导率。

实验测量、线性响应与用于计算响应的平衡关联
实验	怎样测量	线性响应	计算的平衡关联
电导	电场 $\to$ 电流密度 $j$	$\delta\langle j\rangle=\sigma E$	$\langle\Delta j(t)\Delta j(0)\rangle$
交流磁化率	磁场 $\to$ 磁化 $M$	$\delta\langle M\rangle=\chi_m\delta H$	$\langle\Delta M(t)\Delta M(0)\rangle$
介电 / 光吸收	电场 $\to$ 极化 $P_{\rm el}$ / 吸收	$\delta\langle P_{\rm el}\rangle=\varepsilon_0\chi_e E$	$\langle\Delta P_{\rm el}(t)\Delta P_{\rm el}(0)\rangle$
核磁 / 电子自旋共振	横向交变磁场 $\to$ 磁化 $M_\perp$ / 吸收	吸收由虚部 $\chi_m^{\prime\prime}(\omega)$ 决定	$\langle\Delta M_{\perp}(t)\Delta M_{\perp}(0)\rangle$
热导	温度梯度 $\to$ 热流密度 $j_Q$	$\langle j_Q\rangle=-\kappa\,\partial_xT$	$\langle\Delta j_Q(t)\Delta j_Q(0)\rangle$

表中电、磁响应取均匀体系的标量形式，$\sigma$、$\chi_m$、$\chi_e$ 分别为电导率、磁化率和电极化率；$P_{\rm el}$ 为电极化强度，$\delta\langle P_{\rm el}\rangle$ 为它的平均值的一阶变化，$\varepsilon_0$ 为真空介电常数。热导一行取各向同性情形，$\kappa$ 为热导率。$M_\perp$ 表示垂直于静磁场的一个磁化分量。各量的张量或空间依赖可以进一步推广。

表中的关联函数是计算响应的输入，并不直接等于响应系数。经典磁化与极化响应涉及相应关联的时间导数，电导与热导涉及电流或热流关联的时间积分；具体还包含体积和场耦合系数。光吸收、自旋共振等实验若需完整量子描述，应采用量子 Kubo 公式或量子涨落耗散关系。

以电导为例，欧姆定律告诉我们“电流与电场成正比”，Kubo 理论进一步回答“这个比例系数怎样由微观运动算出来”。同样的思路也适用于磁性、介电和热输运实验。

线性指响应量对场幅的一阶响应。光吸收或磁共振吸收的平均功率通常正比于场幅的平方，仍可由线性响应函数计算；后面将给出具体公式。上述联系以近平衡、足够弱的探测为前提，强驱动造成的非线性响应需要另行处理。

从粒子数涨落理解静态响应

本讲的巨正则系综提供了一个入口：固定温度 $T$ 和体积 $V$，改变粒子库的化学势 $\mu$，平衡平均粒子数会怎样变化？令 $\Delta N=N-\langle N\rangle$，则

\langle(\Delta N)^2\rangle=k_{\mathrm B}T\left(\frac{\partial\langle N\rangle}{\partial\mu}\right)_{T,V}

左边是在给定化学势下的粒子数方差，右边是平均粒子数对化学势的敏感程度。类似地，在固定粒子数和体积的正则系综中，令 $\Delta E=E-\langle E\rangle$，有

\langle(\Delta E)^2\rangle=k_{\mathrm B}T^2C_V

其中 $C_V=(\partial\langle E\rangle/\partial T)_{V,N}$，假设哈密顿量不显含温度。这些静态关系已经可以从 Gibbs 分布推出。Kubo 理论进一步回答：外场随时间变化时，体系如何响应、以多快的速度响应，又怎样吸收能量？

粒子数公式比较的是与粒子库重新达到平衡的状态。对一个总粒子数严格守恒的封闭体系，不能直接把总粒子数代入动态响应公式，替代与粒子库交换粒子的过程。

主要学术贡献

1. 由平衡动力学计算外部响应：Kubo 公式（1957）

设未受扰动的哈密顿量为 $H_0$，施加弱扰动 $H^{\prime}(t)=-f(t)B$。$f(t)$ 是外场，$B$ 是与它耦合的物理量，$A$ 是我们测量的物理量。例如磁场耦合到磁矩，测量磁矩的变化便得到磁响应。只保留外场的一阶效应时，

$H(t)=H_0-f(t)B$

$\delta\langle A(t)\rangle=\int_{-\infty}^{t}\chi_{AB}(t-t^{\prime})f(t^{\prime})\,\mathrm dt^{\prime}$

这里 $\delta\langle A(t)\rangle=\langle A(t)\rangle_f-\langle A\rangle$。下标 $f$ 表示施加了外场，未加下标的平均取自原来的平衡态。$A$ 和 $B$ 是物理量的名称，不是固定的某两个量：先看实验测什么，再看外场与什么量耦合，才能确定它们。以外力为例，$H^{\prime}=-f(t)x$，因为这个势能产生的力为 $-\partial H^{\prime}/\partial x=f(t)$。若测位置，则 $A=B=x$；若测速度，则 $A=v$、$B=x$。

积分可以按时间切成许多小段来读。在过去的时刻 $t^{\prime}$，外场作用了很短的时间 $\mathrm dt^{\prime}$；它对现在的影响是 $\chi_{AB}(t-t^{\prime})f(t^{\prime})\mathrm dt^{\prime}$。把所有过去时刻的贡献加起来，就是现在的总响应。$\chi_{AB}$ 称为响应核，描述一次短促扰动的影响怎样随时间延续。积分上限是现在的 $t$，因为未来的外场不能影响现在。

上面的积分定义了线性响应的一般形式，尚未告诉我们响应核怎样计算。Kubo 公式进一步把响应核写成平衡关联。关键在于：线性响应的系数由平衡态及其时间演化决定，而不仅由某一时刻的涨落大小决定。这给出了一套一般计算方法，实际求关联函数仍可能需要近似或数值模拟。这里假设 $A$ 本身不显含外场；若显含，还需计入它的显式变化。

关联函数：两次观测怎样联系？

先不施加外场。在同一条微观轨迹上，记录零时刻 $B$ 相对均值的偏离，再记录时间 $t$ 后 $A$ 的偏离，把两者相乘。对许多初始微观状态做平均，就得到 $C_{AB}(t)=\langle\Delta A(t)\Delta B(0)\rangle$。两次偏离同号时，乘积贡献为正；异号时贡献为负。关联是这些乘积的平均，既取决于正负号，也取决于偏离的大小。关联为零只表示这个二阶统计量为零，并不一般等价于两个变量完全独立。

当测量同一个量，即 $A=B$ 时，$C_{AA}(0)=\langle(\Delta A)^2\rangle$ 就是方差，告诉我们涨落有多大。$C_{AA}(t)$ 随时间怎样变化，则告诉我们起初的偏离与后来还有多强的联系。关联衰减表示逐渐失去与初始状态的联系，不表示平衡热运动停止。

经典形式与阶跃响应

对于经典正则平衡态，令 $\Delta A=A-\langle A\rangle$、$\Delta B=B-\langle B\rangle$，$C_{AB}(t)=\langle\Delta A(t)\Delta B(0)\rangle$。响应核也可以写成

$\begin{aligned}\chi_{AB}(t)&=\frac{\Theta(t)}{k_{\mathrm B}T}\left\langle\Delta A(t)\dot B(0)\right\rangle\\&=-\frac{\Theta(t)}{k_{\mathrm B}T}\frac{\mathrm d C_{AB}(t)}{\mathrm dt}.\end{aligned}$

这里有两个不同的对象：$C_{AB}$ 是 $A$ 与 $B$ 的平衡关联，响应核 $\chi_{AB}$ 则正比于 $A$ 与 $\dot B$ 的关联。$\dot B(0)$ 表示按 $H_0$ 演化的 $B$ 的时间导数在零时刻的值。平衡时 $\langle\dot B\rangle=0$，所以无需再减去它的均值。

$C_{AB}(t)=\langle\Delta A(t)\Delta B(0)\rangle$

第二个等号的负号来自平衡关联的平稳性：关联只依赖两个时刻之差。对第二个时间求导，便有

$\langle\Delta A(t)\Delta B(s)\rangle=C_{AB}(t-s)$

$\langle\Delta A(t)\dot B(0)\rangle=\left.\frac{\partial C_{AB}(t-s)}{\partial s}\right|_{s=0}=-\frac{\mathrm d C_{AB}(t)}{\mathrm dt}$

所以，可以先算 $C_{AB}(t)$ 再取负的时间导数，也可以直接算 $\langle\Delta A(t)\dot B(0)\rangle$。这些普通变量乘积的公式适用于经典正则平衡态；量子体系须用对易子或相应的 Kubo 变换关联，不能直接把普通量子关联代入经典公式。

若取 $B=A$，并在 $t=0$ 突然打开一个微弱恒定外场 $f(t)=f_0\Theta(t)$，对响应核积分就得到

$\delta\langle A(t)\rangle=\frac{f_0}{k_{\mathrm B}T}\left[C_{AA}(0)-C_{AA}(t)\right]\qquad(t>0)$

这里 $C_{AA}(0)=\langle(\Delta A)^2\rangle$。若 $C_{AA}(t)\to0$，长时间响应便趋于 $f_0\langle(\Delta A)^2\rangle/(k_{\mathrm B}T)$：涨落的方差决定最终响应大小，关联衰减决定达到它的过程。用动态响应恢复这种静态关系，要求相应涨落能够弛豫。

例一：弹簧粒子的涨落与受力位移

把谐振子想成一个拴在弹簧上的粒子。$m$ 是质量，$p$ 是动量，$k$ 是弹簧劲度，$\omega_0=\sqrt{k/m}$ 是自然角频率。先按温度 $T$ 的正则分布取初始位置和动量，再按无阻尼动力学演化。外力与位置耦合，我们也测位置，所以 $A=B=x$、$\dot B=v$。

$H_0=\frac{p^2}{2m}+\frac12kx^2,\qquad H^{\prime}=-f(t)x$

未受力时，原点两边的位移对称，故 $\langle x\rangle=0$，但粒子并非静止。能量均分定理把弹性势能的平均值与温度联系起来：

$\frac12k\langle x^2\rangle=\frac12k_{\mathrm B}T,\qquad\langle x^2\rangle=\frac{k_{\mathrm B}T}{k}$

因此温度越高，位移涨落越大；弹簧越硬，位移涨落越小。无外力时的轨道为

$x(t)=x(0)\cos\omega_0t+\frac{p(0)}{m\omega_0}\sin\omega_0t$

乘以 $x(0)$ 后取平均。平衡分布中位置和动量独立，且 $\langle p\rangle=\langle x\rangle=0$，所以交叉项 $\langle p(0)x(0)\rangle=0$。剩下

$C_{xx}(t)=\langle x(t)x(0)\rangle=\frac{k_{\mathrm B}T}{k}\cos\omega_0t$

它在零时刻等于位移方差；半个振动周期后为负，因为此时粒子更倾向于出现在原点另一侧。关联可以振荡、改变符号，并不总是单调衰减。把这个无外力时算出的函数代入 Kubo 公式：

$\chi_{xx}(t)=-\frac{\Theta(t)}{k_{\mathrm B}T}\frac{\mathrm d C_{xx}}{\mathrm dt}=\frac{\Theta(t)}{m\omega_0}\sin\omega_0t$

再考虑一个具体实验：零时刻打开向右的恒定弱力，$f(t)=f_0\Theta(t)$。零时刻以前没有外力，所以卷积只剩从零到现在的贡献：

$\begin{aligned}\delta\langle x(t)\rangle&=f_0\int_0^t\chi_{xx}(s)\,\mathrm ds\\&=\frac{f_0}{k}(1-\cos\omega_0t),\qquad t>0.\end{aligned}$

初始平均位移变化为零，随后开始向右移动，并绕着受力后的平衡位置 $f_0/k$ 振荡。这个结果也可由 $m\,\mathrm d^2\delta\langle x\rangle/\mathrm dt^2+k\delta\langle x\rangle=f_0$ 和零初始平均位移、速度变化直接求得。本例没有摩擦，所以不会自行停在新平衡位置；讨论弛豫时需要耗散机制。

物理上，较软的弹簧既容易产生大的自发位移涨落，也容易被外力推动。Kubo 公式把这种联系定量化，并进一步给出运动随时间怎样发展。这里温度因子在响应核中消去，是理想谐振子的特性，不是一般体系的响应都与温度无关。

例二：电场耦合偶极矩，电流关联给出电导

现在考虑电导实验：对大样品施加一个均匀弱电场，测量出现的平均电流密度。欧姆定律 $\delta\langle j_x\rangle=\sigma_{\rm dc}E_x$ 给出电流与电场的比例关系，我们要从粒子的运动算出比例系数 $\sigma_{\rm dc}$。$V$ 是体积，$q_i$ 是第 $i$ 个粒子的电荷，$x_i$ 是其位置。电场耦合的是总电偶极矩 $\mathcal P_x$：

$\mathcal P_x=\sum_i q_i x_i,\qquad H^{\prime}(t)=-E_x(t)\mathcal P_x$

$A=j_x,\qquad B=\mathcal P_x,\qquad\dot B=\sum_i q_i v_{ix}=Vj_x$

电荷移动会改变电偶极矩，因此它的时间导数 $\dot{\mathcal P}_x=\sum_iq_i v_{ix}$ 就是电流密度的体积积分 $Vj_x$，这里 $j_x$ 是体积平均电流密度。这样，$A$ 与 $\dot B$ 正好都变成电流密度（相差体积因子）。这解释了电导公式为什么出现电流自关联：与电场耦合的 $B$ 是偶极矩，求一次时间导数后才是电流。

$\begin{aligned}\delta\langle j_x(t)\rangle&=\int_{-\infty}^t\chi_{j\mathcal P}(t-s)E_x(s)\,\mathrm ds,\\\chi_{j\mathcal P}(t)&=\frac{V\Theta(t)}{k_{\mathrm B}T}C_{jj}(t),\\C_{jj}(t)&=\langle\Delta j_x(t)\Delta j_x(0)\rangle.\end{aligned}$

$\chi_{j\mathcal P}(t)=\frac{V\Theta(t)}{k_{\mathrm B}T}C_{jj}(t)$

恒定电场持续作用时，各个过去时刻的响应累加。若电流关联衰减且其积分收敛，长时间后形成稳态直流响应 $\delta\langle j_x\rangle=\sigma_{\rm dc}E_x$。因此，电导率就是响应核对全部延迟时间的积分：

$\begin{aligned}\sigma_{\rm dc}&=\int_0^\infty\chi_{j\mathcal P}(t)\,\mathrm dt\\&=\frac{V}{k_{\mathrm B}T}\int_0^\infty C_{jj}(t)\,\mathrm dt.\end{aligned}$

交流电导相应为 $\sigma(\omega)=\int_0^\infty e^{i\omega t}\chi_{j\mathcal P}(t)\,\mathrm dt$。这里 $j_x$ 是电流密度；若改用广延量 $J_x=Vj_x$，关联积分的系数应改为 $1/(Vk_{\mathrm B}T)$。电导取体相输运极限，不能用有限孤立样品无限久后的静态极化来替代导电稳态。量子导电问题须使用量子线性响应，并按所选耦合方式处理可能的显式场依赖项。

可以把关联积分理解为关联曲线与时间轴之间的带符号面积。正的关联增加积分，负的关联抵消一部分。这个面积记录了微观运动在多长时间内仍对后来有影响，而电导率把它转化为宏观电流对外场的敏感程度。

具体计算：经典弛豫模型恢复 Drude 电导率

为了算出具体结果，假设碰撞逐渐消除一个载流子原有的速度方向记忆，并用指数衰减近似这个过程。$\tau$ 是速度弛豫时间：经过时间 $\tau$，与初始速度的关联减为原来的 $1/e$。新的碰撞仍不断产生随机运动，因此关联衰减不意味着热运动停止。

设有 $N$ 个电荷为 $q$、质量为 $m$ 的经典载流子，数密度 $n=N/V$。用相互独立、具有常数速度弛豫时间 $\tau$ 的 Langevin 模型描述其平衡运动。各粒子沿一个方向的速度关联满足

$\langle v_{ix}(t)v_{jx}(0)\rangle=\delta_{ij}\frac{k_{\mathrm B}T}{m}e^{-t/\tau},\qquad t\geq0$

其中 $\delta_{ij}$ 在同一粒子时为一、不同粒子时为零，表达独立粒子之间没有交叉关联。只看一个粒子，就是

$\langle v_x(t)v_x(0)\rangle=\frac{k_{\mathrm B}T}{m}e^{-t/\tau},\qquad t\geq0$

电流密度 $j_x=(q/V)\sum_i v_{ix}$，平衡平均为零。展开双重求和后，不同粒子的交叉项为零，因此

$C_{jj}(t)=\frac{Nq^2k_{\mathrm B}T}{mV^2}e^{-t/\tau}=\frac{nq^2k_{\mathrm B}T}{mV}e^{-t/\tau},\qquad t\geq0$

代入电流关联积分，利用 $\int_0^\infty e^{-t/\tau}\,\mathrm dt=\tau$，得到

$\sigma_{\rm dc}=\frac{V}{k_{\mathrm B}T}\frac{nq^2k_{\mathrm B}T}{mV}\tau=\frac{nq^2\tau}{m}$

也可直接平均受力方程：

$m\frac{\mathrm d\langle v_x\rangle}{\mathrm dt}=-\frac m\tau\langle v_x\rangle+qE_x$

稳态时 $\langle v_x\rangle=q\tau E_x/m$，于是 $\langle j_x\rangle=nq\langle v_x\rangle=(nq^2\tau/m)E_x$，与 Kubo 计算一致。若在零时刻打开恒定弱电场 $E_0$，把响应核积分到当前时刻 $t$，就得到平均电流的完整建立过程

$\begin{aligned}\delta\langle j_x(t)\rangle&=E_0\int_0^t\chi_{j\mathcal P}(s)\,\mathrm ds\\&=\sigma_{\rm dc}E_0(1-e^{-t/\tau}),\qquad t>0.\end{aligned}$

蓝线是无外场的平衡电流关联，橙线是打开恒定弱电场后的平均电流。两条曲线均已归一化，横轴以速度弛豫时间为单位。本课程绘制 · 经典指数弛豫模型，非实验数据

图中的两条线对应不同的测量：蓝线在不加外场时测量，表示对起初电流方向的记忆逐渐消失；橙线在零时刻打开恒定弱电场后测量，表示平均电流逐渐建立。在这个模型中，同一个 $\tau$ 同时控制这两个过程。$t=\tau$ 时，蓝线降到约 $37\%$，橙线达到最终值的约 $63\%$。

在这个模型中，速度相关保持越久，关联积分越大，电导率也越大。平衡时 $\langle j_x\rangle=0$ 并不意味着 $C_{jj}(t)=0$：自发电流涨落记录了载流子保持运动方向的时间。这是经典模型的演示，不把能量均分直接套用于简并电子气。

补充：量子体系中的 Kubo 公式

量子体系中，普通物理量成为算符。对扰动 $H^{\prime}=-f(t)B$，相应的线性响应公式为

$\chi_{AB}(t)=\frac{i}{\hbar}\Theta(t)\left\langle[A(t),B(0)]\right\rangle$

$\Theta(t)$ 是阶跃函数，$[A,B]=AB-BA$ 是对易子，$A(t)=e^{iH_0t/\hbar}Ae^{-iH_0t/\hbar}$。平均取自未受扰动的热平衡态。扰动中取负号 $H^{\prime}=-fB$ 时，上式的正号 $i/\hbar$ 与对易子次序 $[A(t),B(0)]$ 相配套。
2. 联系噪声与能量吸收：涨落耗散定理

自发涨落的频谱与弱外场造成的耗散并非相互独立。这个思想沿着 Einstein 的布朗运动、Nyquist 的热噪声和 Callen–Welton 等人的研究发展；Kubo 将它纳入一般的线性响应框架。下面先看经典正则平衡态，取同一个实观测量 $A$ 及其共轭外场，即 $H^{\prime}(t)=-f(t)A$。令 $\Delta A=A-\langle A\rangle$，统一采用以下 Fourier 约定：

$\begin{aligned}S_{AA}(\omega)&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega t}\langle\Delta A(t)\Delta A(0)\rangle\,\mathrm dt,\\\chi_{AA}(\omega)&=\int_0^{\infty}e^{i\omega t}\chi_{AA}(t)\,\mathrm dt.\end{aligned}$

$S_{AA}$ 是双边涨落谱，$\chi_{AA}^{\prime\prime}=\operatorname{Im}\chi_{AA}$ 是响应函数的虚部。经典涨落耗散定理在非零正频率下写为

$S_{AA}(\omega)=\frac{2k_{\mathrm B}T}{\omega}\chi_{AA}^{\prime\prime}(\omega)\qquad(\omega>0)$

为什么右边称为“耗散”？施加 $f(t)=f_0\cos\omega t$，在瞬态衰减后的周期稳态中，线性响应为

$\delta\langle A(t)\rangle=f_0\left[\chi_{AA}^{\prime}(\omega)\cos\omega t+\chi_{AA}^{\prime\prime}(\omega)\sin\omega t\right]$

$\chi_{AA}^{\prime}=\operatorname{Re}\chi_{AA}$ 控制与外场同相的分量，$\chi_{AA}^{\prime\prime}$ 控制与它相差 $\pi/2$ 的分量。外场做功的瞬时功率为 $P(t)=-\dot f(t)\langle A(t)\rangle$。对一个周期取平均，同相分量的净贡献为零，而相差 $\pi/2$ 的分量留下

$\overline P=\frac12\omega f_0^2\chi_{AA}^{\prime\prime}(\omega)$

因此，同一频率上的平衡噪声与外场吸收由定理定量联系起来。热容和粒子数方差是静态涨落—响应关系；这里的频谱与吸收功率才直接展示了动态耗散。

进一步：量子涨落要说明算符次序

量子体系中 $A(t)$ 与 $A(0)$ 一般不对易。对厄米观测量，定义对称化关联及其双边谱：

$C_{AA}^{\mathrm{sym}}(t)=\frac12\left\langle\{\Delta A(t),\Delta A(0)\}\right\rangle$

其中 $\{X,Y\}=XY+YX$，$S_{AA}^{\mathrm{sym}}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega t}C_{AA}^{\mathrm{sym}}(t)\,\mathrm dt$。在相同的响应与 Fourier 约定下，对 $\omega>0$，

$S_{AA}^{\mathrm{sym}}(\omega)=\hbar\coth\!\left(\frac{\hbar\omega}{2k_{\mathrm B}T}\right)\chi_{AA}^{\prime\prime}(\omega)$

当 $\hbar\omega\ll k_{\mathrm B}T$ 时，$\hbar\coth[\hbar\omega/(2k_{\mathrm B}T)]\simeq2k_{\mathrm B}T/\omega$，恢复经典形式。对称化谱与未对称化谱的量子因子不同；若存在守恒量造成的零频静态分量，还需单独处理，不能直接代入上述非零频率公式。
3. 把输运系数写成关联积分：Green–Kubo 关系

Green 与 Kubo 等人发展的方法，把宏观输运系数与平衡电流、速度或应力的时间关联联系起来。以三维、各向同性、无平均漂移的经典体系为例，被跟踪粒子的自扩散系数为

$D=\frac13\int_0^{\infty}\langle\mathbf v(t)\cdot\mathbf v(0)\rangle\,\mathrm dt$

$\mathbf v(t)$ 是同一个粒子的速度。令 $C_v(t)=\langle\mathbf v(t)\cdot\mathbf v(0)\rangle$，由 $\mathbf r(t)-\mathbf r(0)=\int_0^t\mathbf v(s)\,\mathrm ds$ 和平稳性，可以得到

$\left\langle|\mathbf r(t)-\mathbf r(0)|^2\right\rangle=2\int_0^t(t-s)C_v(s)\,\mathrm ds$

在正常扩散的长时间极限，$\langle|\mathbf r(t)-\mathbf r(0)|^2\rangle\sim6Dt$，上式便给出速度关联积分。它说明，扩散不仅取决于速度有多大，也取决于速度方向保持相关的时间；负关联还会抵消一部分积分。

这里的 $1/3$ 来自三维各向同性，且要求关联积分收敛。弹道运动或某些反常扩散情形未必具有有限的通常扩散系数。上述普通速度乘积是经典表达，量子输运需使用相应的量子关联函数。

一个可计算的例子：从扩散到迁移率

在经典 Langevin 模型中，忽略流体记忆，采用常数摩擦和满足热平衡条件的白噪声。设粒子质量为 $m$，速度弛豫时间为 $\tau$，平衡速度关联为

$C_v(t)=\frac{3k_{\mathrm B}T}{m}e^{-|t|/\tau}$

将它积分，得到 $D=k_{\mathrm B}T\tau/m$。若摩擦力为 $-(m/\tau)\mathbf v$，施加微弱恒力 $\mathbf F$ 后，平均漂移速度为 $\langle\mathbf v\rangle=b\mathbf F$，其中机械迁移率 $b=\tau/m$。所以

$D=\frac{k_{\mathrm B}T\tau}{m}=k_{\mathrm B}T b,\qquad b=\frac{\tau}{m}$

这就是 Einstein 关系的一个具体实现：不加外力时的随机扩散，与加弱力后的定向漂移联系起来。这里用 $b$ 表示机械迁移率，避免与本讲的化学势 $\mu$ 混淆。

同一个指数关联代入前面的均方位移公式，还得到

$\left\langle|\mathbf r(t)-\mathbf r(0)|^2\right\rangle=6D\left[t-\tau\left(1-e^{-t/\tau}\right)\right]$

记 $\Delta\mathbf r(t)=\mathbf r(t)-\mathbf r(0)$。在模型适用的时间尺度内，$t\ll\tau$ 时为弹道行为 $\langle|\Delta\mathbf r(t)|^2\rangle\simeq3k_{\mathrm B}Tt^2/m$；$t\gg\tau$ 时才趋于 $6Dt$。因此，扩散系数描述的是长时间的位移增长，不能把扩散规律直接套到任意短的时间。
4. 从微观运动理解谱线：磁共振与随机过程

1954 年，Kubo 与 Kazuhisa Tomita 建立磁共振吸收的一般理论，用磁矩的时间关联研究线形、展宽和弛豫。一个有意思的现象是运动变窄：局域环境变化很快时，不同频率偏移会在相位积累过程中相互平均，谱线反而可能变窄。

在简单的随机频率调制模型中，令 $\Delta$ 是角频率涨落的均方根幅度，$\tau_c$ 是其相关时间。在快速调制极限，谱线的角频率半宽 $\Gamma$ 满足量级关系

$\Gamma\sim\Delta^2\tau_c\qquad(\Delta\tau_c\ll1)$

在涨落幅度固定时，较短的相关时间对应较窄的谱线。这不是任意运动都会使谱线变窄的结论，而是有明确时间尺度条件的机制。Kubo 后来发展的广义累积量展开，也为组织随机变量和量子算符的关联计算提供了系统方法。

人物故事：让南部羡慕的小提琴

南部阳一郎（Yoichiro Nambu）回忆，在旧制第一高等学校读书时，久保比他高一年级，是音乐部成员，拉小提琴，还会在演奏会上介绍曲目，十分引人注目。南部写道（中文意译）：

我也暗暗希望，自己要是能像他那样演奏点什么就好了。

人物故事：从相机到速写本

据理化学研究所院史记载，久保曾热衷彩色摄影，作品还刊登于《朝日画报》。他问导师小谷正雄（Masao Kotani），为什么出国旅行不拍照。小谷回答（中文意译）：

那样就没有时间用自己的眼睛看了。

这句话促使久保转向写生。此后，随身携带速写本成为他的旅行习惯，作品积累到数百幅，晚年又选编成画文集《山河燦燦》。

两对夫妇的“四人展”

1989 年，久保与小田稔（Minoru Oda，1923–2001）举办联合画展。小田是日本宇宙物理学家、X 射线天文学先驱之一，曾任宇宙科学研究所所长和理化学研究所理事长。

两对夫妇都参与其中：久保画风景和建筑，妻子久保千鹤子（Chizuko Kubo）为画作配俳句，即日本的一种短诗；小田画花，妻子小田知枝（Tomoe Oda）在自家花园种花，供他写生。小田后来回忆，他们笑称这其实是“四人展”（中文意译）。

千鹤子也参与翻译，曾与久保合译埃米利奥·塞格雷（Emilio Segrè）所著的《费米传》。

晚年与影响

久保于 1995 年去世。他留下的响应函数和关联函数方法，仍广泛用于凝聚态理论、分子动力学和实验谱学。其核心贡献是建立了从平衡涨落研究近平衡动力学的系统途径；应用时必须说明参考平衡态、扰动与响应量、关联函数的定义，以及所取的频率和长时间极限。

资料与进一步阅读

线性响应原始论文：R. Kubo, Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. I（1957），J. Phys. Soc. Jpn. 12, 570–586。
涨落耗散、布朗运动与关联函数：R. Kubo, The fluctuation-dissipation theorem（1966，全文），Rep. Prog. Phys. 29, 255–284；尤其参见第 2–7 节。本文公式采用上面明确写出的现代记号与 Fourier 约定。
磁共振与运动变窄：Kubo–Tomita, A General Theory of Magnetic Resonance Absorption（1954）；随机频率调制的简单模型可参见 P. W. Anderson, A Mathematical Model for the Narrowing of Spectral Lines by Exchange or Motion（1954）。
交流磁化率的实验读法：Quantum Design, Introduction to AC Susceptibility，说明弱交流磁场下的幅度、相位与复磁化率。
热导率与平衡热流关联：LAMMPS 文档，Calculate thermal conductivity；heat flux 与 Green–Kubo 公式。
累积量方法：R. Kubo, Generalized Cumulant Expansion Method（1962）。
小提琴与南部的回忆：南部阳一郎，《私の知っている久保亮五さん》（1995），日本物理学会誌 50(11), 898–900；音乐部的回忆见第 898 页，中文引语为意译。
从摄影到写生：理化学研究所院史，久保亮五画集《山河燦燦》的故事（书页 432，PDF 第 456 页）。小谷正雄的回答据该文译出。
“四人展”的回忆：小田稔，《こわくて優しかった久保さん》（1995），日本物理学会誌 50(11), 902；中文表述为意译。
小田稔与夫人的身份：乔治·克拉克（George Clark）等，《Minoru Oda》（2001），Physics Today；记述其 X 射线天文学贡献、夫人知枝，以及夫妇与花卉绘画有关的共同爱好。夫人的汉字姓名据宇宙科学研究所纪念文《私の小田稔先生九景》（2001）。
人物生平与学术回顾：日本物理学会，久保亮五追悼专辑目录（1995）；みすず書房，久保亮五作者与译者资料；IUPAP，1977 年 Boltzmann 奖章。

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06 · 10 月 12 日（周一） · Elliott H. Lieb

从配分函数到宏观物质：Lieb 的两个追问

课程内容：经典气体、经典配分函数与态密度

课堂共看

会算一盒理想气体之后，我们还要问：真实物质为什么不会塌缩？盒子变大后，为什么仍有确定的宏观性质？

本节用态密度数状态，用配分函数计算自由能。
稳定性：粒子增多时，平均每个粒子的能量不能无限降低。
热力学极限：保持温度和密度，把体系放大，自由能密度趋于确定值。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Elliott Hershel Lieb（1932 年生）

美国数学物理学家，长期研究统计力学和量子多体问题。他擅长把一个朴素的物理问题变成精确的问题：哪些假设足够？结论在粒子数很大时还成立吗？

1953 年毕业于麻省理工学院，1956 年在伯明翰大学获博士学位，随后赴京都大学访问。1975 年加入普林斯顿大学，长期在数学与物理两门学科任教。

主要奖项与获奖原因

1998 年，玻尔兹曼奖章（Boltzmann Medal）：表彰他对经典与量子统计物理基本问题的杰出数学研究，包括对多种具有重要应用的模型给出精确解。这项荣誉与本课程联系最直接；获奖理由涵盖他的统计物理贡献，并非只针对物质稳定性这一项工作。
2022 年，高斯奖（Carl Friedrich Gauss Prize）：表彰他广泛而深刻的数学贡献，对量子力学、统计力学、计算化学和量子信息理论产生重要影响。
2023 年，京都奖基础科学奖（Kyoto Prize in Basic Sciences）：表彰他以多体物理为基础，在物理、化学和量子信息科学中开创性的数学研究。

从业余无线电到物理

少年时，他喜欢电子技术和业余无线电，学会摩尔斯电码并取得电台执照。进入大学时原想学电气工程，第一学期的物理课却使他转向物理。后来，他把对“事物怎样运作”的好奇带进了严格的数学物理研究。

与本节的联系：从“怎样计算”到“计算为什么成立”

本节把对微观态的求和改写成相空间积分。对三维、相同的无内部自由度粒子，在稀薄的经典极限下，正则配分函数是

Z_N=\frac{1}{N!h^{3N}}\int d^{3N}q\,d^{3N}p\,e^{-\beta H(q,p)}

这里 $\beta=1/(k_{\mathrm B}T)$，$H$ 是总能量，$q,p$ 表示所有粒子的位置和动量，$h$ 是普朗克常数。$N!$ 避免把相同粒子的交换重复计数，$h^{3N}$ 给出经典近似所继承的量子态计数尺度。

也可以先按整个体系的总能量把状态分组。多粒子态密度 $g_N(E)$ 表示单位能量区间内的状态数，因此 $g_N(E)\,dE$ 才是能量在 $E$ 到 $E+dE$ 之间的状态数。它与只数一个粒子能级的单粒子态密度不同。用狄拉克 $\delta$ 函数筛选总能量，得到

g_N(E)=\frac{1}{N!h^{3N}}\int d^{3N}q\,d^{3N}p\,\delta\!\left(E-H(q,p)\right)

对能量积分，相当于把这些小区间重新加起来：

Z_N=\int dE\,g_N(E)e^{-\beta E}

$g_N(E)\,dE$ 回答“小能量区间内有多少状态”，$e^{-\beta E}$ 回答“每个状态占多大权重”。把所有状态的权重加起来得到 $Z_N$，再由它计算自由能：

F=-k_{\mathrm B}T\ln Z_N

Lieb 的工作让我们进一步检查模型：相互吸引会不会使基态能量随粒子数下降得过快？在排除这种宏观塌缩后，自由能密度 $F/V$ 是否真的趋于确定值？前者是物质稳定性，后者是热力学极限。下面先用经典点电荷说明配分函数也可能发散，再解释为什么宏观稳定性要求一个对任意粒子数都成立的能量下界。

物质稳定性：为什么吸引不会使物质无限塌缩？

先看一个会失败的经典模型

把一对异号电荷当作经典点粒子，它们的吸引势能是 $U(r)=-a/r$，其中 $a>0$。距离越小，势能越负；接近零距离的构型获得越来越大的玻尔兹曼权重。它们对构型积分的贡献满足

\int_0^{\epsilon}4\pi r^2 e^{\beta a/r}\,dr=\infty

$\epsilon>0$ 是一个小距离。这个积分发散，说明只用经典点电荷的库仑吸引，连有限温度的平衡配分函数都可能定义不好。这不是本节理想气体的困难：理想气体忽略了这种相互作用；常用的经典原子模型也会加入短距离排斥。

一个原子稳定，还不够

真实原子内部需要量子力学。以一个电子被正电荷吸引为例，把它局域在长度 $\ell$ 内，动量的不确定性约为 $\hbar/\ell$。动能和吸引势能的竞争可用下面的量级估计理解：

E(\ell)\sim\frac{\hbar^2}{2m\ell^2}-\frac{a}{\ell},\qquad a>0

$m$ 是电子质量。压缩时，正的动能项按 $1/\ell^2$ 增长，比负的吸引项 $1/\ell$ 更快；单靠压缩就无法无限降低能量。这是单原子稳定的直观解释，量级估计本身不替代严格证明。

但“每个固定粒子数的体系能量有下界”，仍不保证宏观物质稳定：如果最低能量随粒子数像 $-N^2$ 那样降低，平均每个粒子的能量仍会随规模增大而不断降低。稳定性要控制整个多粒子体系，不能仅靠“一个原子已经稳定”来推断。

宏观稳定性要求一个更强的、与粒子数一致的下界：

E_0(N)\ge -CN\quad\Longrightarrow\quad\frac{E_0(N)}{N}\ge-C

$E_0$ 是最低总能量；在这里 $N$ 表示电子与原子核的总粒子数，$C>0$ 不随 $N$ 增大。对核电荷有统一上限的非相对论库仑物质，这种“第二类稳定性”保证 $E_0/N\ge-C$：粒子再多，每个粒子平均能释放的结合能也不会无限增大。有下界允许能量为负，也允许物质结合；它不等于不会发生凝聚或相变。

大量电子还必须满足泡利（Wolfgang Pauli）不相容原理：一个包含自旋标签的单电子态最多容纳一个电子。把它们挤在一起，就必须占据更高动量的状态，付出更大的动能代价。这个解释帮助我们理解机制，完整证明还必须控制电子、原子核之间的全部吸引和排斥。

戴森（Freeman Dyson）与莱纳德（Andrew Lenard）首先证明了这类物质的稳定性。Lieb 与蒂林（Walter Thirring）在 1975 年给出了更简洁的证明，其关键工具是把上述动能代价写成严格不等式。对三维非相对论电子，记电子数密度为 $n_e(\mathbf r)$，有

E_{\mathrm{kin}}\ge K_{\mathrm{LT}}\frac{\hbar^2}{2m}\int n_e(\mathbf r)^{5/3}\,d^3r

$K_{\mathrm{LT}}>0$ 是普适常数，这里已把电子的两种自旋取值计入其中；$\int n_e\,d^3r=N_e$ 是电子数。密度越集中，右侧就越大。再结合对库仑吸引与排斥的控制，才能得到总能量的线性下界。这一不等式把“不相容原理阻碍拥挤”的图像变成了可用于证明的定量结论。

热力学极限：一小盒与一大盒，怎样代表同一种物质？

比较相同温度、相同密度、相同成分的两盒物质。如果后一盒的体积和粒子数都是前一盒的两倍，足够大时，我们希望总自由能也近似加倍，而单位体积的自由能近似相同。热力学极限把这个想法写成

f(n,T)=\lim_{\substack{N,V\to\infty\\N/V=n}}\frac{F(N,V,T)}{V}

$n=N/V$ 是粒子数密度；多组分物质还要保持各组分比例，并满足所需的电中性条件。$f$ 是极限中的自由能密度。这里是把粒子数和体积一起增大，不是把固定数量的粒子越摊越稀，也不是把越来越多的粒子塞进同一个盒子。

对边长为 $L$ 的大立方盒，表面积与体积之比按 $1/L$ 减小。若相互作用短程，边界影响集中在靠近盒壁的一层，这解释了为什么大体系主要由体相决定。库仑作用是长程的，还必须控制远距离电荷作用。Lieb 与勒博维茨（Joel Lebowitz）在 1969 年报告结果，并于 1972 年给出系统证明：适当条件下，中性库仑物质的自由能密度具有热力学极限，且不依赖所选的规则容器形状。

用本节的理想气体检验这个想法

三维单原子理想气体的经典配分函数可以直接算出：

Z_N=\frac{1}{N!}\left(\frac{V}{\lambda_T^3}\right)^N,\qquad\lambda_T=\frac{h}{\sqrt{2\pi m k_{\mathrm B}T}}

$\lambda_T$ 是热德布罗意波长。利用斯特林近似，在 $N$ 很大、$n\lambda_T^3\ll1$ 的经典区域，

\frac{F}{V}\longrightarrow n k_{\mathrm B}T\left[\ln(n\lambda_T^3)-1\right],\qquad n=\frac NV

右边只依赖温度和密度，不再单独依赖盒子大小；它正是前面定义的自由能密度 $f(n,T)$。因此，同样温度、同样密度下，把气体和盒子一起放大，自由能近似按体积成比例增长。理想气体把这件事直接算出来；Lieb 的工作帮助我们理解更复杂的相互作用体系为什么也能具有这样的宏观描述。

为什么配分函数中的 $N!$ 不能漏？若把相同粒子的交换重复计数，就会得到 $Z_{\mathrm{wrong}}=(V/\lambda_T^3)^N$，从而 $F_{\mathrm{wrong}}/N=-k_{\mathrm B}T\ln(V/\lambda_T^3)$。在固定密度、体积不断增大的极限，这个量趋于负无穷；正确的 $N!$ 因子消除了这一虚假的规模依赖。微观态怎样计数，直接影响宏观量是否具有正确的广延性。

每个有限盒子的配分函数有限，仍然不够。例如，一个仅用于说明逻辑的模型，让每一对粒子都贡献与距离无关的能量 $-\varepsilon$，其中 $\varepsilon>0$。每个固定 $N$ 的配分函数都有限，但自由能比理想气体多出 $-\varepsilon N(N-1)/2$，所以 $F/N$ 随 $N$ 增大趋于负无穷。这个模型不描述真实物质，却清楚地区分了有限体系的收敛性与宏观稳定性。

稳定性与热力学极限回答不同的问题：前者排除随规模加剧的能量塌缩，后者要求自由能密度确实收敛。前者是重要基础，但不能单靠一个能量下界就证明后者；还要控制相互作用、熵和边界。极限存在也不表示自由能处处光滑，相变正可以表现为极限热力学函数的不光滑。

其他重要工作：同样从简单问题出发

一维量子气体：加入相互作用后，还能精确求解吗？

1963 年，Lieb 与利尼格（Werner Liniger）求解了一维、接触排斥的玻色气体模型。粒子只能沿一条线运动，却已经包含真正的相互作用。精确结果提供了检验近似方法的基准，也连接到后来的一维冷原子实验。这是一维量子模型，不是本节的三维经典理想气体。

H=-\frac{\hbar^2}{2m}\sum_i\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}+g\sum_{i<j}\delta(x_i-x_j)

这里 $x_i$ 是第 $i$ 个粒子在一维空间的位置，$m$ 是粒子质量，$\hbar=h/(2\pi)$，$g>0$ 是接触排斥强度。第一项是动能；第二项用狄拉克 $\delta$ 函数表示粒子在同一位置接触时的相互作用。波函数满足玻色交换对称性。Lieb–Liniger 的第一篇论文给出一般解与基态性质；Lieb 随后的第二篇论文进一步分析激发谱，揭示两类基本激发分支。这里的“精确解”给出确定能谱的方程，不表示任意关联函数都能立即写成简单公式。

量子自旋链：最低能态一定可以独一无二且有能隙吗？

1961 年，Lieb、舒尔茨（Theodore Schultz）与马蒂斯（Daniel Mattis）的工作奠定了重要的自旋链约束。以下用现代的常见表述介绍其核心结论：以每个晶胞含一个自旋 $1/2$ 的一维短程自旋链为例，在保持平移与自旋旋转对称性的条件下，热力学极限中不能同时具有唯一基态和非零激发能隙。体系必须以低能激发或基态简并等方式满足这个约束；不是任意模型都能实现任意一种低温状态。

\Delta_L\equiv E_1(L)-E_0(L)\xrightarrow{L\to\infty}0

这里考虑长度为偶数 $L$ 的周期链，每个晶胞含一个自旋 $1/2$，相互作用短程，并保持平移和自旋旋转对称性。$E_0(L)$、$E_1(L)$ 是计入简并的最低两个能级。因此，这个公式可以对应越来越低的激发，也可以对应热力学极限中出现基态简并；不能由它断言“简并基态之上的激发能隙一定为零”。它排除的是“唯一基态与非零能隙同时存在”。

量子信息传播：扰动一端，另一端会立刻明显改变吗？

1972 年，Lieb 与罗宾逊（Derek Robinson）证明，具有有限程、强度有界相互作用的量子自旋体系，其局域扰动具有一个有效传播速度上界。超出相应“光锥”的影响受到指数抑制，并非严格等于零。这个速度由模型决定，不是相对论的真空光速；它成为理解量子多体动力学与信息传播的重要基础。

\|[A_x(t),B_y]\|\le C e^{-\mu(d-v|t|)}

$A_x$、$B_y$ 是分别位于 $x$、$y$ 附近的局域算符，$d$ 是它们支撑区域之间的距离；$A_x(t)=e^{iHt/\hbar}A_xe^{-iHt/\hbar}$ 是海森堡演化。$[A,B]=AB-BA$ 是对易子，范数给出算符大小的上界。这里假定算符范数不超过 $1$，$C,\mu>0$ 为与距离和时间无关的常数，局域支撑大小固定；$v$ 是模型决定的有效速度上界。若 $d>v|t|$，右侧随超出“光锥”的距离指数变小，表示远处扰动对局域观测的影响受抑，而非严格为零。它也与上一讲 Kubo 的量子线性响应相联系：响应中出现的对易子，正是这里受到空间传播限制的对象。

量子熵：几个子系统的熵能任意组合吗？

1973 年，Lieb 与鲁斯凯（Mary Beth Ruskai）证明了量子熵的强次可加性：

S(AB)+S(BC)\ge S(B)+S(ABC)

$A,B,C$ 是三个子系统，$AB$ 表示把其中两部分合起来；此处采用无量纲的冯·诺伊曼（John von Neumann）熵 $S(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\ln\rho)$，其中 $\rho$ 是量子态的密度算符。这一不等式约束各部分之间可以具有怎样的关联，是量子信息理论的重要基础。

更容易理解的等价写法是 $S(A|BC)\le S(A|B)$，其中 $S(A|B)=S(AB)-S(B)$ 叫作条件熵。经典情况下，可以把它理解为：额外知道 $C$ 的信息，不会增加对 $A$ 的平均不确定性。量子条件熵也满足这个不等式，但它可能为负，所以不能把全部量子情形都照搬成经典概率图像。

方冰模型：局域限制之下，究竟还有多少种排法？

1967 年，Lieb 精确计算了方冰模型的剩余熵。在正方格子的每条边上放一个箭头，要求每个顶点恰好有两个箭头指入、两个指外；单个顶点有六种允许的构型。但相邻顶点共享箭头，不能各自独立选择，所以总构型数不是简单的六的幂。

S_N=k_{\mathrm B}\ln\Omega_N,\qquad s_0\equiv\lim_{N\to\infty}\frac{S_N}{N}=\frac32 k_{\mathrm B}\ln\frac43

这里 $N$ 是顶点数，$\Omega_N$ 是满足所有局域约束的总构型数；这里采用周期边界条件，并令六种顶点等权重，再取二维热力学极限。即使这些构型能量相同、没有热激发，仍然有指数多种允许的排法，因此每个顶点的剩余熵 $s_0$ 不为零。它直接展示本节课的核心思路：先数微观状态，再由状态数得到宏观熵。这里的精确结果属于二维方冰模型，不能直接当作真实三维水冰的精确熵。

Lieb–Wu 解：电子相互排斥，为什么仍能得到精确结果？

1968 年，Lieb 与吴法岳（Fa-Yueh Wu）求解了一维 Hubbard 模型。它保留两件最基本的事情：电子可以在相邻格点之间跳跃；两个自旋相反的电子占据同一格点时，需要付出排斥能。

H=-t\sum_{j,\sigma}\left(c^\dagger_{j\sigma}c_{j+1,\sigma}+c^\dagger_{j+1,\sigma}c_{j\sigma}\right)+U\sum_j n_{j\uparrow}n_{j\downarrow}

$c^\dagger_{j\sigma}$、$c_{j\sigma}$ 分别产生、湮灭格点 $j$ 上自旋为 $\sigma=\uparrow,\downarrow$ 的电子，$n_{j\sigma}=c^\dagger_{j\sigma}c_{j\sigma}$ 是占据数；$t>0$ 是跳跃强度，$U>0$ 是同一格点上的排斥强度。跳跃倾向于让电子离域，排斥则抑制双重占据，二者竞争产生相互作用效应。

在半填充，即平均每个格点一个电子时，一维模型在热力学极限中对任意 $U>0$ 都有非零的电荷能隙，而 $U=0$ 时没有。这里讨论的是零温基态附近的性质：改变电荷分布所需的低能电荷激发存在有限的能量门槛。原论文题目中的“没有 Mott 转变”是指没有位于有限正 $U$ 的临界相互作用，并不是说不存在相互作用造成的绝缘态；电荷有隙也不等于所有自旋激发都有隙。精确解为研究强关联电子提供了基准，但它不意味着二维或三维 Hubbard 模型也已被精确求解。

AKLT 模型：能否把一个量子多体基态直接构造出来？

1987 年，阿弗莱克（Ian Affleck）、肯尼迪（Tom Kennedy）、Lieb 与田崎晴明（Hal Tasaki）提出了著名的 AKLT 价键固体模型。以一维自旋 $1$ 链为例，可以选择下面这个相互作用：

\begin{aligned}H_{\mathrm{AKLT}}&=J\sum_j\left[\mathbf S_j\cdot\mathbf S_{j+1}+\frac13(\mathbf S_j\cdot\mathbf S_{j+1})^2+\frac23\right]\\&=2J\sum_j P^{(2)}_{j,j+1}.\end{aligned}

这里 $J>0$，自旋算符采用 $\hbar=1$ 的单位；$P^{(2)}_{j,j+1}$ 把相邻两个自旋投影到总自旋为 $2$ 的子空间。哈密顿量是非负投影算符之和：只要一个态在每条键上都没有总自旋 $2$ 的成分，它的能量就是零，因而必是基态。

构造方法很直观：把每个自旋 $1$ 表示为两个辅助自旋 $1/2$ 的对称组合，让相邻格点上的辅助自旋配成单态，再投影回每个格点的物理自旋 $1$ 空间。这些辅助自旋是构造波函数的工具，不是额外加入的真实粒子。所得态正好满足上述零能条件。

一维周期 AKLT 链具有唯一基态，且热力学极限中的激发能隙保持非零；开链则留下有效的边缘自旋 $1/2$，带来基态简并。这说明量子涨落可以形成既有能隙、又没有普通磁有序的多体态。它不违背前面的自旋链约束，因为每个晶胞的自旋是整数 $1$，而不是半整数 $1/2$。

密度泛函：能否用电子密度代替庞大的多体波函数？

一个多电子波函数依赖所有电子的坐标，而电子密度 $n(\mathbf r)$ 只依赖一个空间位置。密度泛函理论希望利用这种简化来求基态能量。1983 年，Lieb 在已有密度泛函与约束搜索思想的基础上，用凸分析建立了严格的数学框架；这不是说密度泛函理论由他一人创立。

\begin{aligned}F[n]&=\inf_{\rho\mapsto n}\operatorname{Tr}\!\left[\rho(T+W)\right],\\E_0[v]&=\inf_n\left\{F[n]+\int v(\mathbf r)n(\mathbf r)\,d^3r\right\}.\end{aligned}

这里 $\rho$ 是固定电子数的费米子密度算符，满足 $\rho\ge0$、$\operatorname{Tr}\rho=1$，允许纯态和混合态；$\rho\mapsto n$ 表示它产生给定的电子密度；$T$、$W$ 分别是动能和电子间的库仑排斥，$v(\mathbf r)$ 是外势。第一步，在所有具有同一密度的允许量子态中寻找最低的内部能量，定义普适泛函 $F[n]$；第二步，加上外势能，再对允许的密度取下确界，得到基态能量 $E_0[v]$。这里固定电子数，并要求 $\int n(\mathbf r)\,d^3r=N$。

物理意义是把“寻找最优多体量子态”改写成“寻找最优密度”。这个表达原则上精确，但一般体系的 $F[n]$ 并没有已知的简单显式公式，所以实际计算仍需要近似。此处 $F[n]$ 表示基态内部能量泛函，不是前面有限温度下的 Helmholtz 自由能。

与此密切相关的是 Lieb 与奥克斯福（Stephen Oxford）在 1981 年给出的间接库仑能下界。把真实的电子相互作用能减去经典连续电荷分布的静电能，定义 $E_{\mathrm{ind}}$，在原子单位制下有：

\begin{aligned}E_{\mathrm{ind}}&=\langle W\rangle-\frac12\iint\frac{n(\mathbf r)n(\mathbf r^{\prime})}{|\mathbf r-\mathbf r^{\prime}|}\,d^3r\,d^3r^{\prime},\\E_{\mathrm{ind}}&\ge-C_{\mathrm{LO}}\int n(\mathbf r)^{4/3}\,d^3r.\end{aligned}

$C_{\mathrm{LO}}$ 是与具体量子态和电子数无关的普适常数。这个下界说明：交换与关联不能把库仑能任意降低；它为密度泛函近似提供了必须遵守的约束。Lieb–Oxford 下界与前面的物质稳定性研究都体现了同一种思路：不必先求出完整波函数，也可以严格限制能量。

Hubbard 磁性定理：晶格结构能决定基态总自旋吗？

1989 年，Lieb 证明了 Hubbard 模型的两个重要定理。其中关于排斥相互作用的结果是：对于连通的二分晶格，若总格点数为偶数，实的跳跃振幅只连接两个不同子晶格，没有额外的格点势，体系处于半填充，并采用各格点相同的排斥强度 $U>0$，则基态的总自旋量子数由两个子晶格的格点数决定：

S_{\mathrm{tot}}=\frac12|N_A-N_B|

$N_A$、$N_B$ 是两个子晶格的格点数，不是电子数。若两者相同，基态为自旋单态；例如 $N_A=4$、$N_B=2$，半填充时共有六个电子，基态总自旋为 $1$。除自旋旋转对称性要求的 $2S_{\mathrm{tot}}+1$ 重简并外，基态唯一。它告诉我们，晶格的子晶格不平衡可以严格约束相互作用电子的总自旋。总自旋的结论本身不指定各处磁矩的空间排列，也不能仅由一个有限体系的非零总自旋判断宏观磁有序。

同文还证明，在相应的连通性与实跳跃条件下，各格点相互作用严格为吸引的 Hubbard 模型，在偶数电子数时具有唯一的自旋单态基态。这些结论与 Lieb–Wu 的一维精确解不同：它们无需求出全部能谱，就能确定基态自旋，并可适用于满足条件的更高维晶格。

热力学第二定律：为什么过程的方向可以由一个熵函数判断？

1999 年，Lieb 与英格瓦松（Jakob Yngvason）系统研究了第二定律的公理基础。他们从平衡态之间哪些绝热操作可以实现出发，讨论何时能建立一个可加、广延的熵函数来表示这些过程的方向。在满足其公理及可比较性条件的、物质组成与数量相同的状态类中：

X\prec Y\quad\Longleftrightarrow\quad S(X)\le S(Y)

$X$、$Y$ 表示宏观平衡态；$X\prec Y$ 表示从 $X$ 出发可以通过绝热操作到达 $Y$，不是单纯的时间先后符号。这里允许外界做机械功；绝热可达并不等同于“孤立系统自行演化”。在他们的操作定义中，辅助装置需要恢复原状，对外界留下的净影响可以是重物的升降。

上述等价关系有明确前提：需要满足他们的公理，并在所讨论的状态类中具有相应的可比较性，不能无条件用于任意两个物质组成不同的状态。熵还满足：

S(X,Y)=S(X)+S(Y),\qquad S(\lambda X)=\lambda S(X)

$(X,Y)$ 表示两个系统的复合状态，$\lambda X$ 表示把物质量和其他广延量一同放大 $\lambda>0$ 倍。第一式表示复合系统的熵可加；第二式表示熵随系统大小成比例增加，正好与本节讨论的广延性相联系。

例如，经典理想气体在隔热容器中向真空自由膨胀，能量和温度保持不变，从初始体积 $V_i$ 到更大的最终体积 $V_f$，两个平衡态之间有 $\Delta S=Nk_{\mathrm B}\ln(V_f/V_i)>0$。压回原体积而且回到原温度会使气体的熵减小，不能单靠绝热操作完成；若用等温压缩实现，就需要把热量排给外界。Lieb–Yngvason 的工作把这种“哪些状态之间能够转换”的判断与熵联系起来；它是宏观热力学的公理化基础，并不是从微观哈密顿量直接推导不可逆性，也不是对 $S=k_{\mathrm B}\ln\Omega$ 的微观证明。

数学工具：为什么不等式也能成为重要的物理成果？

许多多体问题无法精确求解，但严格的不等式仍能回答“能量最低能有多低”“熵和关联能有多大”。除了前面的动能下界、Lieb–Oxford 下界和熵的强次可加性，Lieb 在迹函数与积分不等式方面的工作也具有深远影响。

\Phi_p(A,B)=\operatorname{Tr}\!\left(K^\dagger A^p K B^{1-p}\right),\qquad 0<p<1

1973 年的 Lieb 凹性定理指出：对固定矩阵 $K$ 和 $0<p<1$，上述函数关于两个正矩阵 $A,B$ 联合凹。这意味着同时混合两组输入时，函数值不小于原来两个函数值的相应加权平均；这是证明量子熵不等式的重要数学工具。这里的 $A,B$ 是矩阵，与前面强次可加性中的子系统标签不同。

他与布拉斯坎普（Herm Jan Brascamp）关于积分不等式及最优常数的研究，以及对 Hardy–Littlewood–Sobolev 不等式在对称指数情形下最优常数的确定，同样为控制卷积、相互作用能和函数的大小提供了严格工具。这些内容适合作为进阶阅读，不要求本节课掌握证明。

资料与进一步阅读

玻尔兹曼奖章及授奖词：国际纯粹与应用物理联合会（IUPAP），统计物理委员会报告。
高斯奖及授奖词：国际数学联盟（IMU），2022 年高斯奖。
生平与无线电故事：普林斯顿大学人物介绍；京都奖研究贡献与履历。
经典配分函数与理想气体：童大卫（David Tong），经典气体讲义。
物质稳定性：Lieb 与蒂林，费米子动能下界（1975）。
热力学极限的早期报告：勒博维茨与 Lieb，Existence of Thermodynamics for Real Matter with Coulomb Forces（1969）。
热力学极限的完整论证：Lieb 与勒博维茨，电子与原子核体系的热力学存在性（1972）。
一维玻色气体：Lieb 与利尼格，一般解与基态（1963）；Lieb，激发谱（1963）。
量子自旋链：Lieb、舒尔茨与马蒂斯（1961）。
信息传播：Lieb 与罗宾逊，量子自旋系统的有限群速度（1972）。
量子熵：Lieb 与鲁斯凯，强次可加性（1973）。
方冰模型：Lieb, Residual Entropy of Square Ice (1967)。
一维 Hubbard 精确解：Lieb & Wu, Absence of Mott Transition in an Exact Solution of the Short-Range, One-Band Model in One Dimension (1968)。
AKLT 价键固体：Affleck, Kennedy, Lieb & Tasaki, Rigorous results on valence-bond ground states in antiferromagnets (1987)。
密度泛函的严格基础：Lieb, Density functionals for Coulomb systems (1983)。
间接库仑能下界：Lieb & Oxford, Improved lower bound on the indirect Coulomb energy (1981)。
Hubbard 基态自旋：Lieb, Two theorems on the Hubbard model (1989)。
第二定律的公理基础：Lieb & Yngvason, The Physics and Mathematics of the Second Law of Thermodynamics (1999)。
迹函数凹性：Lieb, Convex trace functions and the Wigner–Yanase–Dyson conjecture (1973)。
积分不等式与最优常数：Brascamp & Lieb, Best constants in Young's inequality, its converse, and its generalization to more than three functions (1976)。
Hardy–Littlewood–Sobolev 不等式：Lieb, Sharp constants in the Hardy–Littlewood–Sobolev and related inequalities (1983)。

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07 · 10 月 14 日（周三） · James Clerk Maxwell

Maxwell：气体分布与电磁场

课程内容：理想气体熵、Gibbs 佯谬与混合熵；巨正则理想气体、化学势与粒子数涨落；Maxwell–Boltzmann 速率分布

课堂共看

同温气体为何仍有快、慢分子？微观概率怎样联系宏观量，又怎样帮助我们理解熵？

用速度分布和统计平均理解分子运动。
联系经典配分函数、理想气体熵与微观态计数。
用 Maxwell 妖说明第二定律的系统边界和完整循环。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

James Clerk Maxwell（1831–1879）

James Clerk Maxwell（1831 年 6 月 13 日—1879 年 11 月 5 日）是苏格兰理论物理学家，气体动理论与电磁场理论的重要奠基者。他用速度分布描述大量分子的运动，也将电、磁和光组织为统一的场理论。

早年与求学

出生于爱丁堡，少年时期在爱丁堡中学求学。1847–1850 年在爱丁堡大学学习，随后进入剑桥大学，1854 年完成数学学位考试。少年时发表几何作图研究，后来持续将数学、模型与实验结合起来。

学术生涯

1856 年起在阿伯丁的马里沙尔学院任教授，1860–1865 年在伦敦国王学院任教。1860 年发表气体速度分布研究；1864 年宣读电磁场动力学论文，1865 年正式发表。1871 年成为剑桥首任卡文迪许实验物理教授，参与筹建实验室。

主要学术贡献：分布、输运与电磁场

Maxwell 用概率描述大量分子的运动，用动力学分析输运、场和稳定性。以下先讲与统计力学直接相关的速度分布，再介绍电磁理论、Maxwell 妖及其他代表工作。

与本节的联系：本节讨论理想气体熵、Gibbs 佯谬与混合熵，以及巨正则系综中的粒子数涨落。Maxwell 分布提供分子运动的图像；配分函数和完整微观态的计数则把这种图像接到熵的计算上。Maxwell 妖进一步提醒我们：讨论熵变时，必须明确系统边界与控制条件。

1. 描述分子运动：速度分布与统计平均 (1860)

Maxwell 于 1860 年发表气体速度分布研究：热平衡时，分子依然有快有慢，稳定的是整群分子的概率分布。下面用现代正则系综推导这一结果，说明它怎样联系配分函数和统计平均。

对三维、单原子、非相对论的经典理想气体，忽略原子的内部激发，有

$Z_N=\frac{1}{N!}\left(\frac{V}{\lambda_T^3}\right)^N,\qquad \lambda_T=\frac{h}{\sqrt{2\pi m k_{\mathrm B}T}}$

这里 $N$ 是粒子数，$V$ 是体积，$T$ 是绝对温度，$m$ 是单个粒子的质量，$k_{\mathrm B}$ 是 Boltzmann 常数，$h$ 是普朗克常数，$\lambda_T$ 是热德布罗意波长。配分函数把所有允许微观态的权重加起来。只保留一个粒子的速度，把所有位置和其余粒子的速度积分掉，再归一化，就得到单粒子的速度概率分布。

同一个配分函数也能计算本节的理想气体熵。在正则系综中，

$S=k_{\mathrm B}\bigl(\ln Z_N+\beta U\bigr),\qquad \beta=\frac{1}{k_{\mathrm B}T}.$

这里 $U$ 是平均内能。Maxwell 分布只保留一个粒子的速度信息；气体熵还涉及位置、粒子数与不可分辨性，不能只从速率曲线读出。配分函数中的 $1/N!$ 与 Gibbs 佯谬和相同粒子的计数直接相关。正则系综推导和下面的量子经典极限，均采用后来形成的理论语言，不应全部归为 Maxwell 本人的工作。

速度分量：为什么静止的气体里，分子仍在运动？

先在气体整体静止的参考系中讨论热平衡。一个粒子的平动能，以及正则系综赋予它的概率密度权重为

$\begin{aligned}\varepsilon(\mathbf v)&=\frac{m}{2}(v_x^2+v_y^2+v_z^2),\\P(\mathbf v)&\propto e^{-\varepsilon(\mathbf v)/(k_{\mathrm B}T)}.\end{aligned}$

$\mathbf v=(v_x,v_y,v_z)$ 是速度矢量，$P(\mathbf v)\,dv_x\,dv_y\,dv_z$ 是速度落在一个小体积元内的概率。指数中的动能是三个平方项之和，所以概率密度能分解成三个速度分量的乘积。积分另外两个分量，再令总概率为一，得到

$p_x(v_x)=\sqrt{\frac{m}{2\pi k_{\mathrm B}T}}\,e^{-m v_x^2/(2k_{\mathrm B}T)}$

$\int_{-\infty}^{\infty}p_x(v_x)\,dv_x=1,\qquad \langle v_x\rangle=0$

$p_x(v_x)\,dv_x$ 是速度的 $x$ 分量落在 $v_x$ 到 $v_x+dv_x$ 之间的概率，$v_x$ 可以为正也可以为负。向左与向右的运动同样常见，因此 $\langle v_x\rangle=0$。但平方不会正负抵消，$\langle v_x^2\rangle>0$，分子仍然有动能。尖括号表示对热平衡概率分布取平均。

高斯分布的宽度为 $\sqrt{k_{\mathrm B}T/m}$。温度越高，速度分量的典型大小越大；相同温度下，较重粒子的典型速率较小，但不同粒子的速率范围仍会重叠。平衡时，概率分布不随时间变化，分子却始终在运动。分子碰撞或与环境的能量交换，决定了气体怎样达到这样的平衡。

速率分布：为什么最常见的速率不等于零？

速度分量 $v_x$ 只看一个方向，速率 $v=|\mathbf v|$ 则只看运动有多快。它们是不同的随机变量。三个分量合起来的分布为

$\begin{aligned}P(\mathbf v)&=p_x(v_x)p_y(v_y)p_z(v_z)\\&=\left(\frac{m}{2\pi k_{\mathrm B}T}\right)^{3/2}e^{-mv^2/(2k_{\mathrm B}T)}.\end{aligned}$

如果只问速率，不区分方向，就要把速度空间中半径为 $v$、厚度为 $dv$ 的整个球壳加起来。球壳体积是 $4\pi v^2dv$，因此

$f(v)\,dv=P(\mathbf v)\,4\pi v^2\,dv,\qquad v=|\mathbf v|\ge0$

$f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_{\mathrm B}T}\right)^{3/2}v^2e^{-mv^2/(2k_{\mathrm B}T)}$

$f(v)\,dv$ 是速率落在 $v$ 到 $v+dv$ 之间的概率，满足 $\int_0^\infty f(v)\,dv=1$。在大量同种粒子的气体中，该小区间内的平均粒子数是 $Nf(v)\,dv$。曲线在一个速率区间下的面积给出该区间的概率；曲线高度 $f(v)$ 是概率密度，具有速率倒数的单位。

固定粒子质量：升温后分布向较高速率移动、展宽，曲线下面积仍为一。图中速率与温度均用约化单位，三条曲线的温度之比为 1:2:4。

这个公式有两个相反的趋势：$v^2$ 来自球壳随半径变大，表示同样宽度的速率区间包含更多速度状态；指数因子则压低高能量状态的权重。两者竞争，使速率分布在一个非零速率处达到峰值。$v_x$ 分布在零处最高，与速率分布在零处为零，并不矛盾。

峰的位置、速率的平均值与均方根是三种不同的“典型速率”：

$\begin{aligned}v_{\mathrm{mp}}&=\sqrt{\frac{2k_{\mathrm B}T}{m}},\qquad \langle v\rangle=\sqrt{\frac{8k_{\mathrm B}T}{\pi m}},\\v_{\mathrm{rms}}&=\sqrt{\langle v^2\rangle}=\sqrt{\frac{3k_{\mathrm B}T}{m}}.\end{aligned}$

$v_{\mathrm{mp}}$ 是最概然速率，即曲线峰值的位置；$\langle v\rangle=\int_0^\infty vf(v)\,dv$ 是平均速率；$v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\langle v^2\rangle}$ 是均方根速率。它们依次增大，都正比于 $\sqrt{T/m}$。例如温度变为原来的四倍，三种典型速率都变为原来的两倍。

能均分：温度怎样决定内能和压强？

把速度平方乘以概率密度再积分，可以得到一个分量的均方值：

$\langle v_x^2\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}v_x^2p_x(v_x)\,dv_x=\frac{k_{\mathrm B}T}{m}$

乘以 $m/2$，再把三个方向相加，就得到

$\begin{aligned}\left\langle\frac12 m v_x^2\right\rangle&=\frac12 k_{\mathrm B}T,\\\left\langle\frac12 m v^2\right\rangle&=\frac32 k_{\mathrm B}T.\end{aligned}$

这是经典能均分定理在平动运动中的体现：经典热平衡下，每个独立、取值连续且范围不受截断的二次能量项，平均贡献 $k_{\mathrm B}T/2$。一个粒子的平动能有三个这样的项。这里的“均分”是平均能量相同，并不要求每个粒子在每一时刻都有相同能量。

历史归属：这里把能均分作为速度分布的应用来讲；这一理论由 Maxwell、Boltzmann 等人逐步发展，不能归为 Maxwell 一人的独立发现。

对无内部激发的单原子理想气体，内能就是所有粒子的平均平动能之和。压强则来自分子撞击器壁传递的法向动量：对法向沿 $x$ 方向的器壁，一次弹性碰撞传递的动量为 $2m|v_x|$，撞壁频率也随 $|v_x|$ 增加，所以压强取决于 $\langle v_x^2\rangle$，而不是 $\langle v_x\rangle$。

在长方体容器中，把所有粒子的撞壁作用相加，得到 $p=(Nm/V)\langle v_x^2\rangle$。热平衡时各方向等价，$\langle v_x^2\rangle=\langle v^2\rangle/3$，于是

$\begin{aligned}U&=\frac32 N k_{\mathrm B}T,\quad C_V=\frac32 N k_{\mathrm B},\\p&=\frac{Nm}{3V}\langle v^2\rangle=\frac{N k_{\mathrm B}T}{V}.\end{aligned}$

$U$ 是内能，$C_V=(\partial U/\partial T)_{V,N}$ 是整个气体的定容热容，$p$ 是压强。第一行说明加热会增加分子的平均动能，第二行给出理想气体状态方程 $pV=Nk_{\mathrm B}T$。这样，“对分布取平均”就把分子运动与宏观热力学联系起来。

例如，$300\,\mathrm K$ 时，氩原子的均方根速率约为 $433\,\mathrm{m/s}$，氦原子的约为 $1370\,\mathrm{m/s}$（分别取原子质量约 $40u$ 与 $4u$，$u$ 为原子质量单位）。氦更轻，典型速率更大，但两者每粒子的平均平动能都为 $3k_{\mathrm B}T/2$。分子运动很快与气体整体静止完全相容，因为各方向的平均速度相互抵消。

经典极限：哪些条件下可以这样计算？

理想气体近似与经典近似

“理想”表示忽略粒子间相互作用对平衡热力学量的影响。这里的“经典”指平动可用经典近似，粒子的 Bose 或 Fermi 交换效应可以忽略。没有相互作用的气体，在足够低温或高密度时仍可能需要 Bose 或 Fermi 统计。对本节无内部简并的气体，常用判据是

$\lambda_T=\frac{h}{\sqrt{2\pi m k_{\mathrm B}T}},\qquad n\lambda_T^3\ll1$

$n=N/V$ 是粒子数密度，$n^{-1/3}$ 是平均粒子间距的量级。条件 $n\lambda_T^3\ll1$ 等价于 $\lambda_T\ll n^{-1/3}$：热波长远小于平均间距，交换效应不显著。升温会缩短热波长，降低密度会增大间距，两者都使经典近似更好。气体还需处于热平衡，并满足非相对论条件 $k_{\mathrm B}T\ll mc^2$，其中 $c$ 是真空光速。

内部运动与能均分的适用条件

即使平动已经接近经典，转动或振动的能级间隔仍可能不可忽略。以两个非简并能级为例，设激发能为 $\Delta$，平衡占据概率之比为

$\frac{P_1}{P_0}=e^{-\Delta/(k_{\mathrm B}T)}$

$P_0$、$P_1$ 分别是基态和激发态的概率。若 $k_{\mathrm B}T\ll\Delta$，激发态很少占据，这种内部运动对热容的贡献就受到抑制，通常称为“冻结”。冻结并不意味着微观运动完全消失。室温氮气的振动基本冻结，而平动和转动通常已能被热激发，所以不能把所有形式上的自由度都直接代入经典能均分。

Maxwell 分布也不局限于完全无相互作用的模型：只要经典哈密顿量的动能是标准二次型、势能不依赖动量，正则分布中的动量部分仍可分离。但此时总内能还包括势能，压强也有相互作用修正，不能继续直接套用上述理想气体的内能与状态方程。
2. 统一电、磁与光：电磁场理论 (1864–1865)
Maxwell 将电场和磁场组织为统一的动力学理论，并补入变化电场所对应的位移电流。方程允许电磁扰动在真空中以波的形式传播，计算得到的传播速度与光速相符，由此把光纳入电磁理论。
$c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$
这里的 $c$ 是真空光速，$\varepsilon_0$、$\mu_0$ 分别是真空介电常数与磁导率。电磁理论既统一了电、磁和光，也使“场”成为具有自身动力学的物理对象。

原论文：八组、共二十个分量方程 (1865)

这里采用 1864 年向英国皇家学会宣读、1865 年发表的 A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field（《电磁场的动力学理论》）第三部分，第 480–486 页。它是完整场方程体系的经典原始文献；位移电流等思想此前已在 1861–1862 年论文中发展。下面直接展示原版扫描件中的公式截图，保留原始字体、字母、分量写法、$4\pi$ 因子和编号。原文以 $d$ 书写场对坐标、时间的导数，现代通常写成偏导数 $\partial$。

先认清原文符号：$(F,G,H)$ 是“电磁动量”的三个分量，对应现代矢势 $\mathbf A$；$(\alpha,\beta,\gamma)$ 表示磁场强度，$\mu(\alpha,\beta,\gamma)$ 表示磁感应强度。$(P,Q,R)$ 是单位长度的电动力，含导体运动的贡献；$(f,g,h)$ 是电位移，$(p,q,r)$ 是传导电流密度，带撇号的是总电流。$e$ 表示自由电荷密度，$\Psi$ 是电势，$k$ 是电弹性系数；原文的 $\rho$ 是电阻率，不是下面现代公式中的电荷密度。

(A) 总电流：传导电流加位移电流1865 年原论文，第 480 页 · 点击查看大图

(B) 磁场与“电磁动量”1865 年原论文，第 482 页 · 点击查看大图

(C) 磁场与总电流1865 年原论文，第 482 页 · 点击查看大图

(D) 运动导体中的电动力1865 年原论文，第 484 页 · 点击查看大图

(E) 电弹性：电动力与电位移1865 年原论文，第 485 页 · 点击查看大图

(F) 电阻关系1865 年原论文，第 485 页 · 点击查看大图

(G) 自由电荷1865 年原论文，第 485 页 · 点击查看大图

(H) 电荷连续性1865 年原论文，第 485 页 · 点击查看大图

原文 A–F 各有三个分量方程，G、H 各一个，因此合计 $6\times3+2=20$。可逐页对照原文：A，第 480 页；B、C，第 482 页；D，第 484 页；E–H，第 485 页。

读原式时注意：截图保留 F 的负号和 G 中 $e$ 的正号。按前述现代变量的对应关系，G 的符号与现代电荷 Gauss 定律不同，不能直接用于下面的计算。以下统一采用现代符号与 SI 单位，写成 $\mathbf J=\sigma\mathbf E$ 与 $\nabla\cdot\mathbf D=\rho$；原文的 $4\pi$ 因子也不能直接搬入 SI 方程。

现代形式：四个 Maxwell 方程

在真空中，允许有电荷与电流源，使用 SI 单位，可写成

$\begin{aligned}\nabla\cdot\mathbf E&=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\\\nabla\cdot\mathbf B&=0,\\\nabla\times\mathbf E&=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},\\\nabla\times\mathbf B&=\mu_0\mathbf J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}.\end{aligned}$

$\mathbf E$ 是电场，$\mathbf B$ 是磁感应强度；这里的 $\rho$ 是电荷密度，$\mathbf J$ 是电流密度。$\nabla\cdot$ 表示散度，描述一个小体积的净通量；$\nabla\times$ 表示旋度，描述场绕小回路的环流。四行依次表达：电荷是电场的源、没有磁单极子、变化磁场产生电场环流、电流及变化电场产生磁场环流。最后一项 $\varepsilon_0\partial_t\mathbf E$ 就是真空中的位移电流密度。

原式怎样变成这四式？A 代入 C 得到含位移电流的方程；对 B 取散度得到 $\nabla\cdot\mathbf B=0$；在导体静止时，对 D 取旋度并利用 B，得到 Faraday 感应定律；G 对应校正符号后的电荷 Gauss 定律。原来的 E、F 是材料关系，H 是电荷守恒，因此“二十式到四式”还包含了消去势变量、分离材料关系等整理，不只是把二十个等号缩写成四个。

外微分形式：两个方程

把电场与磁场合成电磁场二形式 $F$，把电荷与电流合成电流三形式 $J$。采用有理化自然单位 $c=\varepsilon_0=\mu_0=1$，真空中的 Maxwell 方程可简写为

$\boxed{dF=0,\qquad d\star F=J}$

这里 $d$ 是外微分，$\star$ 是由时空度规与定向定义的 Hodge 对偶。第一式合并“无磁单极子”与 Faraday 感应定律；第二式合并电场的 Gauss 定律与含位移电流的 Ampère 定律。方程变短了，物理内容仍是前面的四个方程。无源时 $J=0$。
3. 追问第二定律的条件：Maxwell 妖

如果能识别并控制单个分子，能不能利用热运动持续做功？Maxwell 妖迫使我们讲清楚第二定律中的“系统”“循环”和“统计规律”分别是什么意思。

思想实验：筛选快慢分子

把一盒处于平衡的气体分成左右两室，起初两边的温度与密度相同，中间有一扇可开关的小门。温度相同，不代表每个分子的速率相同。按照前面的 Maxwell 分布，两边都有快分子和慢分子；温度描述的是平均动能，而不是某个分子的动能。

Maxwell 设想一个能看清分子运动的“妖”：快分子从左向右接近小门时，它开门；慢分子从右向左接近时，它也开门；其他情况则关门。这样逐个筛选，右室积累较多快分子，左室积累较多慢分子，两边逐渐形成温差。思想实验暂且假定开关门不需要做功，正是为了突出“按微观信息筛选”的作用。

红点：较快分子；蓝点：较慢分子（同一种气体）。左图初始同温，右图筛选后 A 较冷、B 较热。Htkym 绘制，Jarvisa 简化、忍者猫调整颜色 · 图片来源 · CC BY-SA 3.0（原图未改动）

表面矛盾：从同温状态制造温差

普通气体自发演化时，已有温差通常会消失；妖却似乎能从同温状态制造温差，再利用两室之间的热机输出功。能量守恒本身并没有被破坏：输出的功可以来自气体内能的减少。真正的问题是，能不能让气体、妖和装置都恢复原状，反复进行这一过程，只从一个热库吸热并输出净功？

如果可以，就违反第二定律的开尔文–普朗克（Kelvin–Planck）表述：不可能制造一台循环工作的机器，其唯一净结果是从单一热库吸热，并把这份热全部转化为功。其中“循环”和“唯一净结果”非常关键。消耗电池、温差或其他资源来做功，并不违反这条定律。

系统边界：气体、妖与环境

第二定律并不要求气体自己的熵永远增加。例如冰箱能使内部物体的熵减少，但还需要考虑压缩机消耗的功，以及向室内排出的热。对 Maxwell 妖，也必须把气体、测量装置、控制机构、记忆和环境一起考虑。气体受到依赖测量结果的控制，不能再把它当作独立的孤立系统。

在宏观热力学意义下，第二定律约束的是孤立整体的总熵变化：

$\Delta S_{\mathrm{total}}\ge0.$

所以，看到气体熵减少，还要检查其他部分发生了什么变化，以及气体与记忆之间建立了什么关联，不能只数气体这一部分。

信息资源：记忆也要恢复

现代模型把妖的一轮操作分成“测量并记录 → 根据记录进行控制 → 恢复装置与记忆”。记录存储在某种物理状态中，例如两个可区分的状态分别表示“快”与“慢”。若每次都使用一块新的空白记忆，整个装置并没有完成循环：它消耗了预先准备好的记忆资源。要反复完成同一个循环，就必须恢复记忆或其他被改变的辅助资源。

兰道尔（Rolf Landauer）和贝内特（Charles H. Bennett）的分析说明：测量本身在理想情况下可以可逆地进行；信息擦除则需要单独核算，不能把所有代价都简单归到“看了一眼分子”上。

单分子热机：利用信息做功

西拉德（Leo Szilard）考虑一个与温度 $T$ 的热库接触、体积为 $V$ 的盒子，其中只有一个理想气体分子。插入中间隔板后，测量分子在左半边还是右半边。知道位置，就可以在正确的一侧设置活塞，让分子从半盒缓慢等温膨胀到整盒。

在理想模型中，假定测量无误、膨胀足够缓慢且可逆。用准静态平均压强 $p=k_{\mathrm B}T/V'$，可算出平均输出功：

$\langle W_{\mathrm{out}}\rangle=\int_{V/2}^{V}\frac{k_{\mathrm B}T}{V'}\,dV'=k_{\mathrm B}T\ln2.$

尖括号表示按同样步骤重复实验，再对输出功取平均。有限时间的单次过程一般会有涨落，上式给出的是理想可逆极限的平均输出功。这份功来自热库提供的热量。膨胀结束后，分子恢复到原来的整盒状态，但妖的记忆中还留下了“左或右”的一比特记录。

Landauer 原理：复位的平均代价

下面用一个标准教学模型说明复位的代价。记忆是一个经典比特：两个可区分的状态表示 $0$ 和 $1$，它们的能量与内部熵相同，这就是这里的“对称记忆”。初始两种状态各以 $1/2$ 的概率出现；复位要把两者都完全变成指定的 $0$。复位时不利用其他与该比特相关的记录，并与温度为 $T$ 的单一热库交换热量；记忆的控制参数最终恢复初值，也不消耗其他未计入的资源。在这些条件下，排给热库的平均热量满足

$\langle Q_{\mathrm{bath}}\rangle\ge k_{\mathrm B}T\ln2,\qquad \langle\Delta S_{\mathrm{bath}}\rangle\ge k_{\mathrm B}\ln2.$

这里 $Q_{\mathrm{bath}}$ 以流入热库为正，$\langle Q_{\mathrm{bath}}\rangle$ 是多次复位的平均排热；热库温度固定，因此 $\langle\Delta S_{\mathrm{bath}}\rangle=\langle Q_{\mathrm{bath}}\rangle/T$。这是平均下限，并不要求每一次复位的排热都不低于它。小体系的单次操作可以因热涨落低于该值，但平均值仍受上述条件下的下限约束。

在这个对称记忆模型中，复位前后的平均内能相同，控制过程也完成循环。因此，外界对记忆做的平均功等于平均排热，最低平均复位功为 $k_{\mathrm B}T\ln2$；等号对应理想的可逆极限。若在单分子热机的同一热库中复位，这一最低代价恰好抵消理想的平均输出功；整个循环的平均净输出功至多为零，实际不可逆操作的平均代价通常更大。

不是每测量一次，都必然耗散 $k_{\mathrm B}T\ln2$。测量在理想模型中可以可逆；上述下限针对的是指定条件下的一比特完全复位。如果初始比特不等概率、两个记忆态不对称、复位允许出错，或利用了相关的其他记录，就需要相应的推广公式，不能直接套用这个数值。

“复位代价抵消输出功”是这个标准模型对 Maxwell 妖的解释，并不是说所有装置的代价都只发生在擦除记忆这一步。更一般的分析必须同时核算测量、反馈、装置与记忆的变化、它们之间的关联以及环境。信息可以帮助我们提取功，但不能漏掉它所依赖的物理资源。

上述完整过程的现代分析见信息热力学综述（Nature Physics，2015）；平均排热下限的实验见Bérut 等的一比特记忆复位实验（Nature，2012）。

统计意义：偶然涨落与持续循环

Maxwell 妖的起点，就是速率分布中同时存在的快、慢分子。普通宏观操作只控制温度、体积等整体变量，妖则设想按微观信息实施反馈，这迫使我们说明系统边界与控制条件。统计力学也允许有限系统偶然出现熵减涨落。宏观第二定律描述的是极其可靠的典型行为；微小系统需要更细致的涨落与平均熵产生描述。偶然观察到一次熵减，与制造一台能够不断循环、从单一热库持续输出净功的机器，是两个不同的问题。

Maxwell 本人的贡献是提出思想实验、突出第二定律的统计性质；测量、反馈和记忆复位的完整定量解释，是后来发展的信息热力学。可对照1882 年 Maxwell 传记中的思想实验（第 571–572 页），以及Bennett 对 Landauer 原理与 Maxwell 妖的分析和Landauer 对测量与信息擦除的说明。
4. 联系分布与实验：稀薄气体的黏度

黏度描述相邻气体层之间的动量传递。分子会把原来所在气体层的动量带到另一层。稀薄气体的量级估计给出

$\begin{aligned}\eta&\sim n m\langle v\rangle\ell,\qquad \ell\sim\frac{1}{n\sigma},\\\eta&\sim\frac{m\langle v\rangle}{\sigma}.\end{aligned}$

$\eta$ 是动力黏度，$\ell$ 是平均自由程，$\sigma$ 是有效碰撞截面。保持温度和分子性质不变，密度降低使运送动量的分子变少，却也使它们在碰撞之间走得更远。这两个因素近似抵消，解释了稀薄气体黏度在一定范围内近似不依赖密度。这里讨论的是分子碰撞仍能建立局域平衡、平均自由程远小于装置尺度的范围，不能把结论外推到任意稀薄的真空。

这一预言把分子模型与宏观测量联系起来。Maxwell 与妻子在家中测量气体黏度，检验不同温度与压强下的变化；后面的阁楼实验故事介绍了这项工作的实际场景。
5. 用模型解释自然：颜色、土星环与反馈控制

颜色视觉与三色合成

Maxwell 研究颜色视觉与三色合成，参与 1861 年的彩色摄影演示。这里研究的是颜色怎样合成、眼睛怎样辨色，与气体的热运动分布是不同的问题。

土星环的稳定性

他分析土星环怎样保持稳定，论证环不能简单视为一个刚性整体，而应由许多分别绕行的粒子组成。

调速器与反馈控制 (1868)

在 On Governors（《论调速器》）中，Maxwell 将蒸汽机的调速问题写成动力学问题：转速偏离目标后，调速机构怎样改变供汽，扰动最终会衰减还是形成增长的振荡？这项工作说明反馈并不自动保证稳定，还要分析装置的参数与响应。

人物趣事：会开玩笑、写诗，也亲手做实验

Maxwell 的朋友与同事在 1882 年出版的传记中，留下了许多生活片段。下面关于人群、颜色箱、歌曲和阁楼实验的四则故事，出自这部传记及其所收诗作。

研究分子运动的人，自己却挤不出人群

一次在英国皇家研究所听完讲座，Maxwell 被离场的人群堵住。法拉第（Michael Faraday）看见后，拿他的分子研究开玩笑，大意是：“Maxwell，你怎么出不来了？要说谁最应该知道怎样穿过一群挤在一起的人，那一定是你！”

在统计力学中，我们关心大量分子的分布和平均值，通常不必逐一追踪它们的运动。

邻居以为他每天在盯着一口棺材

Maxwell 在伦敦家中做颜色视觉实验，使用一台涂黑、将近八英尺长（约 2.4 米）的“颜色箱”。他常在窗边长时间朝里面看，邻居不明白，以为他整天盯着一口棺材，十分古怪。对他而言，那却是研究颜色如何混合、眼睛如何辨色的实验装置。

他把物体碰撞写成了歌：《刚体之歌》

Maxwell 写过一首以刚体为角色的幽默短诗，这里称为《刚体之歌》，让一个刚体自己开口唱歌。它戏仿苏格兰诗人罗伯特·伯恩斯（Robert Burns）的歌曲 Comin’ Thro’ the Rye（可译作《穿过麦田》），可沿用那首歌的传统苏格兰曲调。

双关就在 body：原歌中的 body 指“人”，唱的是人与人的相遇；Maxwell 把它变成力学里的“物体”，于是相遇变成碰撞，问题也变成“碰完以后还会飞吗，飞向哪里？”传记在诗前写着 Rigid Body (sings)，即“刚体（唱道）”。其中 sings 是动词“唱”，是让刚体开口唱歌的舞台提示；这里的《刚体之歌》是中文介绍用的称呼。

全诗共 16 行。下面保留英文的苏格兰方言拼写，中文为本课程意译，便于理解，不追求押韵。

英文原文

Gin a body meet a body
Flyin’ through the air,
Gin a body hit a body,
Will it fly? and where?

中文译文（意译）

若一个物体遇见另一个物体，
正在空中飞翔；
若一个物体撞上另一个物体，
它还会飞吗？飞向何方？

Ilka impact has its measure,
Ne’er a ane hae I,
Yet a’ the lads they measure me,
Or, at least, they try.

每次撞击都有它的量度，
我却一个也没有；
小伙子们都想把我量个明白，
至少，他们试图如此。

Gin a body meet a body
Altogether free,
How they travel afterwards
We do not always see.

若一个物体遇见另一个物体，
都在自由运动；
碰撞之后它们怎样前行，
我们未必总能看清。

Ilka problem has its method
By analytics high;
For me, I ken na ane o’ them,
But what the waur am I?

每道难题都有它的解法，
靠高深的解析技巧；
我却一招也不懂，
可这又有什么不好？

几个方言词：gin = if，ilka = every，ane = one，hae = have，ken = know，waur = worse。诗中的“我”一边承认自己不懂高深的解析方法，一边问“那又有什么不好？”：物体照样运动，研究它的人却忙着测量和计算。这样的拟人化和自嘲，是诗的幽默所在，并非每一句都在陈述严格的力学命题。

诗中问的是两物体碰撞后的运动。对于气体，无数分子不断碰撞；速度分布和统计平均，使我们能够描述整群分子的行为。

英文据 Campbell 与 Garnett 的 1882 年传记第 630 页，并与多伦多大学图书馆校录核对；原歌及曲调说明见PhysicsSongs。1882 年是传记出版年，所据文本未注明这首诗的写作年份。

他还为电报员写过“电学情诗”

传记紧接着收录《男电报员致女电报员的情人节诗》（Valentine by a Telegraph Clerk to a Telegraph Clerk）。Maxwell 把心灵写成彼此缠绕的电路，让爱情沿电报线传递，还问对方的心中会感应出怎样的电流。诗里出现 Ohm、Weber、Farad、Volt 等电学名称；结尾，对方把自己比作属于他的“Farad”，被爱充到了“一 Volt”。这些词在诗中兼有科学语言和爱情隐喻的意味。

这是一首以电报员为角色的诗，不能当作 Maxwell 本人的真实情书。原文见传记第 630–631 页。

为了研究气体，夫妻俩把阁楼弄得又热又冷

Maxwell 与妻子凯瑟琳（Katherine Maxwell）在伦敦家中研究气体在不同温度与压强下的黏度。传记记载：即使天气很热，他们仍在阁楼里烧火、烧水，让蒸汽进入房间；凯瑟琳要连续数小时照料炉火。随后又用大量冰降低室温，继续实验。

这与前面的黏度问题直接相连：气体更稀，黏度未必更小，因为分子数量减少的同时，平均自由程会增加。这个实验故事把分子运动的统计规律与可以测量的输运性质联系起来。

把热力学做成立体模型

读过 Gibbs 的热力学曲面论文后，Maxwell 用黏土塑形，再制成石膏模型，并将一件送给 Gibbs。模型用几何方式表达温度、压强与相平衡；它体现的是一种理想化物质，不能当作精确的水数据。

晚年与影响

1879 年 11 月 5 日，Maxwell 因病在剑桥去世，终年 48 岁。速度分布和气体输运理论成为统计物理的重要起点；电磁场理论统一了电、磁与光，并为后来的相对论提供了关键基础。

资料与进一步阅读

人物生平与学术贡献：James Clerk Maxwell Foundation，生平。
求学与任教经历：MacTutor，Maxwell 传记。
Gibbs 热力学曲面的模型：苏格兰国家博物馆，热力学模型。
气体动理论与速率分布：Maxwell 1860 年气体动理论论文。
个人生活与实验故事：Campbell 与 Garnett，Maxwell 传记（1882）。
本节公式与适用条件：David Tong，Classical Gases，第 2.2–2.4 节。
现代统计物理背景：David Tong，Statistical Physics。
电磁场理论与光：Maxwell，电磁场动力学原始论文（1865）。
反馈控制：Maxwell，On Governors (1868)，原文。

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23 · 12 月 14 日（周一） · Rodney James Baxter

用精确解理解集体行为

课程内容：补充：一维近邻 Ising 模型的转移矩阵解与有限温度下无相变

课堂共看

从一维转移矩阵走向二维模型，还需要什么结构？

从一维转移矩阵，认识特殊二维模型还需要的可积结构。
涵盖八顶点、角转移矩阵、函数关系、硬六角及手征 Potts 工作。
从论文末尾的难题、口袋里的奖章通知和数论恒等式穿插故事。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Rodney James Baxter（1940–2025）

英国出生、长期在澳大利亚工作的理论物理学家，研究精确可解格点模型与相变。八顶点模型、硬六角模型和转移矩阵方法是其主要贡献。

早年与求学

1940 年出生于 London，在 Cambridge 学习。1961 年进入 Australian National University，1964 年获博士学位，是该校早期理论物理博士毕业生之一。

学术生涯

1964–1965 年曾在 Iraq Petroleum Company 工作，之后继续学术研究。1968–1970 年任 MIT 助理教授，1970 年回 ANU，长期在 Canberra 教学研究，2003 年退休后继续工作。

1971 年发表八顶点模型求解工作，1980 年发表硬六角模型精确解，1982 年出版《Exactly Solved Models in Statistical Mechanics》。2025 年在 Canberra 去世。

主要学术贡献：精确可解模型与可积结构

1. 让二维模型可以精确求解：八顶点模型
八顶点模型比六顶点模型允许更多局部顶点构型。Baxter 利用转移矩阵和星三角关系求出其自由能，揭示了比二维 Ising 模型更丰富的临界行为，其中某些临界指数可以随参数连续变化。
2. 找到可积性的代数结构：可交换转移矩阵
将一行格点的统计权重组织成转移矩阵后，配分函数成为矩阵乘积的迹。Yang–Baxter 关系能够保证一族转移矩阵相互可交换，使复杂的二维统计问题具有可共同对角化的结构。

$Z=\operatorname{Tr}T(u)^M,\qquad [T(u),T(v)]=0$
$M$ 是行数，$u,v$ 是谱参数。可交换性是满足相应局部权重关系后的结论，并非任意格点模型都具有。
3. 发展精确求解的方法：角转移矩阵与函数关系

他发展角转移矩阵和函数关系等方法，并参与手征 Potts 模型研究。这些方法后来影响量子自旋链、张量网络和数学物理；精确解的作用也在于提供可核验的参照。
4. 从排斥作用得到有序相：硬六角模型（1980）
在三角格点上放置粒子，并禁止最近邻同时占据。即使没有吸引能量，随逸度提高，排斥约束也能诱发有序相。Baxter 给出的精确解说明，熵和几何约束本身可以驱动相变。

$\Xi(z)=\sum_{\mathcal C\ {\rm allowed}}z^{N(\mathcal C)}$
$z$ 是逸度，$N(\mathcal C)$ 是允许构型中的粒子数。近邻排斥通过构型限制体现。
5. 从函数关系推进精确解：Q 算符与手征 Potts
Baxter 的 Q 算符和转移矩阵函数关系，使求谱问题可以转化为满足解析性等条件的函数方程。他与合作者还推进手征 Potts 模型的自由能及序参量研究；可积性并不保证每个物理量都立即求得，某些结果经历了多年猜想、验证和证明。
研究依据：Baxter 本人，The challenge of the chiral Potts model。

一篇论文末尾的难题

Baxter 在 ANU 访谈中回忆，博士阶段本来在做粒子场论，偶然读到 Andrew Lenard 关于一维 Coulomb 气体的论文。文末提到另一种电荷设置仍难处理，这个未解决的问题吸引了他，他随后花几个月研究并求解。

后来他把回忆录命名为《An Accidental Academic》，ANU 档案保存了这份材料。从石油公司的工作、MIT 教职到返回 ANU，他的履历也包含大学之外的阶段。

当天课程用转移矩阵求一维 Ising 模型。Baxter 的研究把类似的逐行组织权重方法推进到特殊的二维模型，但精确可解仍需额外的局部代数结构。

把解题方法写成一本书

1982 年，Baxter 出版《Exactly Solved Models in Statistical Mechanics》，系统介绍转移矩阵、Bethe 方法和可积关系，以及这些方法在不同模型中的应用。

差点被当作普通函件的奖章通知

课堂小问：Royal Society 的来信，被他放进口袋几小时后才读，会是什么通知？

2013 年获 Royal Society 的 Royal Medal 时，Baxter 在 ANU 采访中说，他看到来信后先以为是普通通知，把它放进口袋，过了几小时才读。采访时他已退休十年，仍继续做计算。

硬六角模型精确解发表于 1980 年，他的教科书出版于 1982 年。

故事出处：ANU，Baxter 2013 年本人采访。

数着晶格上的粒子，却遇到了数论恒等式

课堂小问：数粒子的排列，为什么会遇见整数分拆？

Baxter 的硬六角模型只允许三角晶格上不相邻的格点同时被占据。规则很短，计算配分函数却很难；1980 年的精确解中，出现了与 Rogers–Ramanujan 恒等式有关的级数和无穷乘积。一个描述排斥粒子的统计模型，因而与整数分拆中的数学结构联系起来。

这也带来了具体合作问题。Baxter 提出若干将一维配分函数写为无穷乘积的猜想，George Andrews 在 1981 年《PNAS》论文中给出其中六个猜想的证明提纲。这里可以把故事讲成两种“计数”的相遇：物理上数允许的粒子排列，数学上研究整数分拆和级数恒等式。

故事出处：Andrews，1981 年原始论文。

晚年与影响

2025 年 7 月 20 日在 Canberra 去世。ANU 的纪念文章回顾了他的长期任教和研究工作。八顶点模型、硬六角模型与 Yang–Baxter 结构使其名字长期留在统计力学和可积系统中。

资料与进一步阅读

Baxter 本人，The challenge of the chiral Potts model。
Andrews，硬六角模型与 Rogers–Ramanujan 型恒等式（1981）。
具体任职与校方纪念：ANU，Baxter 纪念文。
本人回忆的保存记录：ANU 档案，An Accidental Academic。
Lenard 论文与奖章来信的本人回忆：ANU 2013 年访谈。
八顶点模型：八顶点模型原始论文。
硬六角模型：硬六角模型原始论文。

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15 · 11 月 16 日（周一） · Nikolay Nikolayevich Bogoliubov

准粒子、量子场与非线性动力学

课程内容：Bose–Einstein 凝聚；临界温度、凝聚比例与热容；凝聚内容结束后介绍 Bogoliubov 的超流与准粒子工作

课堂共看

凝聚形成后，加入相互作用会出现怎样的低能激发？

凝聚之后，计算弱相互作用 Bose 气体的低能激发。
从 BBGKY、准平均到重整化群，认识横跨多体与场论的工作。
从自学经历、导师家的黑板和研究所的任命文件，了解不同的成长路径。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Nikolay Nikolayevich Bogoliubov（1909–1992）

苏联数学家与理论物理学家，研究非线性力学、统计力学和量子场论。弱相互作用 Bose 气体、关联函数层级和准平均，都是他与本课程直接相关的工作。

早年与求学

1909 年出生于 Nizhny Novgorod，童年随家人迁往 Kyiv。正规求学曾因战争与社会动荡中断，他通过自学及家庭、教师的帮助学习数学。少年时期进入 Nikolay Krylov 的研究环境，逐步参加数学研究。

学术生涯

1946–1949 年主持 Kyiv 大学数学物理教研室。1949 年起主持 Moscow 的 Steklov 数学研究所理论物理部门，1953 年起主持 Moscow 大学理论物理教研室。研究和教学并行，并与学生合写量子场论等著作。

1956 年任 Dubna 联合核研究所理论物理实验室首任主任，1965–1989 年任联合核研究所所长。1966 年 Kyiv 理论物理研究所开始工作，他也担任首任所长。1992 年在 Moscow 去世。

主要学术贡献：准粒子、统计力学与数学物理

1. 选择新的自由度：超流、超导与准粒子
在低温、稀薄且凝聚耗尽较小的条件下，将宏观占据的凝聚模与涨落分开，得到可以对角化的二次近似。相互作用把低动量激发改造成声子型模式，而不是自由粒子的二次色散。

$E_k=\sqrt{\epsilon_k(\epsilon_k+2gn_0)},\qquad \epsilon_k=\frac{\hbar^2k^2}{2m}$
这里取排斥的接触相互作用，$g$ 为其强度，$n_0$ 为凝聚密度。小动量下 $E_k\simeq\hbar ck$，其中 $c=\sqrt{gn_0/m}$。这不是强相互作用液氦的完整定量理论。

在超导理论中，他用正则变换混合粒子与空穴自由度，把配对体系写成新的准粒子。超流和超导中的具体变换不同，但都表明：有相互作用的系统，常要用集体激发重新组织描述。
2. 使量子场论可计算：重整化群与散射理论
Bogoliubov 与 Dmitry Shirkov 发展量子场论中的重整化群方法，研究改变归一化尺度时物理量如何保持一致；他也推动因果散射理论与色散关系的严格表述。这些工作与统计力学中的尺度思想彼此联系，但首先是量子场论的基础成果。
3. 连接多粒子动力学与动理学：关联函数层级
多粒子分布约化后，单粒子分布的演化会依赖二粒子关联，后者又依赖更高阶关联。这就是 BBGKY 层级的核心。名称同时纪念 Born、Bogoliubov、Green、Kirkwood 与 Yvon 的相关发展。Bogoliubov 研究时间尺度分离和初始关联的衰减，为在适当极限下获得封闭动理学方程提供了方法。
4. 选出破缺对称的状态：准平均
有限体系在没有外场时可能保持对称，宏观体系却表现出确定的磁化或凝聚相位。准平均通过先加微小选态场、先取热力学极限、最后令外场趋零，明确了这些极限的次序。

$\langle A\rangle_{\rm q}=\lim_{h\to0^+}\lim_{V\to\infty}\langle A\rangle_{V,h}$
$h$ 是选态场；若交换两个极限，可能重新得到对称平均。
5. 控制慢变化：非线性力学中的平均法
他与 Nikolay Krylov 发展非线性振动的渐近和平均方法，把快速振荡与缓慢变化分开，在适当小参数条件下提取振幅、相位的有效演化。其数学工作跨越振动理论、动力系统与多体物理。
6. 把物理直觉变为约束：Bogoliubov 不等式
他发展的统计不等式，为关联与响应给出严格约束；后来的低维连续对称性研究使用了这类工具。它们帮助区分一个近似模型预言的有序，与在给定维度、相互作用及极限下真正允许的有序，不能把平均场计算本身当作存在性证明。
研究依据：JINR，Bogoliubov 的统计力学与数学物理。
7. 从因果性到复分析：散射理论与楔边定理
在量子场论中，他把因果性、广义函数和散射振幅的解析性质联系起来。1956 年的相关工作推动了后来称为“楔边定理”的多复变量方法。它与同 Shirkov 发展的重整化群一起，说明他的贡献远不止一种多体对角化技巧。
研究依据：JINR，2009 年百年纪念，场论工作回顾。

没有按常规路径入学的少年研究者

JINR 保存的纪念资料记载，Bogoliubov 少年时就进入 Kyiv 的数学研究圈，跟随 Krylov 学习并参加研究。他的成长没有遵循完整的中学、大学、研究生顺序；早期成果来自持续自学和导师的直接指导。

与 Krylov 的合作首先集中在非线性振动和渐近方法：快速振动的细节与缓慢变化的振幅、相位，可以在小参数条件下分开处理。后来研究统计力学时，他继续处理时间尺度、关联和有效方程之间的关系。

1956 年的一纸任命与三地研究团队

课堂小问：一个人同时领导几地团队，是连续搬了几次家吗？

1956 年 5 月 25 日，联合核研究所首任所长 Dmitry Blokhintsev 签署任命，邀请 Bogoliubov 主持新建的理论物理实验室。实验室汇集原有研究组以及他在 Moscow 的学生，研究凝聚态、核物理和粒子物理。

他随后又参与 Kyiv 理论物理研究所建设，并长期领导 Dubna 联合核研究所。这些任职是并行的学术组织工作，不是简单的一次搬家接着一次搬家。今天 Dubna 的理论物理实验室以他命名。

本次课讲完凝聚后介绍他，问题就从最低态有多少粒子，推进到加入相互作用后有哪些低能激发。1947 年弱 Bose 气体理论在低动量给出声学激发，但不能直接当作强相互作用液氦全部性质的定量解。

故事出处：JINR 官方年表与任命记录。

导师把他接到家里，房间里有块黑板

课堂小问：一位少年的研究条件，可以从怎样的一间房开始？

弟弟 Alexey Bogoliubov 的家庭回忆记载，父亲是哲学、心理学与神学教师，母亲受过钢琴教育并教音乐。父亲很早便教孩子读写和外语，后来从大学图书馆借来数学、物理著作给 Nikolay 阅读。1925 年，尚未满十六岁的他获准按研究生身份工作；1930 年获授数学博士学位。

1925 年家人迁往 Nizhny Novgorod 后，他独自留在 Kyiv，租住的房间十分潮湿，身体也受到影响。Krylov 来探望，看到住处便把他接回自己家里。分给他的虽是穿行的房间，墙上却挂着黑板。家人回忆中特意保留了这处细节；两人在这一时期持续合作研究变分问题和非线性振动。

故事出处：JINR 所载弟弟 Alexey 的家庭回忆。

晚年与影响

1992 年去世。他的名字同时出现在 BBGKY 层级、Bogoliubov 变换和准平均中。

资料与进一步阅读

成长、教学和研究所经历：JINR 百年纪念传记。
1956 年任命文件与实验室组成：JINR 官方年表。
1965–1989 年所长任期：JINR，Remembering the founders。
人物生平与研究概况：JINR，Bogoliubov 生平与主要贡献。
研究机构与学术传承：JINR，Bogoliubov 理论物理实验室。
生平纪念与研究回顾：JINR，百年纪念资料。
数学、统计物理与量子场论：JINR，Bogoliubov 的数学、统计物理与量子场论工作。
重整化群与超导理论：JINR，Bogoliubov–Shirkov 重整化群与超导理论。

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21 · 12 月 7 日（周一） · Michael Ellis Fisher

临界点附近，哪些规律是共同的？

课程内容：液–气相平衡、Maxwell 等面积构造、Clapeyron 关系与临界点

课堂共看

液–气临界点附近，哪些结果超出了平均场？

把临界指数、有限尺寸、复零点与真实流体联系起来。
补充约束引起的 Fisher 重整化，以及二维二聚体精确计数。
从吉他指甲的长度、3.99 维论文与细胞里的分子马达认识研究风格。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Michael Ellis Fisher（1931–2021）

出生于 Trinidad、主要在英国受教育的理论物理学家，长期研究临界现象、标度、严格统计力学及其应用。1980 年与 Leo Kadanoff、Kenneth Wilson 共同获 Wolf 物理学奖。

早年与求学

1931 年出生于 Trinidad，主要在英国接受教育。1951 年在 King’s College London 获学士学位，1957 年随 Donald MacKay 完成关于模拟计算的博士研究；曾在英国皇家空军服役。与 Cyril Domb 的合作使其研究转向统计力学。

学术生涯

1958 年起在 King’s College 任讲师，1962 年任 Reader，1965 年升教授。1966 年赴 Cornell，教职横跨化学、物理与数学；在那里与 Benjamin Widom、Kenneth Wilson 等人交流并合作。

1987 年转到 University of Maryland 的物理与物理科学技术研究机构，继续研究和培养学生。研究主题还包括流体、分子马达和有限尺寸系统。2021 年在 Maryland 去世。

主要学术贡献：临界标度、精确模型与生物物理

1. 用共同指数组织临界现象：标度理论
临界点附近，关联长度变大，热容、磁化率等宏观量呈现幂律奇异性。Fisher 研究临界指数之间的关系，并把实验与各种模型放在统一的标度框架内。普适性并不是说所有临界点都具有相同指数，而是要按维度、对称性和相互作用范围等分类。

$\xi\sim |t|^{-\nu},\qquad \chi\sim |t|^{-\gamma},\qquad \gamma=(2-\eta)\nu$
$t=(T-T_c)/T_c$；$\xi$ 是关联长度，$\eta$ 控制临界关联函数的长距离衰减。最后一式称为 Fisher 标度关系。
2. 超越平均场：Wilson–Fisher 固定点
与 Wilson 合作的维数展开，从四维附近分析涨落的效应。平均场忽略的长波涨落可以系统地进入计算，从而解释低维体系中临界指数为何偏离平均场值。

$\epsilon=4-d$
$d$ 是空间维度，$\epsilon$ 展开适用于相应的连续场论与临界点；不是把任意体系都代入同一公式。
3. 连接有限系统与临界极限：有限尺寸标度
实验样品与数值模拟总有有限尺寸。Fisher 与合作者发展有限尺寸标度思想，用系统尺寸相对于关联长度的大小组织峰值、舍入和临界点漂移，从有限数据提取热力学极限的规律。
4. 把相变放入复平面：Fisher 零点
有限体系的配分函数在实温度轴上通常是光滑的。把温度参数解析延拓到复数，零点的分布可以揭示热力学极限中奇异性怎样形成。Fisher 零点关注复温度；Yang–Lee 零点则关注复外场或逸度，两者相关但不相同。
5. 把统计理论用于真实系统：流体与分子马达

Fisher 还研究液体与临界流体、有限尺寸标度、精确模型和生物分子马达。他特别重视把渐近理论与有限实验尺度、有限计算尺寸的实际结果联系起来。

在液滴与团簇模型中，Fisher 还把凝结、团簇分布与临界奇异性联系起来。与 Jill Bonner 的 1964 年磁性链研究，则把有限自旋链计算同一维磁体的热力学性质联系起来；有限链外推也需要检验。
研究依据：Fisher，凝结与临界点（1967）；Bonner–Fisher，Linear Magnetic Chains with Anisotropic Coupling（1964）。
6. 实验约束会改变哪些指数：Fisher 重整化（1968）
保持某个密度不变，与允许该密度随外部条件变化，未必给出同一种表观临界标度。Fisher 分析隐藏变量受到约束时，热力学变量之间的转换如何改变临界指数。这里的重整化是对约束效应的专门结果，不应与所有 Wilson 粗粒化步骤混作同一个计算。
研究依据：Fisher，Renormalization of Critical Exponents by Hidden Variables（1968）。
7. 用严格计数研究统计体系：二维二聚体（1961）
Fisher 对平面方格上紧密覆盖的硬二聚体给出精确统计结果，把覆盖计数与 Pfaffian、行列式联系起来。相关独立发展还包括 Kasteleyn、Temperley 等人。它使“所有允许排列有多少”成为可以严格回答的多体问题，是标度研究之外的重要贡献。
研究依据：Fisher，Statistical Mechanics of Dimers on a Plane Lattice（1961）。

Fisher 一家：三位理论物理学家

Michael 的长子 Daniel 和幼子 Matthew 都成为理论物理学家。三人在文献中的姓名缩写分别为 M. E. Fisher、D. S. Fisher 和 M. P. A. Fisher。

Michael Ellis Fisher

M. E. Fisher · 父亲

临界现象、标度理论与重整化群；本节的主要人物。

Daniel S. Fisher

D. S. Fisher · 长子

斯坦福大学理论物理学家，研究无序系统，并将统计物理方法用于生物演化。

Matthew P. A. Fisher

M. P. A. Fisher · 幼子

加州大学圣巴巴拉分校理论物理学家，研究量子相变、量子多体系统与量子信息。

兄弟合作：玻色子局域化与超流体—绝缘体转变

1989 年，Matthew P. A. Fisher、Peter B. Weichman、G. Grinstein 与 Daniel S. Fisher 共同研究相互作用玻色子的零温相图，系统讨论超流体、Mott 绝缘体与无序引起的玻色玻璃。玻色玻璃没有超流性，却具有有限可压缩率且没有激发能隙。这项工作把量子涨落、相互作用与无序放在同一个相变问题中；Michael 并非这篇论文的作者。

Daniel：从随机量子磁体到生物演化

Daniel 发展强无序实空间重整化群方法，在随机横场 Ising 链等模型中得到临界区域渐近精确的结果，揭示无穷随机性临界行为。他也研究无序介质的集体运动，后来把统计动力学方法用于微生物演化、生态与免疫系统等问题。

Matthew：从量子相变到量子信息

Matthew 的代表性贡献包括超导体—绝缘体转变及相互作用玻色子的量子临界理论。他还研究量子多体系统与量子信息的交界问题，包括开放和受监测量子系统的非平衡动力学。

吉他课与反复修改的图稿

课堂小问：一个研究临界指数的人，为什么要认真讨论拇指指甲的长度？

同事的纪念文记录，Fisher 演奏和教授西班牙 flamenco 吉他，也为音乐杂志撰文。他在《The Art of Flamenco》系列文章中讨论演奏技术，连拇指指甲的长度也逐项分析。

同事还保存了他精心绘制的演示图和逐处修改的文稿。他的早期博士课题是模拟计算，后来做统计物理；音乐、绘画、计算和理论研究，是其日常活动中并存的几个部分。

故事出处：APS 同行纪念，Fisher 的 flamenco 专栏。

在 Cornell 合作计算非整数维的临界指数

课堂小问：3.99 维是真有这样一个实验空间，还是一种计算方法？

1966 年到 Cornell 后，Fisher 与研究流体和标度的 Widom、研究重整化群的 Wilson 处在同一学术环境。1972 年 Wilson 与 Fisher 合作发表《Critical Exponents in 3.99 Dimensions》，从四维附近展开，计算涨落引起的临界指数修正。

本次课的液–气共存与临界点，是 Fisher 工作的直接对象。远离临界点可用热力学描述相平衡，临界点附近关联长度变大，平均场近似的误差需要用标度、涨落和有限尺寸分析来检查。

故事出处：Wilson–Fisher，Critical Exponents in 3.99 Dimensions（1972）。

研究相变的人，也研究细胞里的“搬运工”

Fisher 后期还与 Anatoly Kolomeisky 研究分子马达。2001 年的论文讨论 kinesin 沿微管运动：这种蛋白质利用 ATP 提供的化学能，在细胞内部运输物品。实验可以跟踪单个分子的位移，并改变 ATP 浓度或施加负载，测量它走得多快、何时停止以及步伐有多大涨落。

他们用一系列具有前进、后退跃迁率的生化状态描述运动，并与单分子实验比较。一个原本容易被想成“小机器”的对象，因而变成了含随机等待、化学循环和机械做功的统计问题。论文同时比较速度与步伐涨落的数据，用它们约束中间生化步骤。

晚年与影响

2021 年去世。临界指数、有限尺寸分析和复零点方法仍是今天研究相变的日常工具。

资料与进一步阅读

Fisher，Statistical Mechanics of Dimers on a Plane Lattice（1961）。
Fisher，Renormalization of Critical Exponents by Hidden Variables（1968）。
Fisher–Kolomeisky，分子马达原始论文（2001）。
学位与逐年教职：Michael Fisher 本人简历（2006）。
从模拟计算到统计物理、图稿与音乐：Lathrop 与 Williams，Fisher 纪念文。
吉他杂志专栏及教学经历：APS，Fisher 纪念文。
重整化群与临界指数：Wilson–Fisher，非整数维临界指数。
个人经历与学术回顾：UMD，Michael Fisher 纪念资料。
亲属关系：University of Maryland，2002 年 3 月通讯（第 2 页）：Michael 七十岁纪念会议与两位儿子。
Daniel 的研究方向与肖像：Stanford，Daniel S. Fisher 研究组。
Matthew 的生平、研究方向与肖像：UCSB，Matthew Fisher。
兄弟合作的代表论文：M. P. A. Fisher、P. B. Weichman、G. Grinstein、D. S. Fisher，Boson localization and the superfluid-insulator transition（1989）。
随机量子磁体与重整化群：D. S. Fisher，Critical behavior of random transverse-field Ising spin chains（1995）。

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09 · 10 月 21 日（周三） · Johannes Diderik van der Waals

气体、液体与分子作用：van der Waals 的状态方程

课程内容：相互作用气体与分子间势；Mayer $f$ 函数、第二维里系数与 van der Waals 状态方程

课堂共看

把二氧化碳不断压缩，就一定能看到液化吗？为什么超过约 $31\,^\circ\mathrm C$ 后，气液分界面会消失？

分子的有限大小与相互吸引，怎样修正理想气体方程？
从 Andrews 的实验出发，看 1873 年的博士论文怎样把气体、液体和临界点联系起来。
35 岁才取得博士学位的中学教师，怎样得到 Maxwell 的赞誉？领奖时，他又被什么问题困扰？

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Johannes Diderik van der Waals（1837–1923）

Johannes Diderik van der Waals（1837 年 11 月 23 日—1923 年 3 月 8 日）是荷兰理论物理学家，1910 年诺贝尔物理学奖得主。他把分子的有限大小与相互吸引纳入状态方程，用同一个模型研究气体、液体和临界点，并发展了对应态、混合物与界面的理论。

早年与求学

他出生于 Leiden 的木匠家庭，早年取得教师资格，进入学校任教。1862–1865 年，他在工作之余到莱顿大学学习数学和物理，取得相应的教学资格。由于没有接受当时学位考试所要求的古典语言教育，他可以听课，却不能按通常路径参加大学学位考试。

1864 年，他到 Deventer 的中学任教；1866 年转到 The Hague，后来担任校长。获得古典语言要求的豁免后，他继续完成大学考试。1873 年，35 岁的他在 Pieter Rijke 指导下，以《论气态与液态的连续性》取得莱顿大学博士学位。

学术生涯

1877 年，阿姆斯特丹大学成立，van der Waals 成为该校首任物理教授，同时负责物理实验室。他把主要精力放在气体理论与热力学上，1880 年提出对应态原理，此后研究二元混合物与液气界面。1908 年退休后，儿子 Johannes Diderik van der Waals Jr. 接任该校的理论物理教席。

1910 年诺贝尔物理学奖：气体和液体的状态方程

官方获奖理由是“对气体和液体状态方程的研究”。这项研究始于他 1873 年的博士论文，并在此后不断发展。诺贝尔奖官方获奖理由。

关键贡献是把分子的有限大小与相互吸引纳入状态方程。理想气体模型不能描述液化和液气临界点；他的方程则用同一套近似分子模型研究气体与液体，给出临界温度、压强和体积，并说明气液两态可以沿绕过临界点的路径连续相接。这使状态方程同时联系了分子作用与真实流体的宏观性质。

1880 年提出的对应态原理进一步用各物质的临界参数比较不同流体，为低温液化实验提供指导。获奖工作因此既包括建立气体与液体的状态方程，也包括围绕它发展出的真实流体理论。下文依次介绍方程、临界点和对应态原理。

主要学术贡献：真实气体、临界点与对应态

理想气体把分子看成没有体积、彼此没有作用的粒子。van der Waals 保留分子运动的图像，同时加入分子的大小与吸引，研究压缩、液化和临界现象。以下用现代热力学与统计力学记号介绍这些工作。

1. 分子大小与吸引：状态方程（1873）

分子不能彼此重叠，因而可供运动的体积小于容器体积。分子之间的吸引则使它们撞击器壁时产生的压强低于忽略吸引时的值。把这两种效应作近似处理，可写出：

$\left(p+a\frac{n^2}{V^2}\right)(V-nb)=nRT$

这里 $p$ 是压强，$V$ 是总体积，$T$ 是绝对温度，$n$ 是物质的量，$R$ 是摩尔气体常数。参数 $b$ 描述排斥造成的排除体积，$a$ 描述平均吸引的强度，二者随物质而异。$b$ 是每摩尔的排除体积参数，不能直接等同于分子本身体积的简单总和。

用摩尔体积 $v=V/n$ 表示，同一方程为 $p=RT/(v-b)-a/v^2$。稀薄时修正较小，方程接近 $pv=RT$；密度升高时，排斥与吸引的影响逐渐显著。这是对真实流体的近似描述，特别是吸引项采用了平均场处理。

与当天课程的联系：第二维里系数

令摩尔浓度 $c=n/V=1/v$。把方程在低浓度下展开：

$\frac{p}{cRT}=\frac{1}{1-bc}-\frac{ac}{RT}=1+B_2(T)c+O(c^2)$

$B_2(T)=b-\frac{a}{RT}$

因此，模型中排斥贡献为正的 $b$，吸引贡献为负的 $-a/(RT)$。在经典稀薄气体中，可以从两分子间势 $u(r)$ 出发，定义 Mayer $f$ 函数并计算第二维里系数：

$f(r)=\mathrm e^{-\beta u(r)}-1,\qquad B_2(T)=-\frac{N_{\mathrm A}}{2}\int_{\mathbb R^3}f(r)\,\mathrm d^3r$

这里 $r$ 是两分子间距，$\beta=1/(k_{\mathrm B}T)$，$k_{\mathrm B}$ 是 Boltzmann 常数，$N_{\mathrm A}$ 是 Avogadro 常数。上式的 $B_2$ 采用摩尔浓度定义，单位为体积每摩尔。这样，分子间的排斥和吸引就与宏观状态方程的第一项非理想修正联系起来。
2. 气液连续性与临界点

1869 年，Thomas Andrews 发表了二氧化碳的压缩实验。在较低温度下，玻璃管中可以同时看到液体与气体，两者之间有清楚的分界面。接近临界温度时，界面逐渐变淡，最后消失，管内成为均匀流体。他报告的临界温度约为 $31\,^\circ\mathrm C$。超过这一温度，再加压也看不到原来那种由分界面标志的液化过程。

van der Waals 要解释的正是这种气液连续性。他的方程为实验提供了分子模型：气态与液态可由同样的分子组成，差别与密度及分子作用有关。这个模型还预言，每种流体都有相应的临界温度、压强与体积。

在模型中，临界点是等温线的水平拐点，满足 $(\partial p/\partial v)_T=0$ 与 $(\partial^2p/\partial v^2)_T=0$。由此得到：

$T_c=\frac{8a}{27Rb},\qquad p_c=\frac{a}{27b^2},\qquad v_c=3b$

$T_c,p_c,v_c$ 分别是模型预测的临界温度、压强与摩尔体积。在温度、压强组成的相图中，可以选择绕过临界点的路径，使稀薄气体连续变成致密流体，而不穿过液气共存线。低于 $T_c$ 的液化过程则仍存在相变。

方程在低温下给出的振荡等温线不能直接当成均匀稳定流体的实验路径。相平衡要求气液两相具有相同的温度、压强和化学势，可用 Maxwell 等面积构造确定共存压强。临界点附近真实流体的强涨落，也超出了这一平均场模型的描述。
3. 不同流体的比较：对应态原理（1880）

用每种流体自己的临界参数作单位，定义 $p_r=p/p_c$、$v_r=v/v_c$、$T_r=T/T_c$，van der Waals 方程变为：

$\left(p_r+\frac{3}{v_r^2}\right)(3v_r-1)=8T_r$

物质参数 $a,b$ 消失了。同一模型内的流体，在相同约化温度下具有同样的约化等温线。真实流体能近似遵循对应态规律，但分子形状、极性、量子效应与临界涨落等会造成偏离。

van der Waals 约化等温线：$T_r=0.85,1,1.15$

对应态原理也为低温实验提供了指导。James Dewar 于 1898 年液化氢，Heike Kamerlingh Onnes 于 1908 年液化氦；van der Waals 在 1910 年诺贝尔演讲中回顾了自己的理论对这些工作的帮助。理论为实验方案与物性估计提供依据，液化的实现还依靠实验装置与低温技术的发展。
4. 混合物与液气界面（1890、1893）

1890 年，他发表二元混合物理论，将分子模型与 Gibbs 的自由能和平衡条件结合，研究不同组分的混合、分相及临界现象。他把二元体系的自由能曲面称为 $\psi$ 曲面，沿用了 Gibbs 表示自由能的符号。

1893 年的毛细现象理论把液体与蒸气之间的界面视为一个密度连续但快速变化的薄层。界面具有内部结构，分子间作用与密度的空间变化共同影响表面性质。这些研究把状态方程的应用扩展到均匀单组分流体之外。

教师的博士论文：古典语言与学位资格

van der Waals 的求学经历并不是先完成普通大学教育，再开始做研究。他先成为教师，再利用工作之外的时间学习大学课程，取得数学、物理教学资格；后来在 The Hague 的中学任教并担任校长，研究气体与液体的问题。

当时，缺少拉丁文和希腊文等古典语言教育，会妨碍他参加学位考试。后来获得豁免，才使他得以完成考试并提交博士论文。1873 年，他取得博士学位时已经 35 岁。这里的障碍是学位资格的制度要求，他此前已经在莱顿大学听课、学习。

在 1910 年的演讲中，他把研究的起点追溯到 Clausius 1857 年关于热运动的论文：如果稀薄气体由运动的分子组成，压缩以后、甚至形成液体以后，这些分子仍应存在。分子占有的空间和彼此的吸引，便成为他要加入气体理论的因素。

Maxwell 的评介：一篇让人去学荷兰语的论文

博士论文以荷兰语写成，题为 Over de continuïteit van den gas- en vloeistoftoestand。1874 年 10 月 15 日，Maxwell 在 Nature 发表长篇评介，预言 van der Waals 的名字很快会跻身分子科学的前列。评介讨论的核心，是同一套分子理论能否同时处理气体和液体，以及分子间作用怎样进入计算。

在随后发表于 1875 年的分子理论演讲中，Maxwell 还提到，这篇论文已经促使不止一位研究者去学习它所使用的荷兰语。相关说法见于这篇演讲的文字记录。

论文此后有了德语、英语和法语译本。它也把刚取得博士学位的中学教师带入国际物理学界。1877 年，van der Waals 到新成立的阿姆斯特丹大学任教，长期继续研究真实流体。

van der Waals 1873 年荷兰语博士论文原版封面，题名为论气态与液态的连续性 — 1873 年博士论文《论气态与液态的连续性》封面。Johannes Diderik van der Waals，Leiden：Sijthoff。ETH-Bibliothek Zürich，Rar 24694，e-rara 数字藏本，Public Domain。

坚持分子图像：气体和液体中的同一批粒子

van der Waals 把气体与液体中的分子看作真实存在的对象。1910 年回顾早年的研究时，他明确说自己从未把分子仅仅看成想象的产物。气体被压缩、形成液体，改变的是分子间的距离与集体状态，而不是分子作为物质组成单位的身份。

他也一直修改模型，讨论方程与实验之间的差别。诺贝尔演讲不仅介绍了状态方程的成功，也专门讨论剩余偏差以及他当时尝试的解释。今天的流体理论已经超出这套简单方程，但排斥、吸引、液气连续性与临界点仍可在这个模型中一起讨论。

一个带进梦里的问题

1910 年领奖时，他还在思考怎样更准确地处理分子所排除的体积。他回忆，最初以为只须从容器体积中减去分子体积之和，仔细计算才发现事情远没有这么简单。把分子近似为硬球时，在极稀薄极限，每个粒子分摊的排除体积是自身几何体积的四倍；到了较高密度，又不能一直照搬这个结果。这里讨论的是怎样改进简单的常数 $b$ 近似。

Korteweg、Lorentz、Boltzmann、Jeans，以及他的学生 Van Laar、Kohnstamm 和儿子都研究过这个问题。他在演讲中提到漫长的计算与尚未解决的困难，接着说，这个问题使他无法摆脱，“甚至在梦里也跟着我”（据演讲英译本中译）。这段话见诺贝尔演讲印刷页 255–256。

Kamerlingh Onnes 的催稿，Gibbs 与 Korteweg 的帮助

van der Waals 也有被朋友催稿的经历。他在诺贝尔演讲中回忆，自己早已考虑把状态方程用于混合物，却迟迟没有发表完整理论。一个顾虑是：单组分流体的方程尚有不足，直接用于混合物，会不会产生很大的数值误差？

在 Kamerlingh Onnes 的催促下，他终于于 1890 年发表二元混合物理论。初稿仍用荷兰语写成，Johannes Bosscha 帮助译为法语。van der Waals 自己承认，原稿写得很简略，其中涉及的特殊点和曲线又不容易处理，这使翻译格外费力。

Gibbs 在有关非均匀体系平衡的论文发表后，就把论文寄给了他。van der Waals 运用其中的自由能最小原理，研究混合物怎样达到平衡。数学家 Diederik Korteweg 则研究有关曲面的数学性质，van der Waals 在演讲中明确提到这些工作对自己的帮助。

这段回忆把几个人的工作连在一起：Gibbs 提供平衡理论，van der Waals 构造分子模型，Korteweg 分析数学结构，Kamerlingh Onnes 及其同事开展相关实验。这里的交往见于 van der Waals 本人的演讲记录。

Anna、四个孩子与接任教席的儿子

van der Waals 与 Anna Magdalena Smit 育有三女一子。1881 年，Anna 因肺结核去世，年仅 34 岁；他此后没有再婚。长女 Anne Madeleine 后来料理家庭并照顾父亲，Jacqueline Elisabeth 成为历史教师和诗人，Johanna Diderica 任英语教师。

儿子 Johannes Diderik van der Waals Jr. 也研究物理，1903–1908 年在格罗宁根大学任教授。1908 年父亲退休后，他到阿姆斯特丹接任理论物理教席。父子名字相同，文献常以 Jr. 区分儿子。

校史里的“爸爸的定律”

阿姆斯特丹大学的一篇校史回顾转述了儿子的课堂轶事：他有时把 van der Waals 方程叫作“爸爸的定律”（de wet van Pa）。口试中，他问学生是否知道“爸爸的定律”，学生回答自己不知道，却知道 Ohm 定律。

笑点在荷兰语里：oom 表示“叔叔”，发音与 Ohm 接近，于是成了“爸爸的定律”与“叔叔的定律”的双关。这是后来的校史转述，宜作为轶事介绍，不当作逐字的课堂记录。

晚年与纪念

1910 年 12 月 12 日，退休后的 van der Waals 在诺贝尔演讲中回顾了状态方程、对应态和混合物研究。1923 年 3 月 8 日，他在 Amsterdam 去世，终年 85 岁。获奖理由中的“气体和液体状态方程”，对应的是他从分子作用出发研究真实流体的长期工作。

资料与进一步阅读

生平、任教与家人：诺贝尔奖官方生平；荷兰皇家艺术与科学院所存科学史人物条目；导师与博士年份见莱顿大学 Rijke 博士生名录，阿姆斯特丹任职据该校校史。
获奖理由：1910 年诺贝尔物理学奖。
研究起点、分子观念、排除体积的计算困难、朋友催稿及与 Gibbs、Bosscha、Korteweg 的交往：van der Waals，1910 年诺贝尔演讲，印刷页 254–256、262–265；“梦里”的自述见第 256 页，对应态与液化见第 264 页。中文为转述或注明的中译。
Andrews 的二氧化碳实验：Thomas Andrews，On the Continuity of the Gaseous and Liquid States of Matter，Philosophical Transactions 159, 575–590（1869），界面的消失与临界温度见印刷页 576、583。
博士论文原件与封面：van der Waals，Over de Continuiteit van den Gas-en Vloeistoftoestand（Leiden：Sijthoff，1873），ETH-Bibliothek Zürich，Rar 24694，Public Domain。
Maxwell 的论文评介：Nature 10, 477–480（1874）；有关荷兰语的说法见随后演讲 Nature 11, 357–359、374–377（1875）。出处区分亦见 A. J. Kox 的档案研究。
Anna 的去世与家庭生活：Dirk van Delft，Freezing Physics（2007）；1881 年死亡登记索引。
阿姆斯特丹任教、儿子接任与“爸爸的定律”轶事：阿姆斯特丹大学物理研究所校史回顾。轶事据回顾转述，不是课堂原始记录。
分子势、Mayer 函数、维里系数与状态方程的现代说明：David Tong，经典气体讲义；相变讲义。正文中的摩尔浓度约定已显式写出。

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26 · 12 月 23 日（周三） · 杨振宁、李政道

对称性与相变：杨振宁和李政道

课程内容：相变与配分函数的解析性；热力学极限与 Lee–Yang 零点

课堂共看

有限配分函数是平滑的，宏观相变的非解析性从何而来？

从有限配分函数的解析性进入 Yang–Lee 零点与热力学极限。
分别介绍两人的规范场、凝聚、可积性、重整化和弱相互作用工作。
从乘车谈话、实验论文的转折、旧考卷和绘画中的对称性讲个人故事。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

杨振宁（1922–2025）

在西南联合大学和清华学习，1948 年在 Chicago 随 Edward Teller 完成博士学位，也受到 Enrico Fermi 的重要影响。1949 年到 Princeton 的 Institute for Advanced Study，1955 年成为正式教授，1966 年转到 Stony Brook，主持新建的理论物理研究所，1999 年荣休。晚年在清华教学研究并推动学术建设。

研究统计力学、对称性、规范场和可积模型。1952 年与 Tsung-Dao Lee 建立相变的零点理论，1954 年与 Robert Mills 提出非阿贝尔规范场论，1957 年与 Lee 分享诺贝尔物理学奖。

Tsung-Dao Lee（1926–2024）

在浙江大学、西南联合大学学习，1946 年赴 Chicago，1950 年在 Enrico Fermi 指导下获博士学位。1950–1951 年在 Berkeley，1951–1953 年在 Princeton 高等研究院，1953 年到 Columbia 任助理教授，1956 年升教授，此后长期在该校教学研究。

研究粒子物理、量子多体和统计力学，推动高能重离子研究与 CUSPEA 等人才培养项目。两人共同的 1952 年相变理论，与 1956 年宇称问题及 1957 年诺贝尔奖属于不同成果。

主要学术贡献：共同工作——宇称问题与相变理论

1. 检验左右对称：弱相互作用中的宇称问题（1956）
两人共同重新检查宇称守恒的实验证据，指出弱相互作用中缺少检验，并提出实验方向。这项工作带来 1957 年诺贝尔物理学奖；它与 1952 年的统计力学论文是不同成果。
2. 有限体系的零点如何揭示宏观相变？（1952）
有限格点气体的巨配分函数是逸度的多项式，正实逸度下没有由有限正权重相加产生的零点。非解析相变必须来自热力学极限；把零点放到复平面中，就能追踪奇异性如何逼近物理参数轴。

$\Xi(z)=\sum_{N=0}^{N_{\max}}Z_Nz^N$
$z$ 为逸度，$Z_N$ 为定粒子数配分函数。这里采用有限占据数的格点模型说明多项式结构。
3. 给零点以几何约束：Lee–Yang 圆定理
对于具有铁磁耦合的相应 Ising 模型，取复外场变量后，配分函数零点落在单位圆上。定理把微观耦合的符号与零点的整体几何分布联系起来，是严格统计力学的经典结果。

$z=e^{-2\beta h},\qquad |z|=1$
$h$ 是与自旋耦合的外场能量，$\beta=1/(k_{\mathrm B}T)$。圆定理有铁磁耦合等前提，不能直接套到任意相互作用。
4. 把相共存与解析性联系起来
零点若在热力学极限中累积并逼近物理轴，自由能的导数就可能产生不连续或发散。这个视角把液气转变、磁性转变和复分析联系起来，也启发后来对有限尺寸和动力学零点的研究。
5. 稀薄 Bose 气体超出平均场：Lee–Huang–Yang 修正（1957）
李政道、黄克孙与杨振宁研究硬球 Bose 气体的低温性质，计算基态能量超出平均场的首个量子涨落修正。这一结果有三维、稀薄及相互作用模型的条件，既连接 Bogoliubov 理论，也影响后来冷原子气体的状态方程研究；黄克孙的共同贡献不可省略。
研究依据：Lee–Huang–Yang，硬球 Bose 体系（1957）。

各自的重要工作：杨振宁

1. 从局域对称性构造相互作用：Yang–Mills 理论（1954）

杨振宁与 Robert L. Mills 将规范思想推广到不对易的内部对称变换。要求不同位置都能独立选择内部基底，就必须引入相应规范场；场本身还可以相互作用。这成为后来标准模型中弱相互作用和强相互作用理论的基础。

F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu-ig[A_\mu,A_\nu]

这里采用 $D_\mu=\partial_\mu-igA_\mu$ 的约定，$A_\mu$ 是矩阵值规范场，$g$ 是耦合常数。非零对易子体现非阿贝尔结构，并产生规范场的自相互作用；电磁理论的阿贝尔情形没有这一项。

2. 用密度矩阵刻画凝聚与配对：非对角长程序（1962）

杨振宁用约化密度矩阵的大本征值统一刻画有序：单粒子密度矩阵的大本征值对应 Bose 凝聚，双粒子密度矩阵则能够描述配对有序。重点不在粒子是否彼此独立，而在多体关联能否延伸到宏观尺度。

3. 揭示一维可积结构：Yang–Baxter 方程

在一维量子多体研究中，他发现两体散射分解必须满足的一致性关系。与 Baxter 在格点模型中的独立发展结合，这一结构成为可积系统的重要组织原则，连接精确解、代数与量子多体理论。

4. 规范场的全局几何：Wu–Yang 工作（1975）

杨振宁与吴大峻研究不可积相位因子、磁单极及规范场的全局描述，把物理中的规范势同主纤维丛联络联系起来。这一工作使规范场与几何的联系更加明确，应同最初的 Yang–Mills 局域场论及其后续标准模型发展分别介绍。

研究依据：Wu–Yang，Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields（1975）。

5. 二维 Ising 自发磁化的已发表推导（1952）

杨振宁独立重新推导 Onsager 先前公布的自发磁化结果，并发表完整计算。它同 1944 年 Onsager 的精确自由能、1952 年与李政道的复零点理论是三件相互关联但不同的工作。

研究依据：Yang，The Spontaneous Magnetization of a Two-Dimensional Ising Model（1952）。

各自的重要工作：李政道

1. 让可观测概率保持有限：Lee–Nauenberg 工作（1964）

李政道与 Michael Nauenberg 研究简并态造成的质量奇异性与红外发散。对实验不能分辨的简并初态和末态作适当平均与求和，真实辐射和虚过程的奇异项可在相应条件下抵消。这与 Toichiro Kinoshita 的工作共同构成通常所称的 KLN 定理，解释了为什么可观测的包容性概率应与单个散射振幅区分。

2. 从可解模型理解量子场论：Lee 模型（1954）

李政道构造可精确分析的量子场论模型，研究质量、电荷重整化与态的归一化等问题。模型的价值在于把理论一致性的困难暴露为可计算的问题，不是对某一种实际粒子的完整模型。

3. 研究高密度物质与真空：高能和重离子物理

他与合作者研究真空稳定性及高能碰撞中的集体现象，并推动用相对论重离子碰撞探索高温、高密度物质。学术研究之外，他长期推动物理人才培养与国际交流。

4. 弱相互作用与不稳定粒子的对称性：Lee–Oehme–Yang（1957）

李政道与 Reinhard Oehme、杨振宁进一步分析电荷共轭、宇称和时间反演非守恒的关系，并讨论中性 K 介子体系。与宇称检验相连的这项共同研究，也为理解混合、不稳定粒子及对称性约束留下了重要理论工具。

研究依据：Lee–Oehme–Yang，Remarks on Possible Noninvariance Under Time Reversal and Charge Conjugation（1957）。

1952 年合作研究相变

1950 年代初，两人在 Princeton 的 Institute for Advanced Study 工作期间合作研究状态方程与相变，把统计力学问题带进复平面。

1952 年的两篇论文研究状态方程与相变，重新审视 Mayer 理论，并把巨配分函数的复零点用于理解热力学奇异性。有限体系的求和通常平滑，宏观相变却表现出非解析行为；困难因此转化为：当粒子数和体积一起趋于无穷，零点怎样靠近物理参数所在的区域？复数在这里成为研究真实相变的工具。

杨振宁在面包车上听到的新方法

杨振宁在自述中记下具体时间：1949 年 11 月初，他在 Princeton 往返研究所的车上与 Joaquin Luttinger 谈及 Ising 模型。Luttinger 提到 Bruria Kaufman 简化 Onsager 解法的工作，所用反对易矩阵正是杨振宁熟悉的数学工具。

回到研究所后，他推导了方法的基本步骤，随后继续研究自发磁化。1952 年发表的自发磁化论文，与同年和 Lee 合作的配分函数零点论文是不同工作。此后他又在 Stony Brook 和清华参与建设理论研究机构。

Tsung-Dao Lee 的三张旧考卷

课堂小问：诺贝尔奖得主的电磁学成绩，理论和实验会一样高吗？

Lee 在回忆文章中写道，1993 年，Qisun Ye 的亲属整理遗物时发现他 1945 年的电磁学考卷。三张昆明土纸上保存着批分：理论部分 58/60，实验部分 25/40，总分 83。Ye 将这些材料保存了多年。

1946 年，Ta-You Wu 与 Qisun Ye 推荐他赴美学习，他后来在 Chicago 随 Fermi 取得博士学位。留美后的 Lee 又推动 CUSPEA 等项目，帮助后来的中国学生赴海外深造。

故事出处：清华校史考证，李政道回忆与叶企孙遗物。

与本次课的联系

当天课程讨论有限体系的解析性和热力学极限，1952 年两篇状态方程与相变论文正面处理这个问题。有限格点模型的配分函数在正实参数上平滑，零点在复平面的聚集，提供研究宏观奇异性的方法。

1957 年诺贝尔奖表彰的是弱相互作用中的宇称研究。Chien-Shiung Wu 及合作者在 1957 年发表的实验，检验并确认相关的左右不对称；1952 年的相变论文是另一项独立成果。

杨振宁原本想写一篇实验博士论文

课堂小问：以理论物理闻名的人，最初也可能一心想做实验吗？

杨振宁在九十岁自述中说，1946 年到 Chicago 时，本想随 Fermi 做实验。由于当时 Argonne 的实验室有保密限制，他先随 Teller 做理论，后来进入 Samuel Allison 的加速器实验组。自己的理论基础受到同学认可，动手能力却常被打趣，他还在回忆中保留了同学用 Bang 和他的英文姓氏押韵的玩笑。

1948 年，Teller 建议他改用已经完成的理论工作写博士论文，并愿意担任导师。杨振宁想了两天后接受建议。他在自述中把这个决定说成自己后来成为理论物理学家的一个转折；此前研读 Onsager、Bethe 与 Pauli 论文的经历，也属于这段寻找研究方向的时期。

故事出处：杨振宁九十自述，清华大学校史馆。

Lee 与 Wu Guanzhong 讨论对称，也讨论绘画

Lee 与画家 Wu Guanzhong 有持续的科学与艺术交流。上海交通大学 Tsung-Dao Lee Library 收藏并介绍了相关作品：1996 年《Time and Light》与一场从复杂到简单的学术会议相联系；另一幅描绘柳树及倒影的作品，则与镜面对称、微小不对称这一讨论主题相联系。

这些作品把时间、光、对称等问题带到画纸上。后来 Lee 与 Wu 共同倡议科学与艺术展览，使这种交往成为有具体作品和活动可查的长期项目。

晚年与影响

李政道于 2024 年、杨振宁于 2025 年去世。统计力学中的 Yang–Lee 理论与粒子物理中的 1957 年获奖工作是不同成果，应分别介绍。

资料与进一步阅读

李政道旧考卷考证。
清华大学美术学院：Lee 与 Wu Guanzhong 倡议的科学与艺术展览。
Tsung-Dao Lee Library，科学与艺术作品馆藏。
杨振宁的博士学位与 Princeton 教职：Institute for Advanced Study 的任职档案。
1966 年加入 Stony Brook 与研究所建设：Stony Brook 校方纪念。
Lee 的求学、教职与研究：Columbia 的 Lee 生平资料。
1950–1953 年经历及早期教职：诺贝尔传记原文的 Columbia 存档。
1957 年宇称实验：Wu 等，Experimental Test of Parity Conservation in Beta Decay。
相变一般理论（共同工作）：Yang–Lee，相变一般理论（1952）；期刊页面。
格点气体与零点定理（共同工作）：Lee–Yang，格点气体与 Ising 模型（1952）；期刊页面。
杨振宁的生平：清华大学，杨振宁生平纪念。
李政道的生平：诺贝尔奖，李政道生平。
杨振宁的个人经历：杨振宁自述，清华大学校史馆。
李政道的早年经历：Tsung-Dao Lee 自述，清华大学校史馆。
李政道的可解场论模型：Lee，Some Special Examples in Renormalizable Field Theory（1954）。
李政道的简并态与红外研究：Lee–Nauenberg，Degenerate Systems and Mass Singularities（1964）。
杨振宁的非阿贝尔规范场：Yang–Mills，Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance（1954）。
杨振宁的代表性学术贡献：清华大学高等研究院，杨振宁的学术工作。
李政道的高能物理研究：Brookhaven，李政道与高能、重离子物理。

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12 · 11 月 2 日（周一） · Peter Joseph William Debye

分子结构、低温热容与电荷屏蔽

课程内容：声子与 Debye 模型；固体热容的高温极限与低温 $T^3$ 定律

课堂共看

固体热容为何在低温按温度的三次方下降？

用长波声学模解释固体低温热容，用离子云解释电荷屏蔽。
由偶极矩与衍射研究分子结构，这些工作受到 1936 年诺贝尔化学奖表彰。
从粉末衍射、年轻同行的挑错与课堂回忆，认识公式之外的 Debye。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Peter Joseph William Debye（1884–1966）

Peter Joseph William Debye（1884 年 3 月 24 日—1966 年 11 月 2 日）是荷兰裔物理学家和物理化学家。1936 年获诺贝尔化学奖，获奖理由是通过偶极矩，以及气体对 X 射线和电子的衍射，增进对分子结构的认识。固体热容和电解质屏蔽是他另外两项重要工作。

早年与求学

他出生于 Maastricht（马斯特里赫特）。1901–1905 年在 Aachen 学习电气工程，随后跟随 Arnold Sommerfeld 到 Munich，从事理论物理研究，1908 年以辐射压研究获博士学位。

学术生涯

1911–1912 年任 Zürich 大学理论物理教授，1912–1913 年在 Utrecht，1913–1920 年在 Göttingen，1920–1927 年回到 Zürich 的 ETH，1927–1934 年在 Leipzig，1934–1940 年在 Berlin 任教。Zürich 大学与 ETH Zürich 是两所不同的学校。

1939 年应邀到 Cornell 作 Baker 系列讲座，1940 年起正式在 Cornell 任职，1952 年退休后继续研究。后来投入高分子和光散射等问题，1966 年在 Ithaca 去世。

主要学术贡献：从微观结构到可测量的物性

Debye 用物理模型把实验信号与微观结构联系起来：由偶极矩和散射推断分子结构，由集体振动计算固体热容，由离子云解释电荷屏蔽，再由取向运动理解介电响应。以下四项贡献也构成课堂投影的主线。

1. 从电偶极与散射研究物质：分子结构

Debye 的 1936 年诺贝尔化学奖表彰他通过偶极矩，以及气体对 X 射线和电子的衍射，增进对分子结构的认识。基本做法是：测量分子对电场的响应，研究散射强度怎样随角度变化，再用这些信号约束电荷分布、原子间距和分子构型。下面用现代 SI 记号介绍原理，并保留各模型的适用条件。

（1）偶极矩反映什么：水与二氧化碳的区别

把分子的全部核电荷与电子电荷密度合起来，记为 $\rho(\mathbf r)$。对于总电荷为零的分子，电偶极矩可写为

$\mathbf p=\int \mathbf r\,\rho(\mathbf r)\,d^3r$

$\mathbf r$ 是相对于所选原点的位置，$d^3r$ 为体积元；中性分子的这个偶极矩不依赖原点的选择。它描述正、负电荷分布的中心是否重合；永久偶极矩指没有外加电场时分子本身具有的偶极矩。直线形的 $\mathrm{CO_2}$ 虽然每条碳氧键都有极性，两侧的贡献却因对称性抵消，分子没有永久偶极矩；弯曲的 $\mathrm{H_2O}$ 的两条键贡献不能完全抵消，具有非零永久偶极矩。单独一个偶极矩数值，还不能唯一确定键长、键角或各处的电荷分布。

分子的对称性与永久偶极矩。局部电荷为定性示意，未按原子尺寸比例绘制。本课程绘制 · 教学示意

（2）怎样从电学测量得到偶极矩：外场与热运动的竞争

即使每个分子都有永久偶极矩，没有外场时，各分子的取向通常随机，宏观平均极化仍为零。给稀薄气体施加沿 $z$ 方向的弱电场，外场倾向于使偶极沿场排列，热运动则使取向分散。设永久偶极矩大小为 $p$，场强为 $E$，两者夹角为 $\vartheta$，取向势能和 Boltzmann 权重为

$\begin{aligned}U(\vartheta)&=-pE\cos\vartheta,\\w(\vartheta)&\propto e^{x\cos\vartheta},\\x&=\frac{pE}{k_{\mathrm B}T}.\end{aligned}$

$T$ 为绝对温度，$k_{\mathrm B}$ 为 Boltzmann 常数。对球面上所有取向作热平均，要包含角度测度 $\sin\vartheta\,d\vartheta$。在经典取向近似下，沿外场的平均偶极为

$\begin{aligned}\langle p_z\rangle&=p\,\frac{\int_{-1}^{1}v e^{xv}\,dv}{\int_{-1}^{1}e^{xv}\,dv}\\&=p\left(\coth x-\frac1x\right)\\&\simeq\frac{p^2E}{3k_{\mathrm B}T}\qquad(x\ll1).\end{aligned}$

这里 $v=\cos\vartheta$ 只是积分变量，$\langle p_z\rangle$ 是平均偶极在外场方向的分量。弱场结果中的 $1/T$ 说明：同样大小的电场，在较低温度下更容易产生取向极化。测量时还要计入电场使电子云和原子位置发生小幅形变产生的诱导偶极。若把分子的取向平均诱导极化率记为 $\alpha$，则其平均诱导贡献为 $\alpha E$。这里的单分子极化率有量纲，与下面无量纲的宏观电极化率是不同的量。

设气体分子数密度为 $n$，真空介电常数为 $\varepsilon_0$。在足够稀薄、局域场修正可忽略，且外场变化足够慢、分子可达到取向热平衡的条件下，极化强度 $P$ 和电极化率 $\chi_e$ 满足

$\begin{aligned}P&\simeq n\alpha E+\frac{np^2E}{3k_{\mathrm B}T},\\\chi_e&=\frac{P}{\varepsilon_0E},\\\varepsilon_r&=1+\chi_e.\end{aligned}$

$\frac{\chi_e}{n}\simeq\frac{\alpha}{\varepsilon_0}+\frac{p^2}{3\varepsilon_0k_{\mathrm B}T}$

$\varepsilon_r$ 为相对介电常数。因此，测量介电常数随温度的变化，并校正气体密度，就可以把取向项中的永久偶极矩提取出来。在 $\alpha$ 随温度变化较小的温区，$\chi_e/n$ 对 $1/T$ 的直线斜率给出 $p^2/(3\varepsilon_0k_{\mathrm B})$。若实验保持气压不变，密度也随温度改变，应使用这个归一化量，不能直接把未经密度校正的介电响应当作同一条直线。这正是统计平均如何转化成分子结构测量的一个例子。

（3）X 射线为什么能测距离：不同原子的散射波发生干涉

X 射线主要通过分子的电子分布发生散射。不同原子所在位置不同，它们发出的散射波到达探测器时带有不同相位。这里先采用弹性、单次散射与独立原子近似，并忽略共振吸收，把原子散射因子视为实数。散射振幅可写成

$A(\mathbf Q)=\sum_j f_j(Q)e^{i\mathbf Q\cdot\mathbf R_j}$

$\mathbf R_j$ 为第 $j$ 个原子的位置，$f_j(Q)$ 为其原子散射因子，反映电子云的散射能力；测到的强度正比于 $|A(\mathbf Q)|^2$。散射矢量是入射波和出射波的波矢之差，弹性散射时满足

$\begin{aligned}\mathbf Q&=\mathbf k_{\rm out}-\mathbf k_{\rm in},\\Q&=|\mathbf Q|=\frac{4\pi\sin\theta}{\lambda}.\end{aligned}$

$\lambda$ 是波长，$2\theta$ 是入射方向与出射方向的夹角；波矢的大小为 $2\pi/\lambda$。展开振幅的模平方，会出现不同原子对之间的干涉项，其中相位由 $\mathbf Q\cdot(\mathbf R_i-\mathbf R_j)$ 决定，所以强度曲线随角度的起伏包含原子间距的信息。

气体中的分子通常随机取向。设两个原子的间距为 $r$，其连线与 $\mathbf Q$ 方向的夹角余弦为 $v$，取向平均给出

$\begin{gathered}\frac12\int_{-1}^{1}\cos(Qrv)\,dv\\=\frac{\sin(Qr)}{Qr}.\end{gathered}$

于是，在分子间干涉可忽略的稀薄气体近似下，单个分子的取向平均散射强度满足 Debye 散射公式：

$\begin{aligned}I(Q)&\propto\sum_{i,j}f_i f_j\,s(Qr_{ij}),\\s(z)&=\frac{\sin z}{z},\qquad s(0)=1,\\r_{ij}&=|\mathbf R_i-\mathbf R_j|.\end{aligned}$

这里用 $f_i$ 简记 $f_i(Q)$，$s(z)$ 是取向平均得到的干涉函数，在 $z=0$ 处按连续极限取值为一。$i=j$ 的项是各原子自身的散射，$i\ne j$ 的项是原子对干涉；同一对原子按两个次序计入，因而也可改写为对 $i<j$ 求和、干涉项前乘以二的形式。取向平均消去了分子朝向的信息，却保留了原子对距离 $r_{ij}$。这里省去了共同的比例系数；实际分析还要处理偏振、非相干散射背景和仪器等修正。

（4）从强度曲线到键长、键角：先看一个双原子模型

若分子只有两个相同原子，散射因子都是 $f(Q)$，原子间距为 $r$，上式就化为

$I(Q)\propto2f(Q)^2\left[1+s(Qr)\right]$

改变 $r$ 就会改变干涉项随 $Q$ 振荡的快慢。实验测得一系列角度上的强度后，可以改变模型中的键长，比较预测曲线与实验曲线，确定最符合数据的距离。对多原子分子，多个原子对距离共同约束几何结构；已知原子连接方式时，键长和键角之间还有几何关系可用于拟合。

Debye 在诺贝尔演讲中讨论过 $\mathrm{CCl_4}$ 等分子：碳原子到四个氯原子的距离、氯原子之间的距离，会共同影响散射曲线，从而检验四面体构型。他也举出 $\mathrm{CO_2}$、$\mathrm{CS_2}$ 的线形结构与零偶极矩相互符合的例子。完整结构分析需要结合化学组成、多个角度的数据和其他测量；有限的、取向平均后的强度信息通常不能单独给出唯一的复杂分子结构。

（5）电子为什么也能用来衍射？

电子具有波动性。设电子的动量大小为 $p_e$，波长为 $\lambda_e$。由电压 $V$ 加速、初始动能可忽略的电子，在非相对论近似下有

$\begin{aligned}\lambda_e&=\frac{h}{p_e},\\p_e&\simeq\sqrt{2m_e eV}.\end{aligned}$

$h$ 是 Planck 常数，$m_e$ 为电子质量，$e$ 为元电荷的正值。通过选择加速电压，可以获得适合探测原子间距的波长；当 $eV$ 不再远小于 $m_ec^2$ 时，动量与电压的关系需要相对论修正。

电子与原子核及电子云产生的静电势相互作用，来自不同原子的散射波同样会发生干涉。利用适合电子的散射振幅，也能从强度曲线拟合分子内距离。电子与 X 射线的原子散射因子不同，不能直接共用一组散射权重。Debye 把偶极矩与这些衍射结果结合，用来判断分子的电学与几何结构。

（6）粉末衍射与热振动：晶体中的结构信息

与 Paul Scherrer 发展的粉末衍射方法，研究的是许多随机取向的小晶粒。晶体的周期排列使特定方向上的散射相长增强，其峰位置可用 Bragg 条件描述：

$\begin{aligned}2d\sin\theta&=m\lambda,\\m&=1,2,\ldots\end{aligned}$

$d$ 为晶面间距，$m$ 为衍射级数。粉末中大量不同朝向的晶粒，使满足条件的散射形成圆锥，探测器截取后便能看到衍射环。因此不必先制成一块很大的单晶，也能测晶面间距、辨认物相并进一步分析结构。气体中的单个分子没有这样的三维晶格周期，其分子散射曲线主要由原子对距离决定；两种实验的图样和分析对象应分别理解。

晶体中的原子还会在平均位置附近振动。设位移为 $\mathbf u$，当位移近似服从零均值的高斯分布时，单个原子的相干弹性散射振幅出现平均相位因子

$\begin{aligned}T_{\rm amp}(\mathbf Q)&=\left\langle e^{i\mathbf Q\cdot\mathbf u}\right\rangle=e^{-W},\\W&=\frac12\left\langle(\mathbf Q\cdot\mathbf u)^2\right\rangle.\end{aligned}$

这就是常见 Debye–Waller 因子的基本形式，角括号表示对位移分布作平均。振动幅度越大、$Q$ 越大，相干弹性 Bragg 峰通常削弱得越明显；相应的强度因子要取振幅因子的模平方。减弱的峰强并不意味着全部散射信号消失，热振动还会产生峰外的热漫散射。由此，衍射强度既反映原子的平均排列，也受到热运动影响，不能把较弱的散射简单解释成“那个位置没有原子”。
2. 解释固体的低温热容：Debye 模型（1912）
Einstein 模型用同一频率的独立振子近似晶体，Debye 则把长波振动看作在弹性连续体中传播的声波。三维声学模在低频满足 $g(\omega)\propto\omega^2$，其中 $g(\omega)\,d\omega$ 是频率区间内的振动模数。在谐近似下，不同集体简正模仍可独立处理；关键改进在于保留了低频声学模。模型把低频频谱延伸到截断频率 $\omega_D$，并使总模数等于 $3N$：
$\begin{gathered}g(\omega)=\frac{9N\omega^2}{\omega_D^3},\\\int_0^{\omega_D}g(\omega)\,d\omega=3N,\\\Theta_D=\frac{\hbar\omega_D}{k_{\mathrm B}}.\end{gathered}$
$N$ 为原子数，$\Theta_D$ 为 Debye 温度。这个截断是对整个振动谱的有效近似，不是真实晶格在任意频率下的精确色散关系。三维晶体的长波声学振动包含一支纵波与两支横波，声速可以不同；原胞含多个原子时还存在光学支，不能把全部振动都逐支当作长波声波。

固定的总模数与随温度变化的声子数也应区分：模是允许的集体振动方式，声子是这些模中的激发，通常没有固定总数的守恒约束。每个频率为 $\omega$ 的振动模，其平均热激发能记为 $\bar\varepsilon(\omega)$。对全部频率积分，令 $x=\hbar\omega/(k_{\mathrm B}T)$，得到

$\begin{gathered}\bar\varepsilon(\omega)=\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/(k_{\mathrm B}T)}-1},\\U_{\rm th}=\int_0^{\omega_D}g(\omega)\bar\varepsilon(\omega)\,d\omega\\=9Nk_{\mathrm B}T\left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3\\\times\int_0^{\Theta_D/T}\frac{x^3}{e^x-1}\,dx.\end{gathered}$
这里未写入与温度无关、对热容没有贡献的零点能。低温 $T\ll\Theta_D$ 时，积分上限可延伸到无穷，利用 $\int_0^\infty x^3/(e^x-1)\,dx=\pi^4/15$，可知 $U_{\rm th}\propto T^4$。再用 $C_V=(\partial U/\partial T)_V$ 得到

$C_V\simeq\frac{12\pi^4}{5}Nk_{\mathrm B}\left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3$
从物理上看，温度降低时，只有越来越小的低频窗口能被热激发；三维线性色散使可激发的模数按温度的三次方减少。每个已充分热激发的模平均携带与温度同阶的热能，由此得到上面的能量四次方和热容三次方规律。这是宏观三维晶体、线性声学模主导温区内的晶格热容；温度还需高于由有限尺寸的最低非零声学模能量所对应的温标。高温极限回到 $C_V\to3Nk_{\mathrm B}$。金属还存在电子热容，不能把总热容一概写成 $T^3$。实验常测定压热容，图中计算的则是定容热容；两者在低温通常接近，但比较较高温度数据时要注意热膨胀等影响。热容图中的横轴分别使用两个模型各自的特征温度，比较的是模型的温度依赖，不能据此认定两条曲线代表同一材料的同一绝对温度。
3. 库仑作用如何被屏蔽：Debye–Hückel 理论（1923）
一个离子周围的其他离子会重新分布，形成平均电荷云。弱电势下线性化 Poisson–Boltzmann 方程，库仑势便获得指数屏蔽。该理论适用于足够稀、相关较弱的电解质。

$\phi(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon r}e^{-r/\lambda_D}$
$\varepsilon$ 是介质的绝对介电常数，$\lambda_D$ 为屏蔽长度，$q$ 为中心电荷。在三维、均匀介电背景下，设第 $s$ 种离子的体相数密度为 $n_s$、电荷为 $q_s$，且体相满足电中性 $\sum_s n_s q_s=0$。局部密度按 $n_s(r)=n_s e^{-q_s\phi(r)/(k_{\mathrm B}T)}$ 分布；在 $|q_s\phi|\ll k_{\mathrm B}T$ 的弱势区线性化，并代入 Poisson 方程，得到

$\begin{gathered}(\nabla^2-\lambda_D^{-2})\phi(\mathbf r)\\=-\frac{q}{\varepsilon}\delta^{(3)}(\mathbf r),\\\lambda_D^{-2}=\frac{\sum_s n_s q_s^2}{\varepsilon k_{\mathrm B}T}.\end{gathered}$
在这一近似中，离子数密度越大，屏蔽长度越短；相同密度与介电常数下，温度升高使屏蔽长度增大。点电荷形式是线性方程的理想化解，不能把弱势近似直接延伸到任意接近离子中心的区域；强耦合和近距离结构需要更精细的描述。
4. 分子取向需要时间：介电弛豫与高分子

在交变电场中，极性分子的取向来不及立即跟随外场改变，极化便出现延迟。Debye 用单一弛豫时间描述这种响应。以取向极化 $P_{\rm or}$ 为例，在小信号线性近似下，它趋近外场对应的平衡值 $P_{\rm eq}$：

$\tau\frac{dP_{\rm or}}{dt}+P_{\rm or}=P_{\rm eq}$
$\tau$ 为弛豫时间。若外场突然撤去，使 $P_{\rm eq}=0$，则 $P_{\rm or}(t)=P_{\rm or}(0)e^{-t/\tau}$；当交变电场的角频率满足 $\omega\tau\sim1$ 时，响应延迟变得显著。这个时间尺度与电解质中的屏蔽长度描述不同的现象；真实材料也可能需要多个弛豫时间。

晚年在 Cornell，他把散射方法用于高分子溶液：光散射可提供分子量、尺寸和分子间相互作用的信息。由 X 射线到可见光，探测波长与适用尺度改变，研究思路仍是从散射信号推断物质结构。

从 Sommerfeld 的助手到 Zürich 的教授

Debye 最初接受电气工程训练，随 Sommerfeld 从 Aachen 到 Munich 后转向理论物理。1911 年，他到 Zürich 大学接任 Einstein 离开后的理论物理教席；此后多次转任，研究范围也从辐射与固体扩展到分子结构和溶液。

1920 年到 ETH Zürich 时，Paul Scherrer 也到该校任职，两人的合作在新环境中继续。两次任职分别在 Zürich 大学和 ETH Zürich。

从纸和木炭到清晰的粉末衍射线

在 Göttingen，Debye 与学生 Paul Scherrer 合作，1916 年发表用随机取向微晶研究 X 射线衍射的工作。Scherrer 在 1962 年的本人回忆中，详细记下实验如何起步：Debye 最初想用 X 射线寻找当时 Bohr 原子模型中电子轨道所预期的干涉效应，早期用纸和木炭拍摄，没有得到清楚的衍射效果。

Scherrer 随后改造 X 射线管，并制作直径约 57 毫米的圆筒衍射相机。他把很细的氟化锂粉末放在样品位置，第一批照片就出现了清晰的衍射线。两人很快把它解释为随机取向微晶的晶体衍射。最初的原子模型设想，把他们带到了后来广泛使用的粉末衍射方法。

不同取向的小晶粒满足不同的衍射条件，散射方向形成圆锥；用垂直于入射束的平面探测器截取，便得到衍射环。历史实验使用的是圆筒相机，展开后的胶片记录衍射线。样品由许多小晶粒组成，不必先得到一块理想的大单晶。1920 年两人到 ETH Zürich 后继续合作。

随机取向微晶的散射形成圆锥，垂直入射束的平面探测器上出现衍射环 — 粉末衍射几何示意。右侧画的是平面探测器；历史实验使用圆筒相机。本课程绘制 · 教学示意

粉末衍射后来成为分析晶体结构和物相的重要工具。Debye 的 1936 年诺贝尔化学奖则表彰分子结构研究，具体包括偶极矩以及气体对 X 射线和电子的衍射。

六角薄片：收藏标签可靠吗？

课堂小问：六角形薄片，收藏标签写着“石墨”。你猜，衍射结果会认同这个标签吗？

Scherrer 在 1962 年的回忆中，还记下了一次出人意料的样品鉴定。他与 Debye 合作研究石墨结构时，从 Munich 矿物学家 Groth 的收藏中借来一些著名的六角形“石墨”薄片。衍射分析却让两人大吃一惊：这些样品竟是三氧化钼（$\mathrm{MoO_3}$）晶体。晶体的外形和收藏标签，与内部结构的测量结果，原来可以是两回事。

接回物理：收藏标签给出的是样品的身份说明，衍射检验的却是内部结构。两者发生冲突时，就需要重新检查样品与鉴定依据。

故事出处：Scherrer 本人回忆（1962），IUCr 所载原文。

Onsager 登门挑错，Debye 请他坐下

据美国国家科学院的 Onsager 传记，1925 年，一位从挪威来的年轻人走进 Debye 在 ETH Zürich 的办公室，开口便指出 Debye 的电解质理论有误；下文具体的问题，是离子电导率的推导。这个年轻人就是 Lars Onsager。Debye 请他坐下来，讨论究竟错在哪里，并提出下一年聘他做助手；1926 年，Onsager 正式加入。

问题具体在电导率的推导：原先把中心离子的运动和周围离子的 Brownian 运动作了不对称处理。Onsager 保留离子氛与屏蔽的物理图像，让中心离子也能像邻居一样运动，从而修正结果。传记把这段交往写成一次年轻人登门挑错、教授认真听取并接受改进的相遇。

讲物质波，总得有个波动方程吧？

Felix Bloch 在 1976 年回忆 Zürich 的讨论班时，讲过一则著名故事：Debye 请 Schrödinger 介绍 de Broglie 的物质波工作。报告之后，他追问，既然要认真讨论波，就应当给出一个波动方程。据 Bloch 回忆，几周后 Schrödinger 再来报告，说自己找到了；多年后 Bloch 向 Debye 提起这段往事，Debye 还笑着反问：“那我不是说对了吗？”

Bloch 在原文中明确说，自己不能复原当年的逐字谈话。维也纳大学的档案介绍还提供了 Debye 本人的另一种回忆：他请 Schrödinger 研读 de Broglie 并作报告，却没有声称自己促成了波动力学的发现。因此，这里把它作为注明讲述者的讨论班轶事，不把一项理论的诞生归结为某一句话。

Cornell 的讲台：雪茄与想象中的小棒

课堂小问：一支雪茄怎样用来讲偶极子？如果换成一支笔，在两端标上正、负号，又该怎样演示？

Cornell 保存的 Baker 讲座名录记录，他于 1939 年秋讲授以干涉方法确定分子结构的系列课程。次年在 Cornell 任职，后来担任化学系主任。

Cornell 同事的纪念文还记下他的讲课比喻：用想象中伸入介质的小棒说明密度涨落的空间关联，用雪茄的两端比喻偶极子的两极。纪念文甚至提到，有人给一张他拿着雪茄的照片两端添上正、负号。1952 年退休后，他仍继续研究。

同事还记下他的教学习惯：应给学生足够的时间认真思考问题。课堂中的直观比喻，与要求学生自己思考，在这些回忆中同时出现。

接回物理：用笔示意偶极子的取向，再问：电场倾向于把偶极子排整齐，为什么有温度时仍有不同方向？电场的取向作用与热运动的竞争，正是取向极化的物理图像。

故事出处：Cornell 化学系同事纪念文。

Leipzig 的课堂：学生还想再听几次

物理化学家 Charles P. Smyth 在 1986 年口述史中，回忆了 1933 年访问 Leipzig 时的一段见闻。当时大班物理课的规定课时讲完后，如果学生愿意，还可以增加讲授。Debye 便问学生要不要继续听，得到热烈的肯定答复。Smyth 恰好看见他下课出来，满脸笑容，为学生想听更多而高兴。

Smyth 曾在 Debye 的研究环境中做 X 射线散射工作，也特别记下了他讲解问题的清晰程度。这则课堂片段来自同一次口述访谈。

家庭、花园与钓鱼

Debye 的妻子是 Mathilde Alberer；他们有儿子 Peter Paul Rupprecht（1916 年生）和女儿 Mathilde Maria（1921 年生）。马普学会展示的一张 1930 年代家庭照片，记录了他们在 Berlin 的 Kaiser Wilhelm 物理研究所主任住宅露台喝咖啡的场景，研究所建筑就在身后。

1930 年代 Debye 一家在 Berlin 研究所主任住宅露台喝咖啡，后方为研究所建筑 — Debye 一家，Berlin，1930 年代。© picture alliance / Visual Eyze / United Archives / Otto Rösner · 马普学会所载照片

美国国家科学院的 J. W. Williams 传记还记下，他喜欢园艺、钓鱼和收集仙人掌。Williams 回忆，Debye 有时长时间待在玫瑰园中，随后却带着新想法重新投入研究。这是熟人的回忆，给课堂与公式之外的生活留下了一个具体片段。

晚年与影响

1952 年退休后，他仍在 Cornell 继续研究高分子和光散射，1966 年 11 月 2 日在 Ithaca 去世。Debye 温度表征晶格振动的能量尺度，Debye 长度描述电荷屏蔽，Debye 弛豫时间描述极化响应；这些名称分别对应不同模型中的能量、空间和时间尺度。

资料与进一步阅读

生卒日期与获奖工作：Zürich 大学，Debye 生平；IUCr 所载 Nobel Foundation 记录。
Onsager 登门讨论与助手聘任：Longuet-Higgins、Fisher，Lars Onsager，美国国家科学院传记（1991），第 183、186–188 页。
讨论班与波动方程的回忆：Felix Bloch，Heisenberg and the early days of quantum mechanics（1976），第 23–24 页；Stanford 所存原文扫描。
Debye 本人的不同回忆：维也纳大学，Schrödinger 方程百年档案展，Magnetic Week 部分。
粉末实验的本人回忆：Paul Scherrer，Personal Reminiscences（1962）。
家庭照片与人物生活：Max Planck Society，Peter Debye。
园艺、钓鱼与晚年：J. W. Williams，Peter Joseph Wilhelm Debye，美国国家科学院传记（1975），第 47–48 页。
取向平均与弱场极化：Kiel University，Orientation Polarization。
原子对距离与 Debye 散射公式：Dinnebier 与 Scardi，X-ray powder diffraction in education，Part II（2023），第 11 节。
散射公式的历史与用途：Scardi 等，Celebrating 100 years of the Debye scattering equation（2016）。
电子波的相干散射与晶体衍射：ETH Zürich，Electron Diffraction。
振幅与位移平均的约定：IUCr，Atomic displacement parameter nomenclature。
分子结构工作的本人诺贝尔演讲：Debye，Methods to Determine the Electrical and Geometrical Structure of Molecules（1936）。
Science History Institute，Smyth 口述史。
逐年任职与学位：Zürich 大学物理研究所年表。
粉末衍射的合作经历：PSI 研究者关于粉末衍射史的回顾。
获奖理由：诺贝尔奖官方记录。
Cornell 任职与教学回忆：Cornell 化学系纪念文。
1939 年讲座主题：Cornell，历届 Baker 讲座。
人物生平与获奖贡献：诺贝尔奖，Debye 生平。
研究生涯与跨学科工作：Florida State University，Debye 研究生涯。
固体热容：Debye 固体热容原始论文。
现代统计物理背景：David Tong，Statistical Physics，第 3.3 节：Debye 模型与声子热容。

课堂补充

1. 不同非金属晶体的热容随温度变化

比较 RbI、NaCl、FeS₂、MgO 和金刚石。图中按每摩尔原子归一化，再以经典高温热容为单位；各化合物的取样物质的量保留在原图注中。不同材料的热容在不同温度尺度上接近高温极限。

RbI、NaCl、FeS2、MgO 和金刚石的归一化热容随温度变化，图注保留各材料的取样物质的量 — 来源：MIT OpenCourseWare，3.012 Fundamentals of Materials Science，PDF 第 6 页。原图标注：Figure by MIT OCW；保留原图与图注。

2. 铝的热容：Einstein、Debye 模型与实验

橙色点为铝的实验结果，红线为 Debye 模型，绿线为 Einstein 模型。横轴以德拜温度为单位，图中采用 385 K。可以比较两种模型在较低温区与实验点的符合程度。

铝的实验热容为橙色点，Debye 模型为红线，Einstein 模型为绿线，横轴为温度与德拜温度之比 — 来源：MIT OpenCourseWare，3.012 Fundamentals of Materials Science，PDF 第 4 页。原图标注：Figure by MIT OCW；保留原图与图注。

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18 · 11 月 25 日（周三） · Wolfgang Ernst Friedrich Pauli

不相容原理、自旋与中微子

课程内容：白矮星、Chandrasekhar 极限与 Pauli 顺磁性

课堂共看

低温电子的自旋占据怎样产生磁响应？

以不相容原理理解电子占据、简并压与低温磁响应。
介绍中微子、自旋统计、二分量自旋理论，以及场论中的重要方法。
从中微子信末尾的舞会与同行的仪器玩笑，认识严谨和幽默并存的 Pauli。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Wolfgang Ernst Friedrich Pauli（1900–1958）

Vienna 出生的理论物理学家，1945 年诺贝尔物理学奖表彰其不相容原理。自旋、量子统计和中微子，是他影响物质结构研究的几项主要工作。

早年与求学

1900 年出生，1918 年进入 Munich 大学，师从 Arnold Sommerfeld，1921 年获博士学位。同年发表相对论综述，后来成为单行本，受到 Einstein 关注。

学术生涯

1921–1922 年先后在 Göttingen、Hamburg 任助手，1922–1923 年应 Bohr 邀请在 Copenhagen 研究。1924 年在 Hamburg 取得授课资格，1926 年获教授头衔；1928 年到 ETH Zürich 任理论物理教授。

第二次世界大战期间，他于 1940 年赴 Princeton 高等研究院访问，继续基础研究。1946 年春回到 ETH Zürich，同年赴 Stockholm 作诺贝尔演讲。1958 年在 Zürich 去世。

主要学术贡献：不相容原理、自旋、守恒律与量子场论

1. 限制量子态的占据：不相容原理（1925）
对同种费米子，两个粒子不能占据完全相同的单粒子量子态。这里的“态”包括自旋等全部量子数，因此一个空间轨道可以由自旋相反的两个电子占据。

$n_\alpha=0\ \text{或}\ 1$
$\alpha$ 标记完整的单粒子态。此占据规则适用于同种费米子，不适用于 Bose 粒子。
2. 维护能量守恒：中微子假说（1930）

1930 年，为解释 $\beta$ 衰变连续能谱而保留能量守恒，Pauli 提出一种很难探测的中性粒子。后来 Fermi 建立相应理论，并采用“中微子”名称；1956 年实验获得直接证据。
3. 连接自旋与交换对称性：自旋—统计定理（1940）
Pauli 给出自旋与统计关系的系统论证。在通常三维空间的局域相对论量子场论、正能量等前提下，整数自旋对应 Bose 统计，半整数自旋对应 Fermi 统计。它解释了电子的不相容原理为何与自旋联系起来，把经验规律推进为有明确前提的理论结果。
这一定理不能脱离维数与局域性等条件直接套用到任意有效激发；例如二维体系中的任意子需要另行讨论。
4. 描述电子自旋：Pauli 矩阵与二分量理论
Pauli 的自旋矩阵为电子自旋提供了简洁表示，后来与反对称多粒子波函数一起进入量子统计。由此能够解释周期表、金属电子气和简并压等现象。
5. 解释电子气的磁响应：Pauli 顺磁性
外磁场使两种自旋的能量稍有不同，费米能附近的电子重新分配，形成自旋顺磁响应。与经典局域磁矩不同，低温自由电子气的响应主要来自费米面附近的一小部分电子。

$\chi_P=\mu_0\mu_B^2g(E_F)$
这里采用 SI 单位，$g(E_F)$ 是每单位体积、含两种自旋的态密度；忽略相互作用与轨道磁响应。
6. 控制发散的计算工具：Pauli–Villars 正则化（1949）
Pauli 与 Felix Villars 引入带调节质量与适当系数的辅助项，组织相对论量子场论中的发散积分。正则化使中间表达式可控，之后仍要讨论重整化及去掉调节参数的极限；辅助场也不能直接解释为已经发现的新物理粒子。
研究依据：Pauli–Villars，On the Invariant Regularization in Relativistic Quantum Theory（1949）。
7. 联合变换的约束：CPT 定理的发展
Pauli 参与把电荷共轭、空间反演与时间反演的联合变换发展为量子场论的基本约束。相关证明有 Schwinger、Lüders 等人的贡献，依赖局域性、Lorentz 对称性等条件；CPT 守恒并不要求 C、P、T 每一项分别守恒。
研究依据：研究论文，CPT 定理形成的原始文献与通信考证。

让仪器害怕的理论物理学家？

课堂小问：如果实验装置坏了，可以怪刚走进实验室的理论家吗？

围绕 Pauli，物理学家留下了不少实验仪器出故障的玩笑，仿佛这位理论家只要靠近实验室，装置就会不听使唤。认识他的同行在回忆中记录过这类传闻和恶作剧。这些传闻属于科学共同体的幽默文化，并不是一种经过检验的物理效应。

Pauli 的不相容原理限制了费米子对单粒子态的占据。计算多粒子体系时，除了单粒子能级和态密度，还需要纳入这一占据规则。

故事出处：CERN，Pauli 档案；须作为同行玩笑介绍。

先写给同行，再等待实验

1930 年 12 月，Pauli 写信给在 Tübingen 开会的研究放射性的同行，提出轻的中性粒子，以解释贝塔衰变连续能谱中的能量分配。他当时还使用与后来不同的粒子名称；Fermi 的理论发展后，中微子这一名称才沿用下来。

1956 年，Cowan、Reines 的反应堆实验获得电子反中微子的直接探测证据。对 Pauli 来说，信中假说到实验之间相隔二十多年；原始信件和后来的实验是两种不同的证据。

战争期间的 Princeton 与重返 Zürich

Pauli 在 1938、1940 年的瑞士入籍申请未获批准后，从 ETH 请假赴美国。他在 Princeton 与 Einstein 等人保持交流，完成自旋与统计关系的研究，并与 Oppenheimer 周围的研究者讨论核力问题。

1945 年获诺贝尔奖时仍在美国，翌年回到 ETH，也在 1946 年作了获奖演讲。他的长期教席在 Zürich，战争期间 Princeton 的访问经历不能与 ETH 的任职混为一段。

重要的中微子信，结尾却提到舞会

课堂小问：一封提出新粒子的信，会用什么理由解释自己不能参会？

1930 年 12 月 4 日的公开信，以“亲爱的放射性女士们和先生们”开头。Pauli 写下了轻的中性粒子假说，也承认自己对探测这种粒子还没有把握。在这封后来十分著名的科学文献末尾，他解释不能亲自前往 Tübingen 参会：12 月 6 日至 7 日夜间，Zürich 有场舞会，他自称在那里不可缺席。

舞会的说法就在信中，并非后来编出的机智回答。信里把设想中的粒子暂称为“neutron”；它是后来中微子概念的前身，与 Chadwick 于 1932 年发现的中子应当区分。

故事出处：1930 年 12 月 4 日公开信，原文译本。

晚年与影响

1958 年在 Zürich 去世。不相容原理使量子统计不再只是经典概率的修补，而成为决定物质结构的基本规则之一。

资料与进一步阅读

CERN 档案。
Pauli 公开信。
研究论文，CPT 定理形成的原始文献与通信考证。
Pauli–Villars，On the Invariant Regularization in Relativistic Quantum Theory（1949）。
Pauli，1930 年公开信英文译文（LAPP）。
历年教职与战时迁移：ETH 图书馆，Pauli 生平。
Princeton 的实际研究：ETH 档案展览，Princeton。
1930 年假说及 1956 年实验：CERN，中微子研究历史。
人物生平：诺贝尔奖，Pauli 生平。
书信、轶事与历史背景：CERN，Pauli 档案目录与通信背景。
生平与学术档案：CERN，Pauli 传记档案。
不相容原理：Pauli 诺贝尔演讲，不相容原理。
现代统计物理背景：David Tong，Statistical Physics。
自旋—统计关系：Pauli，The Connection Between Spin and Statistics（1940）。

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10 · 10 月 26 日（周一） · Paul Adrien Maurice Dirac

量子理论、相对论与反物质

课程内容：Debye–Hückel 屏蔽；量子气体、态密度与求和变积分；非相对论与相对论粒子的态密度

课堂共看

同样数动量空间的状态，为什么相对论能谱给出不同态密度？

Dirac 先读工程、再读数学，1923 年到 Cambridge。1925 年的一次星期日散步中，他想到对易子与 Poisson 括号的联系，次日到图书馆查书确认。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Paul Adrien Maurice Dirac（1902–1984）

英国理论物理学家，主要研究量子力学、量子统计和相对论电子理论。1933 年与 Erwin Schrödinger 分享诺贝尔物理学奖，获奖工作是发展原子理论的新形式。

早年与求学

1902 年出生于 Bristol。1921 年取得 Bristol 大学电气工程学位，随后继续学习数学，1923 年取得数学学位。同年到 Cambridge，师从 Ralph Fowler，1926 年以量子力学研究取得博士学位。

学术生涯

1932–1969 年担任 Cambridge 的 Lucasian 数学教授。其主要工作包括 1926 年的量子统计、1927 年的辐射量子理论和 1928 年的相对论电子方程；1930 年出版《量子力学原理》。

1969 年从 Cambridge 教席退休后，曾在 Miami 工作。1970 年到 Florida State University 访问，1972 年接受正式教授职位，继续研究并指导学生，直到 1984 年在 Tallahassee 去世。

主要学术贡献

1. 从相对论电子到反物质：Dirac 方程
Dirac 寻找对时间和空间导数均为一阶的相对论波动方程。由此自然出现电子自旋和反粒子结构。对于自由粒子，相对论能谱又直接决定高能量区的态密度和热性质。

自由粒子的 Dirac 方程可写为

$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\left(-i\hbar c\,\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla+\beta mc^2\right)\psi$

$\psi(\mathbf{x},t)$ 是四分量波函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_x,\alpha_y,\alpha_z)$ 与 $\beta$ 是 $4\times4$ 矩阵；$\hbar$ 是约化 Planck 常量，$c$ 是光速，$-i\hbar\nabla$ 是动量算符。

相应的自由粒子能量与动量满足

$E^2=p^2c^2+m^2c^4$
$p$ 为动量大小，$m$ 为静质量；低动量和超相对论极限具有不同的态密度标度。

方程的正、负能量解推动 Dirac 发展空穴理论并预言正电子，随后获得实验确认。反物质由此成为相对论量子理论的一项关键预言。
1928 年的方程把相对论与电子的量子理论结合起来，给出自旋以及磁矩的关键结构；反粒子的解释随后逐步明确。正电子于 1932 年被实验发现，使反物质从理论结构成为可观测的物理对象。
2. 建立量子理论的语言：变换理论与态、算符
Dirac 的变换理论、bra–ket 记号和对量子场的研究，为统计力学处理量子态、跃迁和粒子数变化提供了共同语言。记号本身不是物理假设，但有助于区分态、算符和统计平均。

变换理论把波动力学与矩阵力学视为同一量子理论在不同表象中的表达。态、算符及其代数关系决定物理内容，选择位置或动量表象则是计算方式的选择；其意义超过一套方便的符号。
3. 把辐射场也量子化：发射与吸收理论（1927）
Dirac 将辐射场的不同模式当作量子自由度，把光的发射和吸收写成光子数改变的跃迁，并在统一框架中处理自发与受激辐射。这是量子电动力学和场量子化发展的重要一步。
$H_{\rm rad}=\sum_{\mathbf k,\lambda}\hbar\omega_{\mathbf k}\left(a^\dagger_{\mathbf k\lambda}a_{\mathbf k\lambda}+\frac12\right)$
这是现代自由辐射场的写法：$\mathbf k$ 与 $\lambda$ 标记波矢和偏振，产生、湮灭算符改变相应模式的光子数；与物质的耦合引起发射和吸收。
4. 从交换反对称性得到统计规律：Fermi–Dirac 分布
Dirac 将同种电子交换时波函数的反对称性与费米统计联系起来。在理想费米气体的巨正则描述中，每个单粒子态只能为空或被占据，平均占据数由能量、温度和化学势决定。

$\bar n(\epsilon)=\frac{1}{e^{(\epsilon-\mu)/(k_{\mathrm B}T)}+1}$
$\epsilon$ 是单粒子能量，$\mu$ 是化学势；低温极限形成费米面。该分布由 Fermi 与 Dirac 独立建立。
5. 联系磁荷与电荷量子化：磁单极子假说
Dirac 研究磁单极子的理论可能性，并指出磁荷的存在会对电荷施加量子化条件。这是连接量子力学与电磁学的一项深刻约束；它与正电子的实验确认是不同问题。

杨振宁对 Dirac 的评价

杨振宁在《美与物理学》中借用“秋水文章不染尘”形容 Dirac 的论文，赞赏其论证简洁、逻辑清楚：读者一旦理解关键思路，就能顺着推导读下去。这篇讲稿源于他 1997 年 1 月 17 日在香港的演讲；2013 年谈科学与文学时，他也再次用这句话评论 Dirac 的文章。

杨振宁还引用高适《答侯少府》的诗句“性灵出万象，风骨超常伦”，评价 Dirac 方程和反粒子理论。在他的解释中，前一句对应独创的思路和方程丰富的内容，后一句则对应 Dirac 在同行质疑中继续发展理论的经历。

人物故事：一个词也能成为“单位”

Graham Farmelo 在《The Strangest Man》（2009）第 89 页记载，同行曾拿 Dirac 的寡言开玩笑，把平均每小时说一个词称为一个“dirac”：$1\,\mathrm{dirac}=1\text{ 个词/小时}$。这是朋友间的幽默说法，并非对他实际说话频率的测量。

人物故事：这是一个 comment

传记作者 Graham Farmelo 在 2002 年 ABC《The Science Show》中转述过一则讲课轶事。一次讲座结束后，一位听众表示自己没有看懂黑板右上角的方程。Dirac 没有回应，直到前排有人请他回答，他才说：

“That wasn’t a question, it was a comment.”

“那不是一个问题，而是一句陈述。”

这个回答把“我没有看懂”按字面归为陈述。以上采用 Farmelo 的转述版本；不同讲述中的地点和措辞有所差异。

人物故事：Fowler 寄来的论文与星期日的散步

1925 年，导师 Ralph Fowler 把 Heisenberg 关于量子力学的新论文交给 Dirac 阅读。Dirac 关注其中物理量相乘时次序不能交换的性质，并尝试把它与自己熟悉的经典力学联系起来。

据 Dirac 本人回忆，1925 年 10 月的一次星期日散步中，他想到对易子与 Poisson 括号的相似性。他记不清后者的精确定义，回家翻笔记也没有找到；当晚图书馆已经关闭。次日开馆后，他查阅 Whittaker 的《解析动力学》，确认了所需的数学关系。

这一联系进入他 1925 年的量子力学论文。此后的变换理论继续把不同表象下的计算放入共同框架。

从工程学位到 Florida 的研究室

Dirac 在 Bristol 先后完成工程和数学学位，随后才进入 Cambridge 的理论研究。这些是三个不同的学习阶段，并不是大学一开始就攻读理论物理。

1927 年，Dirac 在变换理论中将 $\delta$ 函数引入量子力学，随后通过 1930 年的《量子力学原理》推广。这个工具也与他的工程背景有关：据 Graham Farmelo 引录的 1963 年访谈，Dirac 回忆，工程结构中既有分布载荷，也有集中在一点的载荷；尝试用统一的数学形式处理两者，是他引入 $\delta$ 函数的一条思路。

Florida State University 的档案保存了他早年的笔记、往来书信、讲课与研究材料。晚年的他继续与同事交流并指导研究生；FSU 将 1970 年的访问与 1972 年的正式聘任分别记录。

本次课计算态密度时，先在动量空间统计允许的状态，再用能量与动量的关系换算。三维非相对论自由粒子以动能 $\epsilon$ 为变量时，$g(\epsilon)\propto\sqrt{\epsilon}$；超相对论极限以能量 $E$ 为变量时，$g(E)\propto E^2$。这是相对论能谱与量子气体课程的直接联系，Fermi–Dirac 占据规律还将在后续课程使用。

人物故事：Feynman 在聚会上听到的一篇论文

Feynman 在 1965 年诺贝尔演讲中回忆，他在 Princeton 的一次啤酒聚会上向 Herbert Jehle 提起，自己想用作用量来建立量子力学。Jehle 次日带他到图书馆，找出 Dirac 关于量子力学中拉格朗日量的论文。Dirac 将量子演化的核与经典作用量联系起来，但使用的是“类似”这样的表述。

Feynman 试着把这层联系写成带适当归一化因子的短时间传播关系，展开计算后得到了 Schrödinger 方程。这成为他后来发展路径积分的重要线索。Feynman 在这次计算之后，继续研究了把各条路径的贡献合在一起的方法。

人物故事：“我有一个方程，你也有吗？”

A. Zee 在《Quantum Field Theory in a Nutshell》第 II.1 章末记述了一则 Feynman 讲过的故事：他与 Dirac 在一次会议上初次见面，长时间沉默之后，Dirac 问道：

“I have an equation; do you have one too?”

“我有一个方程，你也有吗？”

这段对话由 Zee 转述，所引版本见书中第 105 页；书中未交代具体会议的日期与地点。

人物故事：黄石公园也有一张时刻表

1929 年赴日本讲学前，Dirac 与 Heisenberg 约好在美国 Yellowstone National Park 的 Old Faithful 间歇泉附近会合。Heisenberg 后来在 Dirac 七十岁生日庆祝活动中回忆，他本来只是提议去看看间歇泉喷发；见面后却发现，Dirac 已经把沿途可到达的间歇泉、预计喷发时间以及景点间的距离整理成了一张表。两人按他选好的步行路线走，赶上了好几处喷发。这段回忆由物理学史家 Helmut Rechenberg 引录。

人物故事：拒绝诺贝尔奖，会不会更出名？

1933 年获奖时，Dirac 曾因不喜欢公众关注而考虑不接受诺贝尔奖。Carlo Rubbia 在纪念文中记载，Ernest Rutherford 提醒他：如果拒绝，反而会引来更多关注。Dirac 最后接受了奖项，并赴 Stockholm 领奖。

人物故事：花了几年，才准备好的芦笋菜床

女儿 Monica Dirac 在 2002 年 ABC 广播访谈中回忆，父亲喜欢园艺，曾决定扩大自家的芦笋种植。他亲自挖了一条很长的沟，除去下面的黏土，再陆续填入厨余、树叶、小树枝等有机材料；与此同时，还自己从种子培育芦笋苗。准备这块新菜床，前后花了好几年。

晚年与影响

1984 年在 Tallahassee 去世。量子气体课程中的 Fermi–Dirac 分布，与现代场论中的粒子和反粒子，都是其理论遗产的重要组成部分。

资料与进一步阅读

“dirac”单位的玩笑：Graham Farmelo，The Strangest Man（2009），第 89 页。
delta 函数与工程背景：Graham Farmelo，Paul Dirac, a man apart，Physics Today 62(11)，46–50（2009），第 48 页引录 Dirac 的 1963 年访谈。
1927 年变换理论论文：P. A. M. Dirac，The Physical Interpretation of the Quantum Dynamics。
与 Feynman 初见的方程轶事：A. Zee，Quantum Field Theory in a Nutshell，第 II.1 章末“Two stories”，第 105 页。
讲课轶事中的 question 与 comment：Graham Farmelo 在 ABC《The Science Show》（2002 年 12 月 7 日）中的转述。
杨振宁对 Dirac 文风及理论的评价：杨振宁，《美与物理学》，1997 年演讲讲稿，清华校友网重刊本，第 71–72 页。
杨振宁本人谈科学论文的风格：2013 年科学与文学对话实录，清华大学转载《光明日报》。
黄石旅行与 Heisenberg 的回忆：Helmut Rechenberg，Dirac and Heisenberg: Congenial Partners in Quantum Mechanics，第 11–12 页，注 21。
诺贝尔奖与 Rutherford 的劝告：Carlo Rubbia，Paul Adrien Maurice Dirac 纪念文。
菜园中的父亲：ABC，The Science Show（2002 年 12 月 7 日），Monica Dirac 访谈。
Dirac 方程与符号：Richard Fitzpatrick，Relativistic Electron Theory。
Feynman，1965 年诺贝尔演讲。
工程与数学学位：Bristol 大学校史介绍。
散步与查书的本人回忆：Dirac 回忆节录，载 Cambridge 经典力学讲义。
晚年访问与正式聘任：Florida State University 档案馆，Dirac at FSU。
人物生平：诺贝尔奖，Dirac 生平。
量子理论与粒子统计：Dirac 1926，量子力学与统计。
相对论电子与反物质：Dirac 诺贝尔演讲，电子与正电子。
现代统计物理背景：David Tong，Statistical Physics。
辐射场的量子理论：Dirac，The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation（1927）。

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11 · 10 月 28 日（周三） · Max Karl Ernst Ludwig Planck

从黑体辐射到量子假说

课程内容：光子气、黑体辐射与 Planck 分布；Wien 位移律和 Stefan–Boltzmann 定律；光子气热力学与宇宙微波背景

课堂共看

黑体辐射的低频、高频和总能量，能否由同一条谱公式描述？

1900 年的新测量迫使 Planck 放弃原先支持的 Wien 公式：10 月先提出新的辐射公式，12 月再用能量分份的计数解释它。他支持 Einstein 的学术工作，却长期不接受把光本身看成量子的解释；两人也经常合奏室内乐。

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人物简介

Max Karl Ernst Ludwig Planck（1858–1947）

德国理论物理学家，长期研究热力学与热辐射。1918 年诺贝尔物理学奖表彰他发现能量量子、推动物理学发展的工作。

早年与求学

1858 年出生于 Kiel，在 Munich 和 Berlin 学习，1879 年在 Munich 获博士学位，1880 年取得大学授课资格。他的早期研究主题是热力学第二定律。

学术生涯

1880–1885 年在 Munich 任私人讲师，1885 年到 Kiel 任副教授。1889 年到 Berlin 接替 Gustav Kirchhoff 的教席，1892 年升为正教授，1926 年退休。他于 1897 年出版《热力学讲义》，并长期从事大学教学。

1930–1937 年任 Kaiser Wilhelm Society（威廉皇帝学会）主席。以他命名的 Max Planck Society（马克斯·普朗克学会，简称“马普学会”）于 1948 年成立，承接了 Kaiser Wilhelm Society 的科研机构传统。学会下设多个 Max Planck Institutes（马克斯·普朗克研究所，常简称“马普所”），开展自然科学、生命科学及人文社会科学等领域的基础研究。因此，“马普所”是这一研究所群体中各研究所的简称，马普学会则是它们所属的科研组织。

主要学术贡献

1. 从黑体谱到量子假说（1900）
黑体辐射有普适谱形，但经典理论无法同时解释低频和高频。Planck 的公式在低频趋近经典结果，在高频受到指数抑制，使总辐射能量保持有限。

$u_\nu(T)=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu/(k_{\mathrm B}T)}-1}$
$u_\nu(T)\,d\nu$ 是单位体积中、频率在 $\nu$ 到 $\nu+d\nu$ 之间的辐射能量。$h$ 为 Planck 常数，$k_{\mathrm B}$ 为 Boltzmann 常数，$c$ 为光速，$T$ 为绝对温度。这里的谱能量密度与黑体表面单位面积的辐射功率是不同的量。

能量元与统计计数
Planck 研究的是与腔内辐射交换能量的物质振子。在 1900 年 12 月的推导中，他把振子的总能量分成有限大小的能量元，再计算这些能量元分配给各振子的方式数，由此求熵。能量元的大小随振动频率变化。

$\varepsilon=h\nu$
$\varepsilon$ 是能量元，$\nu$ 是频率。Einstein 于 1905 年进一步提出光量子假说。

连接微观常数与热辐射
对所有频率积分得到辐射总能量密度 $u(T)$。平衡腔内的辐射各向同性，对应黑体表面向外的辐射功率密度 $j(T)$ 为
$u(T)=\int_0^\infty u_\nu(T)\,d\nu=aT^4,\qquad j(T)=\frac{c}{4}u(T)=\sigma T^4$
$a$ 是辐射常数，$\sigma=ac/4$ 是 Stefan–Boltzmann 常数。频率谱的峰值满足 $\nu_{\max}\propto T$；改用单位波长间隔的谱时，峰值满足 Wien 位移律 $\lambda_{\max}T=\mathrm{const}$。两种谱的定义不同，峰值不能直接用 $\nu=c/\lambda$ 相互换算。
2. 从实物基准到固定常数：现代国际单位制

Planck 常数不只出现在量子理论中，如今也参与定义我们每天使用的单位。过去，千克由保存在法国的铂铱合金国际千克原器定义，开尔文则由水的三相点温度定义。2018 年，国际计量大会通过改革，2019 年 5 月 20 日正式生效：固定 Planck 常数 $h$ 和 Boltzmann 常数 $k_{\mathrm B}$ 等常数的数值，重新定义千克、开尔文等单位。米更早已在 1983 年用固定光速来定义。

现代 SI 总共采用七个定义常数。这里关注的 $c$、$h$、$k_{\mathrm B}$，分别把长度与时间、质量与时空单位、温度与能量联系起来。下面的数值都是定义规定的精确值，不是带测量误差的近似结果。

先有秒，再由光速定义米

秒以铯-133 原子未受扰动的基态超精细跃迁频率为基准：该频率的数值精确规定为 $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$。有了秒，再固定真空光速：

$c=299\,792\,458\;\mathrm{m\,s^{-1}}$

于是，一米就是真空中的光在 $1/299\,792\,458$ 秒内走过的距离。1983 年后，测量光的传播时间可以实现长度测量；光速在 SI 中的数值已由定义固定。

2019 年：用 Planck 常数定义千克

$h=6.626\,070\,15\times10^{-34}\;\mathrm{J\,s}$

因为 $\mathrm{J\,s}=\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$，米和秒已经确定后，固定 $h$ 的这个数值就确定了千克的大小。原先的做法是“先规定一件金属原器的质量为一千克，再测量 $h$”；改革后反过来，先固定 $h$，再用实验实现千克。国际千克原器仍可作为实物标准使用，但它的质量需要测量，不再按定义恰好等于一千克。

怎样把微小的 $h$ 与一千克物体联系起来？

一种方法是 Kibble 天平。它分两种工作模式：先用线圈的电磁力平衡物体重力，再让线圈在磁场中运动，测量感应电压。在理想化的相同线圈与磁场条件下，两次测量满足

$\begin{aligned}mg&=(BL)I,\\ U&=(BL)v,\\ mgv&=UI.\end{aligned}$

这里 $m$ 是质量，$g$ 是当地重力加速度，$B L$ 表示磁场与有效导线长度的组合，$I$ 是电流，$U$ 是感应电压，$v$ 是线圈速度。两种模式的结果合起来消去难以精确测定的 $BL$；电压和电阻再通过 Josephson 效应与量子 Hall 效应联系到 $h$ 和元电荷 $e$。这就能从固定常数和实验测量确定质量。上式是两次测量组合得到的关系，并不表示天平同时进行这两种运动。

2019 年：用 Boltzmann 常数定义开尔文

$k_{\mathrm B}=1.380\,649\times10^{-23}\;\mathrm{J\,K^{-1}}$

Boltzmann 常数把温度与微观热运动的能量尺度联系起来。固定它的数值后，一开尔文对应的 $k_{\mathrm B}T$ 能量尺度就是精确的 $1.380\,649\times10^{-23}\,\mathrm J$。焦耳已由千克、米和秒确定，因此这也确定了开尔文。$k_{\mathrm B}T$ 是热能尺度，不等于所有系统中每个粒子的总能量；例如经典单原子理想气体每个粒子的平均平动动能为 $3k_{\mathrm B}T/2$。

改革时选用的常数值与旧单位的最佳测量结果相衔接，日常使用的一米、一千克、一开尔文没有发生可察觉的跳变。改变的是定义的依据：从特定物体或特定物质状态，转向普适常数。定义常数的数值没有不确定度，但实验室实际实现和传递单位仍有测量不确定度。这是现代计量学共同完成的改革，并非 Planck 本人制定的 SI 定义。
3. 以熵为出发点：热力学与不可逆过程
Planck 长期研究热力学第二定律、熵与不可逆过程，并通过系统论述推广热力学方法。正是试图给热辐射找到普遍的熵关系，使他进入经典理论无法充分解释的问题。

人物故事：先有谱公式，再追问它的统计解释

1900 年，Heinrich Rubens 和 Ferdinand Kurlbaum 的长波辐射测量，使 Wien 公式的偏差更加清楚。Planck 与实验物理学家的交流，推动他重新研究辐射谱的形式。

据后来对这段经历的记述，1900 年 10 月 7 日，Rubens 夫妇到 Planck 家作客，谈起最新的长波辐射测量。Planck 当晚找到新的谱公式，写在明信片上寄给 Rubens；Rubens 次日早晨收到，一两天后再来告诉他，新公式与测量结果吻合。这段经过见 Georg Hettner 1922 年的回顾，Max Planck 科学史研究所的历史研究作了转引。明信片中给出的是谱公式；把它与能量元、熵和统计计数联系起来的推导，是接下来继续完成的工作。

1900 年 10 月 19 日，他在德国物理学会报告新的辐射公式；12 月 14 日再报告统计推导。两个日期对应不同步骤：先找到符合实验的关系，再解释这个关系怎样来自能量分配与熵。

在统计计数中，他使用随频率变化的能量元 $\varepsilon=h\nu$。这一工作并不等同于后来完整的光子气体理论；Einstein 的光量子假说和 Bose 的光子计数还会继续改变对辐射的理解。

他此前曾希望不用 Boltzmann 的概率方法来解释热辐射，最后却转向了统计计数。这个转变是 1900 年工作的一部分；量子假说的物理含义在此后多年里仍有争论。

人物故事：支持 Einstein，也不同意他的光量子

1913 年，Planck 参与推荐 Einstein 当选普鲁士科学院院士。推荐意见肯定 Einstein 的研究，同时仍把光量子假说列为他可能走得过远的例子。Planck 对狭义相对论的支持，并不意味着他当时也接受 Einstein 对光的量子解释。这份推荐意见由 Max Planck Society 档案资料引录。

人物故事：获得以自己名字命名的奖章

1929 年，在 Planck 博士毕业五十周年之际，德国物理学会首次颁发 Max Planck Medal（Max Planck 奖章）。首届获奖者有两位：Planck 本人和 Albert Einstein。此奖章表彰理论物理方面的杰出工作。

人物故事：家中的钢琴与战争中的家庭

Planck 家经常举行室内乐聚会，他本人弹钢琴，参加者包括 Albert Einstein 等同事与音乐家。Max Planck Society 的记录还提到，儿子 Erwin 演奏大提琴，曾与父亲和 Einstein 一起演奏。

他的家庭经历了多次丧失：第一任妻子 Marie 于 1909 年去世，大儿子死于第一次世界大战，两位双胞胎女儿分别在 1917、1919 年分娩后去世。小儿子因参与反纳粹抵抗相关活动，于 1945 年 1 月被处决。

1944 年，Berlin 的家在轰炸中被毁。Planck 于 1947 年在 Göttingen 去世。

人物故事：花园里的追逐游戏

Lise Meitner 回忆，高年级学生经常受邀到 Planck 在 Wangenheimstraße 的家中聚会。大家会在花园里玩追逐游戏，Planck 也参加。他玩得十分投入，动作敏捷，Meitner 说，想不被他抓住几乎不可能。这段回忆由英国物理学会的课堂故事资料转引。

人物故事：钢琴之外，他还喜欢登山

Planck 从 1878 年起就是德奥登山协会的会员。周末，他常到 Berlin 周边散步；假期则与家人或科学家朋友到阿尔卑斯山区徒步。他登过 Zugspitze，也走过 Dachstein、Allgäu、Lechtal 和 Dolomites 等山区，直到晚年仍保留这个爱好。马普学会保存了他 1942 年在 Defereggen 山谷的照片，当时他已八十多岁。

人物故事：两张照片与“学物理前后”的玩笑

这组对比照在网上常被配成“学物理前／学物理后”或“量子理论对一个人做了什么”。左边的 Planck 头发整齐、戴单片眼镜，右边则头发凌乱、留着胡子；两种形象的反差成了流传很广的物理学梗图。Max Planck Society 的官方账号也分享过这组照片。

Planck 对比梗图：左图标注 1878 年，右图标注 1901 年，下方写有 Physics Not even once — 网络梗图：“学物理前后”。图中标注为 1878 年与 1901 年，相隔 23 年。

人物故事：选专业时听到的劝告

Planck 在 1924 年的演讲中回忆，求学时曾向 Munich 教授 Philipp von Jolly 询问物理学的前景。Jolly 把它描述为一门高度成熟、接近完成的科学，认为能量守恒的发现已使整体体系相当稳固。这里依据 Planck 本人的事后回忆转述，不把它写成当年谈话的逐字记录。

Planck 跟随 Jolly 学习物理，后来又到 Berlin 听 Helmholtz 和 Kirchhoff 授课，并自学 Clausius 的热力学论文。1879 年的博士论文与 1880 年的授课资格论文都围绕热力学展开。

晚年与影响

1947 年去世。以其命名的 Max Planck Society 于 1948 年成立；Planck 常数则成为量子物理与现代计量体系中的基本常数。

资料与进一步阅读

明信片上的谱公式：Dieter Hoffmann，黑体辐射实验背景的历史研究，第 66 页，转引 Hettner（1922）。
首届 Max Planck 奖章：德国物理学会，1929 年获奖者：Einstein 与 Planck。
花园追逐游戏：英国物理学会，Planck：转引 Meitner 回忆。
登山与晚年照片：Max Planck Society，Max Planck’s private life。
七个定义常数及其精确值：BIPM，SI defining constants。
现代 SI 基本单位的定义：NIST，Definitions of SI Base Units；NIST，SI 定义的历史年表。
2019 年改革与千克的实验实现：NIST，SI Redefinition；NIST，The Kibble Balance。
1900 年的实验背景与转向 Boltzmann 计数：Max Planck Society，Was entdeckte Max Planck?。
Jolly 的劝告及其回忆出处：James D. Wells，引录 Planck 1924 年演讲的德文与英译，末页。
任教年份与学术任职：Max Planck Society，Planck 生平年表。
1900 年报告与历史记录：Max Planck Society 档案资料。
音乐、家庭与战争：Max Planck Society，Der Privatmensch Max Planck。
Erwin 与父亲和 Einstein 的音乐活动：Harnack House 的 Erwin Planck 条目。
人物生平：诺贝尔奖，Planck 生平。
量子假说与热辐射：Planck 诺贝尔演讲。
音乐、家庭与战争经历：Max Planck Society，私人生活与家庭。
现代统计物理背景：David Tong，Statistical Physics。

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13 · 11 月 4 日（周三） · Albert Einstein

时空、光量子与原子世界

课程内容：双原子气体的量子理论：转动、振动能级与自由度冻结；热容随温度的变化；前半学期小结

课堂共看

量子能级的间隔怎样使振动自由度在低温冻结？

由量子能级理解热激发与热容，联系当天分子自由度冻结的计算。
从光量子、布朗运动与 Bose 统计，走向相对论及对量子描述的追问。
通过朋友的笔记、Bose 的来信、小提琴与冰箱专利，认识研究之外的生活。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Albert Einstein（1879–1955）

Albert Einstein（1879 年 3 月 14 日—1955 年 4 月 18 日）是德国出生的理论物理学家，研究相对论、光量子、布朗运动和量子统计。1921 年诺贝尔物理学奖表彰他对理论物理的贡献，特别是发现光电效应定律；这一年度的奖于 1922 年公布和授予。

早年与求学

他出生于 Ulm（乌尔姆），1896–1900 年在 Zürich 联邦理工学校（今 ETH Zürich）学习。毕业后做过临时教学和家教工作，1902 年进入 Bern 的瑞士专利局，任技术审查员；1905 年获 Zürich 大学博士学位，并发表光量子、布朗运动和狭义相对论论文。

学术生涯

1909–1911 年在 Zürich 大学任副教授，1911–1912 年到 Prague 的德语大学任理论物理教授，1912–1914 年回到 ETH Zürich 任教授。这几次职位属于不同大学。

1914 年到 Berlin，任普鲁士科学院院士和大学教授，获免除固定教学任务的研究条件；1915 年完成广义相对论的最终场方程。1933 年纳粹上台后不再返回德国，同年到 Princeton 的 Institute for Advanced Study（高等研究院）任职，长期研究，1955 年在当地去世。高等研究院与 Princeton University 是不同机构。

主要学术贡献：从光量子、分子运动到时空

Einstein 的工作横跨统计物理、量子理论与相对论。这里先沿本课程的主线介绍光、分子运动、热容与量子统计，再讨论时空、引力及量子描述的完备性。各项成果按物理主题分组，并在组内注明各自的年代、模型与条件。

1. 光量子与光电效应（1905）

Einstein 在 1905 年提出，光在某些过程中可看作局域化的能量元，每份能量与频率成正比。用这一假说解释光电效应时，电子获得的最大动能由光的频率与材料逸出功决定，而不是随光强任意增加。
$\begin{gathered}E_\gamma=h\nu,\\K_{\max}=h\nu-W.\end{gathered}$
$E_\gamma$ 是单个光量子的能量，$h$ 为 Planck 常数，$\nu$ 为光的频率，$W$ 为材料逸出功。在通常的单光子光电效应条件下，阈频为 $\nu_0=W/h$；超过阈频后，增大频率提高最大动能，固定频率下增大光强主要增加发射电子的数目。Planck 在 1900 年引入振子能量元；Einstein 在 1905 年进一步把局域化能量量子用于光的产生、传播与吸收。这两步在历史和概念上应分清。
2. 布朗运动、分子尺寸与密度涨落

让分子运动可以测量：布朗运动（1905）
悬浮微粒受到周围分子的随机碰撞，产生不规则运动。Einstein 将扩散、迁移率和温度联系起来，使显微镜下的位移统计成为估计分子尺度常数的方法。

$\begin{gathered}\langle[x(t)-x(0)]^2\rangle=2Dt,\\D=\mu k_{\mathrm B}T.\end{gathered}$
这是单个空间方向、无净漂移的长时间扩散关系；$D$ 为扩散系数，$\mu$ 是速度对微弱外力的迁移率，即 $v_{\rm drift}=\mu F$。三维各向同性扩散的总均方位移为 $6Dt$。位移均值可以为零，均方位移却不断增长。

对于半径 $a$ 的球形粒子，在黏度为 $\eta_0$ 的不可压缩 Newton 流体中，低 Reynolds 数、无滑移边界与远离容器壁的 Stokes 阻力为 $6\pi\eta_0a\,v$。因此

$D=\frac{k_{\mathrm B}T}{6\pi\eta_0a}$
这个关系把显微镜下的随机位移，同温度、黏度和粒子大小联系起来。Einstein 建立的是定量理论；布朗运动本身早在他之前就已有观察，后来的 Perrin 等实验进一步检验了分子运动的统计解释。

从扩散与黏度测量分子尺寸（1905–1906；1911 年修正）

在博士论文及相关工作中，他把溶液的扩散和黏度联系起来，估计分子大小及 Avogadro 常数。对于稀、刚性球形粒子悬浮于不可压缩 Newton 流体的模型，黏度在低浓度下满足

$\eta=\eta_0\left(1+\frac52\phi\right)$

$\eta_0$ 是纯溶剂黏度，$\eta$ 是悬浮液黏度，$\phi$ 是粒子的体积分数；上式保留关于 $\phi$ 的一阶项，系数采用 1911 年修正后的结果。它把看不见的微观尺寸与可测量的流动性质联系起来，适用条件包括低浓度、低 Reynolds 数及粒子表面的无滑移边界。

临界乳光：密度涨落使流体散射光（1910）

接近气液临界点时，流体会变得浑浊、强烈散射光。Einstein 将这一现象与密度涨落联系起来：密度改变折射率，空间中不均匀的折射率便散射入射光；临界附近压缩率增大，密度涨落也随之增强。他的理论连接了热力学响应、微观涨落与光散射，是临界现象研究中的重要早期工作。
3. Einstein 固体与自由度冻结（1907）

在谐振动的经典近似中，每个振动方向的动能与势能都参与能量均分，三维晶体的定容热容因而近似为常数。Einstein 把振动能量量子化，并用相同频率的独立振子近似晶体，解释了低温热激发受到抑制、热容随之下降。

$C_V=3Nk_{\mathrm B}\frac{x^2e^x}{(e^x-1)^2}$
$x=\hbar\omega_E/(k_{\mathrm B}T)$，$\omega_E$ 是振子的角频率，$N$ 是原子数。高温时 $C_V\to3Nk_{\mathrm B}$；低温时单频模型的热容按指数下降，不能给出三维晶体的 $T^3$ 律；Debye 模型通过纳入低频声学模改进了这一点：不同简正模在谐近似下仍然独立，关键变化是频谱，不是取消了模的独立性。
4. Bose 的来信与物质气体的凝聚（1924–1925）

Einstein 将 Bose 对光的计数方法推广到有粒子数约束的理想物质气体。以三维、均匀、无相互作用、单一内部态的非相对论 Bose 气体为例，取单粒子基态能量为零。平均占据数为

$\bar n(\varepsilon)=\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/(k_{\mathrm B}T)}-1}$
$\mu$ 是化学势，满足 $\mu\le0$。有限体系在正温度下使用这一 Bose 占据公式时，化学势必须严格低于基态能量；这里允许等号，是指凝聚相的热力学极限中从负值趋近零，而基态占据需要单独计入。在固定密度 $n=N/V$ 的热力学极限中，$\mu\to0$ 时，激发态在给定温度下最多容纳

$\begin{gathered}N_{\rm ex}^{\max}=\frac{V}{\lambda_T^3}\zeta(3/2),\\\lambda_T=\frac{h}{\sqrt{2\pi mk_{\mathrm B}T}},\\\zeta(3/2)\simeq2.612.\end{gathered}$
$V$ 为体积，$m$ 为粒子质量，$\lambda_T$ 为热德布罗意波长，$\zeta$ 为 Riemann zeta 函数。若总粒子数超过激发态容量，剩余粒子便宏观占据最低态：

$\begin{gathered}\frac{N_0}{N}=1-\left(\frac{T}{T_c}\right)^{3/2},\\0\le T<T_c,\\T_c=\frac{2\pi\hbar^2}{mk_{\mathrm B}}\\\times\left[\frac{n}{\zeta(3/2)}\right]^{2/3}.\end{gathered}$
$N_0$ 为基态粒子数。这一结果有明确的模型和维度条件；均匀一维、二维理想气体在有限温度的热力学极限中没有同样的凝聚转变，外部束缚和相互作用也会改变结论。1995 年稀薄原子气体实验实现了凝聚，但实验使用陷阱和真实原子，不能把上面的均匀理想气体公式当作完整实验模型。
5. 辐射涨落、受激辐射与角动量

从辐射涨落看光的波动与粒子特征（1909）

Einstein 研究黑体辐射能量涨落时发现，Planck 定律给出的涨落包含两种贡献：一种具有独立能量量子计数的形式，另一种具有波的干涉涨落的形式。只有单纯的经典波图像或简单的独立粒子图像，都不足以概括这个结果。这是后来波粒二象性的重要先声，但还不是完整的量子电磁场理论。

可用现代模计数写得更清楚：在三维空腔的窄频带 $\Delta\nu$ 内，设有 $M$ 个近似同频的独立电磁模，平均热辐射能量为 $\bar E$，这里不计温度无关的零点能。处于温度 $T$ 的热平衡时，

$\begin{gathered}\left\langle(\Delta E)^2\right\rangle=h\nu\bar E+\frac{\bar E^2}{M},\\M\simeq\frac{8\pi V\nu^2\Delta\nu}{c^3}.\end{gathered}$
$V$ 是腔体积，$M$ 包括两种偏振；这里使用大空腔的连续模近似。第一项正比于平均能量，呈现量子计数的特征；第二项为经典波的干涉涨落项。由每模的 Bose 热占据方差 $\mathrm{Var}(n)=\bar n(1+\bar n)$ 可得到同一结果。这是说明原理的现代记号，不是原论文记号的照录。

吸收、自发辐射与受激辐射（1916–1917）

Einstein 把物质与辐射的交换分成三种过程：低能态吸收光而跃迁到高能态；高能态自发释放光；外来辐射还可以诱发高能态向低能态跃迁，即受激辐射。以两个能级为例，每个原子的跃迁率可写成

$\begin{aligned}R_{\rm abs}&=B_{12}\rho_\nu,\\R_{\rm sp}&=A_{21},\\R_{\rm st}&=B_{21}\rho_\nu.\end{aligned}$

这里 $\rho_\nu$ 是跃迁频率处、每单位体积及每单位普通频率 $\nu$ 的辐射能量密度，$A_{21}$、$B_{12}$、$B_{21}$ 是相应的 Einstein 系数。将两个能级的热平衡占据与总跃迁率平衡结合，设能级简并度为 $g_1,g_2$、能隙为 $h\nu$，得到

$\begin{gathered}g_1B_{12}=g_2B_{21},\\\frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}.\end{gathered}$
这一约定下，按单位角频率定义能量密度时必须相应改变系数。把这些关系代回平衡条件，就恢复 Planck 辐射定律。在动量平衡的分析中，光量子还携带大小为 $p=h\nu/c$ 的定向动量。受激辐射后来成为激光和微波激射器的基础；Einstein 提出的是基本过程，并未亲自发明激光器。

磁化为什么会使物体转动：Einstein–de Haas 效应（1915）

Einstein 与 Wander de Haas 改变悬挂铁磁体的磁化，观察到物体发生机械转动，展示磁性与角动量之间的联系。按现代认识，磁化改变伴随微观角动量变化，样品与外界的角动量交换决定可观察的转动。这不是当时就发现了电子自旋；早期使用轨道电流解释，实验数值与后来的解释也经历了修正。
6. 狭义相对论：同时性与质能关系（1905）

Einstein 从相对性原理与真空光速不变出发，重新分析同时性、时间和长度的测量。时间与空间不再各自具有绝对的测量值，但不同惯性系的物理规律保持相同形式。质量与能量的联系由此成为现代物理的基本原则。
$E_0=mc^2$
$E_0$ 是静止能量，$m$ 是不变质量，$c$ 是真空光速。运动粒子的总能量还包含动量的贡献：

$E^2=p^2c^2+m^2c^4$
$p$ 是动量大小。对于有质量粒子，在静止系 $p=0$ 时回到 $E_0=mc^2$；光子没有静止系，满足 $E=pc$。这里采用不随速度变化的不变质量，不把运动带来的能量变化称为“质量变大”。

同时性的改变可由 Lorentz 变换看出。设两个惯性系的相对运动沿 $x$ 方向，速度为 $v$，并令坐标原点在 $t=t'=0$ 重合：

$\begin{gathered}t^{\prime}=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^2}\right),\\x^{\prime}=\gamma(x-vt),\\\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.\end{gathered}$
横向坐标不变，即 $y'=y$、$z'=z$。在一个系里同时、但发生在不同位置的两个事件，一般不会在另一个系里同时。相对性涉及测量关系，并不意味着物理判断可以任意选择。
7. 广义相对论：引力与时空几何（1915）

等效原理把自由落体与局部惯性运动联系起来。Einstein 进一步让时空几何成为动力学对象：能量和动量影响曲率；忽略自身引力、尺寸效应及其他外力的自由试验物体沿测地线运动。以下讨论采用 3+1 维时空、度规号差 $(-+++)$ 的现代记号，写出不含宇宙学常数的场方程：
$R_{\mu\nu}-\frac12 Rg_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}.$
左侧由度规 $g_{\mu\nu}$ 及其曲率组成，右侧的 $T_{\mu\nu}$ 描述能量、动量与应力，$G$ 为引力常数。理论解释水星近日点进动，并预言光线偏折、引力红移和引力波，也为现代宇宙学提供基本框架。
8. 宇宙学、引力波、透镜与物体运动

把引力理论用于整个宇宙：相对论宇宙学（1917）

Einstein 把广义相对论应用于整体宇宙，构造均匀、静态、空间正曲率的模型。为获得静态解，他在场方程中引入宇宙学常数 $\Lambda$。这里用 Einstein 张量 $G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-Rg_{\mu\nu}/2$ 简写：

$\begin{gathered}G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}\\=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}.\end{gathered}$

$\Lambda$ 的量纲为长度的负二次方，式中的 $G$ 仍是 Newton 引力常数。1931 年他转向膨胀宇宙模型；1932 年与 Willem de Sitter 提出空间平直、物质主导、宇宙学常数为零的模型。不能把宇宙膨胀的最初发现归给 Einstein；他的静态模型与后来接受膨胀的过程，应分别叙述。

时空的波动与光的偏折：引力波、引力透镜

引力波（1916、1918）：完成场方程后，Einstein 研究弱引力场扰动的传播与辐射能量损失。1916 年论文存在错误，1918 年修正了其中重要问题，发展了后来引力辐射理论所用的四极矩计算。历史上的系数与物理解释仍经过后续修正，不能把早期论文说成一次完成了现代精确理论。

引力透镜（1936）：引力使光线偏折，前景恒星可以使背景光源出现放大、多重像，理想对准时形成环状像。Einstein 在 1912 年笔记中已经计算过相关性质，1936 年在 Rudi Mandl 的推动下发表恒星透镜论文。他当时认为这种效应很难实际观测；后来的天文学使引力透镜成为研究恒星、星系及质量分布的工具。

从引力场方程研究物体怎样运动（1938）

Einstein 与 Leopold Infeld、Banesh Hoffmann 研究相互作用引力源的运动，得到 Einstein–Infeld–Hoffmann 方程。在弱场、低速的近似下，它们包含 Newton 运动之外的首阶相对论修正。这项工作的一个核心目标，是让物体运动从引力场方程的一致性中导出，而不只在给定背景中另外规定一个试验粒子沿测地线运动。
9. 量子描述的完备性与统一场论

追问量子描述是否完备：EPR 论证（1935）
Einstein 与 Boris Podolsky、Nathan Rosen 考察两个具有理想化位置、动量关联的系统。测量其中一个的位置，可以推断另一个的位置；若改测前者的动量，又可以推断后者的动量。他们把这件事与“远处的测量不应改变另一系统的物理实在”这一要求结合，质疑波函数是否已给出完备描述。这里比较的是可选择的不同实验，不能说同一次实验已同时测出了两个不对易量。

EPR 的结论依赖其物理实在判据与局域性要求；它不是量子力学已被推翻的证明。后来 Bell 不等式及相关实验进一步限制了满足相应假设的局域隐变量解释。量子关联也不能直接用来超光速发送可控制的信息。Einstein 对量子理论的贡献，与他对其完备性的保留意见，贯穿同一段研究生涯。

晚年的统一场论：试图把引力与电磁场放进同一理论

从 1920 年代到 1955 年去世，统一场论逐渐成为 Einstein 的主要研究方向之一。广义相对论把引力写成时空几何；他希望进一步找到更广的几何结构，使电磁场与引力来自同一组基本方程，并尝试把粒子理解为场的结构，而不是另外放入的点状对象。

他探索过五维理论、远距平行几何以及非对称场等不同路线；到 Princeton 后仍与 Peter Bergmann 等合作者继续研究。这是一个长期更换具体方案的研究计划，不是一条已经完成的“统一方程”。它也不等同于今天将强、弱、电磁和引力相互作用全部纳入的理论。

这些尝试没有形成获得实验支持、成功统一引力与电磁相互作用的理论，也没有取代量子力学。它们应作为理解 Einstein 晚年学术生涯的重要部分，与狭义相对论、广义相对论和光量子等已确立的成果区分开来；他在这一时期也仍发表了 EPR、引力透镜及物体运动等重要工作。

1995 年稀薄铷原子气体的凝聚图像NIST / JILA / CU-Boulder · 实验说明

凝聚图从左到右对应逐渐降低的温度；关掉束缚、让原子云膨胀后成像，分布中心出现尖峰。它反映飞行时间成像得到的原子分布，并非直接拍到单个原子的波函数。热容图则分别按两个模型各自的特征温度缩放。

提出光量子的人，为什么研究金刚石热容？

1907 年，Einstein 研究了固体热容偏离经典理论预言的问题。如果晶体中每个原子都能在三个方向振动，经典能均分会给出近似恒定的高温热容。但实际材料，尤其在低温下，并不始终遵守这一结果。

他把原子的振动近似成同频率的量子谐振子。温度降低后，较高能级的热占据受到抑制，热容随之下降。这项工作将能量量子化用于解释固体的热性质。

对于频率为 $\omega$ 的一个量子谐振子，第一激发态与基态的平衡占据概率之比为

\frac{P_1}{P_0}=\exp\!\left(-\frac{\hbar\omega}{k_{\mathrm B}T}\right)

$P_0$、$P_1$ 分别为基态和第一激发态的概率。若 $k_{\mathrm B}T\ll\hbar\omega$，热激发受到抑制，热容很小；“冻结”并不意味着原子完全静止，零点运动仍然存在。当天双原子分子的振动也用这一占据规律计算，但转动能级有不同结构，不能直接套用固体的 $3N$ 个同频振子模型。

Einstein 模型将振动频谱简化为单一频率，没有得到三维晶体低温声子热容的三次方规律。后来考虑集体振动及低频声学模式的 Debye 模型改进了这一点。

读到一封来自 Dhaka 的信

1924 年 6 月 4 日，Bose 从 Dhaka 寄出辐射统计论文，请 Einstein 判断是否值得发表，并说明自己的德语不足以完成翻译。7 月 2 日，Einstein 在明信片中回复：已经译成德文并送交《Zeitschrift für Physik》，认为这是重要进展。Bose 档案保存了这封信和回信的影像。

这封回信也保留了学术讨论的具体细节：Einstein 在肯定进展的同时，对 Bose 的部分意见和偏振计数中的因子二提出了技术评论。支持一篇论文发表，与继续逐点讨论其中的论证，在同一封明信片里同时发生。

Einstein 接着将计数方法从光推广到有固定粒子数的理想物质气体。1924–1925 年的论文讨论了低温下最低能态的宏观占据，即后来称为 Bose–Einstein 凝聚的现象；它与 1907 年单个振子热激发被冻结，是不同的物理问题。

Einstein 给 Bose 的德文回信原件，肯定论文并说明已翻译送交发表 — Einstein 1924 年给 Bose 的德文回信S. N. Bose National Centre 档案 · 图像来源

Grossmann 的笔记与长期友谊

Marcel Grossmann 是 Einstein 在 Zürich 的同学。Grossmann 保存的整齐课堂笔记，曾帮助不太爱按课程安排学习的 Einstein 复习。Einstein 毕业后一度找不到稳定大学职位，Grossmann 的父亲又帮助推荐了 Bern 专利局的工作，Einstein 于 1902 年入职。

1912 年回到 ETH 后，他研究引力需要新的几何工具，又与已经担任数学教授的 Grossmann 合作。两人于 1913 年共同发表早期引力理论；当时的理论还不是 1915 年的最终广义相对论。两次帮助相隔十年，分别涉及职业机会和具体的数学合作。

一个只有几位朋友的“科学院”

在 Bern，Einstein 与 Conrad Habicht、Maurice Solovine 等朋友一起读科学和哲学书，还一本正经地给小圈子取名“奥林匹亚科学院”（Olympia Academy），带着对正式学术机构的调侃。专利局同事 Michele Besso 也是重要的讨论伙伴；Einstein 在 1905 年狭义相对论论文结尾，明确感谢过 Besso 的讨论与帮助。

Habicht、Solovine 与 Einstein 三人合照 — Habicht、Solovine 与 Einstein，“奥林匹亚科学院”的朋友们ETH 图书馆 · AIP 所载照片 · 图像来源

1921 年的奖，1922 年的祝贺信

Einstein 的奖项属于 1921 年度，但直到 1922 年才公布；Bohr 获得的是 1922 年度物理学奖。两人同在 1922 年秋收到消息。Einstein 当时前往远东和日本，未参加 Stockholm 的颁奖典礼。Bohr 在信中还介意，自己会比 Einstein 更早领到奖章和证书；Einstein 的回复则表达了对朋友的欣赏与亲近。这组通信由 Einstein 文集编辑项目公开。

Einstein 的诺贝尔物理学奖证书，奖项年度为 1921 年 — Einstein 的 1921 年度诺贝尔奖证书Public domain · 马普学会所载原件 · 图像来源

他在 ETH 教什么课

ETH 档案保存了课程记录：1912–1913 年冬季学期，他讲分析力学、热力学，并主持物理讨论班；随后的夏季学期讲连续介质力学、热的分子理论，也带讨论班。

这些记录可以确认他实际讲授过热力学和热的分子理论；课程名称本身并不能证明每一次课堂都讲了哪些量子理论细节。他在 1907 年热容论文中讨论的固体振动，则与当天分子热容共享按量子能级求热占据的计算方法。

理论物理学家的家用电器专利

课堂小问：除了相对论，Einstein 还与人合作设计过哪种家用电器：冰箱、洗衣机，还是吸尘器？

Einstein 与 Leo Szilard 共同申请过制冷装置专利。美国专利 US1781541A 的申请日期为 1927 年 12 月 16 日，授权日期为 1930 年 11 月 11 日，发明人一栏列着两人的名字。专利讨论的是利用吸收、蒸发和加热使工质循环的冰箱方案。

专利给出的一个例子用丁烷作制冷剂、氨作辅助气体、水作吸收液。氨进入蒸发器后降低丁烷的分压，促使丁烷蒸发吸热；水随后吸收氨，使丁烷能够在冷凝器中凝结。再加热含氨的溶液，把氨释放回循环。装置需要外部供热并向环境排热，从而把冷处的热量转移出去。

1930 年获授权的 Einstein 与 Szilard 制冷专利原图，保留发明人姓名与装置标号 — US1781541A：Einstein 与 Szilard 的制冷装置专利图美国专利原图 · 图像来源

接回热力学：这个方案用外部加热驱动制冷循环。可以接着问：为什么一边加热，另一处却能变冷？需要一起追踪蒸发处的吸热、向环境的放热，以及驱动循环所需的能量。

故事出处：美国原始专利 US1781541A；美国物理学会的历史介绍。

指南针、小提琴与帆船

Einstein 在回忆中讲过，四五岁时看到磁针总指向确定方向，曾为看不见的作用感到惊奇；十二岁时，一本 Euclid 几何小书又使他为证明的确定性着迷。这些是他成年后的回忆。AIP 的科学史资料也指出，他少年时数学表现突出；把他描述成“数学一直不及格的天才”，并不符合这些记录。

音乐是他长期的爱好。他拉小提琴，也喜欢航行。高等研究院档案保存了一张 1930 年的照片：Einstein 在 Berlin 的新犹太会堂参加慈善音乐会，琴和谱架就在面前。这里展示的是一场有记录的音乐活动，而非给“天才”附会的传说。

Einstein 拉小提琴参加 Berlin 新犹太会堂的慈善音乐会，1930 年 — Einstein 在 Berlin 参加慈善音乐会，1930 年作者不详 · 1930 年报刊照片，Public domain · 图像来源

急着取琴，却认错了合奏伙伴

课堂小问：Einstein 兴冲冲地回家取小提琴，准备回来合奏。等着他的客人，究竟是钢琴家、建筑师，还是物理学家？

1931 年初，Einstein 在 Pasadena 的一次聚会中初见建筑师 Frank Lloyd Wright，却误以为对方是音乐家。他兴奋地起身回家取小提琴，准备回来合奏；带着琴回来后，才知道 Wright 并不是钢琴家。巧的是，聚会所在的房子 La Miniatura，正是 Wright 为主人 Alice Millard 设计的。

这段经过见于建筑史研究者 Milton Cameron 在高等研究院网站发表的文章。它也给那张正式的音乐会照片添了一点生活气息：他对合奏的热情，有时比介绍彼此身份的速度还快。

故事出处：Milton Cameron，高等研究院所刊历史文章（2014）。

Chaplin 的大鞋子，Einstein 的方程

1931 年，Einstein 与 Elsa 受 Chaplin 邀请，出席电影《城市之光》（City Lights）在 Los Angeles 的首映。科学家与喜剧演员并肩出现的合影，留下了这次相聚的记录。

Chaplin 在 1933 年发表的旅行文章中，还回忆过在 Einstein 的 Berlin 家中签名的一幕：一个小舞者来索要签名，Chaplin 添上招牌大鞋的画，Einstein 则写下方程。两人拿着签名开玩笑：鞋子也许更容易看懂。此处依据该文的可追溯转引，不把它改写成首映现场的对话。

出处：Chaplin，〈A Comedian Sees the World—Part II〉，Woman’s Home Companion，1933 年 10 月，第 17 页；见 Quote Investigator 的原文转引与版本考证。网上常见的“大家都懂我，却不懂你”有不同归属与场景版本。

Einstein 与 Chaplin 身着礼服，出席 1931 年电影《城市之光》的 Los Angeles 首映 — Einstein 与 Chaplin，《城市之光》首映，1931 年刊于 Photoplay，1931 年 4 月 · 美国公有领域（版权未续展） · 照片与来源说明

72 岁生日：一张出人意料的照片

课堂小问：看到自己吐舌头的照片，Einstein 会希望它被删掉，还是希望多印几张？

1951 年 3 月 14 日，Einstein 庆祝 72 岁生日。庆祝活动后，他坐在汽车里，面对摄影师伸出了舌头；摄影师 Arthur Sasse 抓拍到这一瞬间。原照中，他身旁还坐着高等研究院前院长 Frank Aydelotte 和夫人 Marie；后来广为流传的，通常是只保留 Einstein 的裁剪版本。

Einstein 自己也很喜欢这张照片，还订印了多份。Christie’s 保存的签名照片记录，既展示了这张名照的完整场景，也记下了他对照片的喜爱。下面使用的是常见的单人裁剪版。

Einstein 在 1951 年 3 月 14 日、72 岁生日当天吐舌头，Arthur Sasse 摄，单人裁剪版 — Einstein 的 72 岁生日，1951 年 3 月 14 日（裁剪版）Arthur Sasse / International News Service · 美国公有领域（发表时未附版权声明） · 照片与来源说明

故事出处：Christie’s，1951 年签名照片记录。

脚疼，也先画一张图

1952 年秋，Princeton 鞋匠 Peter Hulit 应秘书 Helen Dukas 的请求，到 Einstein 家中处理鞋子磨脚的问题。Hulit 多年后受访时回忆，Einstein 先拿出一张折好的纸：上面画着两种受力情形，分别标为“bad”和“good”，比较压力集中在大脚趾、脚外侧，与较均匀分布的差别。

Hulit 量过脚后，判断需要更大的鞋，便为他试配了一双合脚的皮鞋。Einstein 随后在草图上签名，把它送给鞋匠；Hulit 保存了这张纸，后来还展示给采访者。故事来自当事人的晚年回忆，图纸则保留了他为日常小问题画示意图的痕迹。

家庭生活

1903 年，Einstein 与在 Zürich 求学时认识的 Mileva Marić 结婚。他们有女儿 Lieserl 和两个儿子 Hans Albert、Eduard；有关 Lieserl 的存在，后来公开的早期通信提供了直接证据。1914 年夫妇分居，1919 年离婚；同年，他与 Elsa 结婚。科学上的成就，与家庭关系的复杂经历，需要分别理解。

流亡者与 Lincoln 大学的学生

1933 年，Einstein 在纳粹掌权后不再返回德国，在美国高等研究院继续工作，并帮助遭政治迫害的学者。1946 年，他访问主要服务黑人学生的 Lincoln University，获荣誉学位，向学生讲相对论，并公开反对种族歧视。该校当年的校刊转载了学生刊物对访问的记述；照片与大学档案也保存了这次活动。

总统邀请与水管工的合伙建议

1952 年，Einstein 获邀出任以色列总统，婉言谢绝。两年后，他在公开表达对美国学术自由处境的忧虑时说，如果重新选择职业，宁愿当水管工或小贩，希望保有较多独立。纽约水管工 Stanley Murray 随后写信回应：自己的志向一直是做学者，既然 Einstein 想当水管工，两人不如合伙，把知识与独立结合起来，连公司的名字都想好了。

这封 1954 年来信及相关背景，由高等研究院档案研究文章介绍。这个玩笑背后，还有 Einstein 为遭受政治调查的教师与研究者发声的行动。

晚年与影响

1939 年，在 Szilard 等人的推动下，Einstein 签署给美国总统 Roosevelt 的信，提醒铀的链式反应可能导致威力巨大的武器。他的作用主要在这一预警与推动；不能把原子弹的研制归为他的个人发明。战后，他继续主张核裁军。

1955 年，Einstein 在去世前同意签署 Russell 发起的反战宣言；这份后来称为 Russell–Einstein Manifesto 的文件，于同年 7 月在他去世后公布。他于 4 月 18 日在 Princeton 去世。相对论重写时空与引力，光量子推进量子理论；布朗运动、量子热容和凝聚理论则把微观结构同可测量的宏观现象联系起来。统一场论的长期探索仍应与已获检验的成果区分。

资料与进一步阅读

生卒日期与学校任职：ETH 图书馆，Einstein 生平。
1951 年吐舌头照片与拍摄背景：Christie’s，Einstein 1951 年签名照片及完整场景说明；Arthur Sasse 所摄裁剪版与图像来源。
与 Chaplin 出席首映：Charlie Chaplin 官方传记，City Lights 一节。
签名故事的出处与不同版本：Quote Investigator；转引 Chaplin 1933 年的旅行文章。
误把 Wright 当成音乐家：Milton Cameron，高等研究院，Einstein 与建筑师们。
鞋匠 Peter Hulit 的回忆与草图：J. D. Reed，TIME，Einstein’s Feet（2005）；Christopher Turner，Cabinet，Feet of Genius（2006）。
奖项年度与授予时间：诺贝尔奖官方记录。
与 Bohr 的祝贺通信：Einstein Papers Project，Editors’ Picks。
指南针、几何与少年时期：AIP 科学史展览，Formative Years I。
朋友与奥林匹亚科学院：AIP 科学史展览，Formative Years III。
家庭与早期来信：Caltech，Digital Einstein 档案介绍。
1930 年的小提琴照片：高等研究院 Einstein 家庭档案，EB 074。
原子气体凝聚的实验图与解释：NIST，Bose–Einstein Condensation。
三维理想 Bose 气体的模型条件：Cambridge，Statistical Physics，Bose 气体讲义。
EPR 与 Bell 检验的现代背景：2022 年诺贝尔物理学奖，Popular Information。
1946 年 Lincoln 访问：Lincoln University Bulletin，当年校刊档案。
水管工来信与学术自由：高等研究院，Einstein, Plumbers, and McCarthyism。
流亡、公共生活与总统邀请：高等研究院，Albert Einstein: In Brief。
1939 年给 Roosevelt 的信：美国能源部，Einstein’s Letter。
1955 年反战宣言：Pugwash，The Russell–Einstein Manifesto。
辐射跃迁概率与受激辐射：Einstein 文集第六卷：1914–1917 年科学著作。
分子尺寸、辐射涨落与临界乳光：Max Planck 科学史研究所，Einstein 原论文专题。
磁化与机械角动量：ETH Zürich，Einstein–de Haas 效应。
相对论宇宙学：MIT，宇宙学常数与 Einstein 静态宇宙。
引力波的预言及早期修正：Max Planck 科学史研究所，One Hundred Years of Gravitational Waves。
1912 年笔记与 1936 年透镜论文：Einstein Online，引力透镜简史。
物体运动与场方程：Einstein–Infeld–Hoffmann，1938 年原论文及历史说明。
统一场论的目标与晚年研究：AIP 科学史中心，Einstein 的统一场论探索。
统一场论的具体路线与结果：Hubert Goenner，On the History of Unified Field Theories，Part II。
Bose 来信及回信原件：S. N. Bose National Centre，Bose 1924 年 6 月 4 日来信与 Einstein 7 月 2 日回信影像。
Einstein–Szilard，制冷装置原始专利。
工作地点与任职年份：ETH 图书馆，Einstein 生平。
专利局工作与 Grossmann 的帮助：ETH 校史研究。
1912–1914 年的实际授课记录：ETH 图书馆课程档案。
人物生平与代表性贡献：诺贝尔奖，Einstein 生平。
布朗运动：1905 年布朗运动原始论文。
固体热容：1907 年固体热容原始论文。
Bose 与 Einstein 的通信：Physics Today，Bose 与 Einstein 的通信背景。
现代统计物理背景：David Tong，Statistical Physics，第 3.5 节：Bose 气体与凝聚。
相对论：Einstein 诺贝尔演讲，相对论的基本思想与问题。
量子描述的完备性：Einstein–Podolsky–Rosen，量子力学描述是否完备？（1935）。

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08 · 10 月 19 日（周一） · Paul Ehrenfest、Tatyana Afanasyeva-Ehrenfest

统计力学的基础：熵、概率与量子理论

课程内容：Maxwell 的分布推导；分子运动论与气体压强；双原子气体的转动、振动与热容

课堂共看

随机移动一直不停，宏观系统为什么仍会靠近平衡？

Ehrenfest 夫妇共同研究统计力学基础，并合写百科全书长文。
Paul 于 1933 年提出一级、二级相变的热力学分类，并研究绝热原理与量子平均的动力学。
Tatyana 独立研究热力学的逻辑基础、熵与不可逆性，以及几何教育。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Paul Ehrenfest（1880–1933）

Paul Ehrenfest 是奥地利理论物理学家，研究统计力学基础、绝热原理和相变分类。他尤其擅长用简单模型、比喻和面对面的讨论，澄清物理理论中的关键假设。

Tatyana Afanasyeva-Ehrenfest（1876–1964）

Tatyana Afanasyeva-Ehrenfest 是数学家、物理学家和教育研究者。她与 Paul 共同撰写统计力学基础综述，也长期独立研究热力学的逻辑结构、熵与不可逆性，以及几何教学。

早年与求学

Paul 出生于维也纳，先后在维也纳和哥廷根学习，师从 Boltzmann，1904 年取得博士学位。Tatyana 出生于基辅，在圣彼得堡接受数学与物理训练，后来赴哥廷根求学。两人在共同听课、讨论数学的过程中相识，并于 1904 年结婚。

学术生涯

1904–1912：维也纳、哥廷根与圣彼得堡。Paul 博士毕业后留在维也纳研究，1906 年返回哥廷根，1907 年与 Tatyana 移居圣彼得堡，直到 1912 年。这一时期，他尚未获得固定的大学教职。夫妇继续研究统计力学，在家中组织物理讨论，并于 1911 年共同发表统计力学综述。

1912–1933：莱顿大学理论物理教授。Lorentz 原先希望邀请 Einstein 接替自己的讲席，但 Einstein 选择返回 ETH Zürich。Sommerfeld 等人推荐了 Paul；1912 年 9 月，Paul 获任莱顿大学理论物理教授，10 月到任，接替 Lorentz，并一直任职到 1933 年。他在莱顿建立定期的物理讨论班，培养学生、接待来访学者；Tatyana 则继续热力学研究，并组织数学教师讨论教学。

与 Einstein 在 Leiden 的联系。1914 年，Einstein 来访时与 Paul 讨论引力理论，留下的研究手稿上可见 Paul 的批注。1919 年，Paul 又推动邀请 Einstein 到莱顿兼职任教；1920 年 10 月 27 日，Einstein 以《以太与相对论》为题发表就职演讲，开始以特聘教授身份定期短访。这一职位与 Paul 原有的理论物理讲席并行，也与 Einstein 当时在 Berlin 的任职并行。

主要学术贡献：两人的共同工作

夫妇共同追问的是：可逆的微观运动，怎样与有方向的宏观热现象联系起来？他们一方面检查 Boltzmann、Gibbs 理论中的概率假设，另一方面用简单随机模型研究平衡、涨落与回归。

1. 澄清统计力学的基础：1911 年共同综述
在《数学科学百科全书》的综述中，两位作者系统审视 Boltzmann 和 Gibbs 的理论。研究不只问如何算平均值，也问时间平均、系综平均、概率假设和可逆力学之间究竟有什么联系。

$\overline A=\lim_{\tau\to\infty}\frac1\tau\int_0^\tau A(t)\,\mathrm dt,\qquad \langle A\rangle=\int A(\Gamma)\rho(\Gamma)\,\mathrm d\Gamma$
这里 $A$ 是所关心的物理量，$\tau$ 是观察时间；左边沿同一体系的运动轨道作时间平均，右边在相空间中按概率密度作系综平均。$\Gamma$ 表示相空间点，$\rho(\Gamma)$ 是归一化的概率密度。两种平均的相等需要适当动力学条件；不能仅凭“粒子很多”就自动断言严格遍历。
2. 用简单随机模型讨论不可逆性：Ehrenfest 罐模型
两只盒子之间随机移动有标签的球，可展示粒子数趋向平衡、涨落和回归。模型中的随机规则是人为设定的，因此它阐明统计不可逆性的机制，而不是从确定性牛顿方程直接完成推导。

$P_{\rm eq}(n)=2^{-N}\binom{N}{n}$
这里 $N$ 是总球数，$n$ 是其中一盒的球数；$\binom{N}{n}$ 计数给定球数下的不同配置，$2^N$ 是所有配置的总数。接近两盒各占一半的配置最多，因此具有较大的统计权重。每次随机选一个球换盒，上式是离散时间链的平稳分布，直接收敛还需注意周期性。

他们研究的核心困难之一，是怎样把微观变化与宏观平衡联系起来。用两个盒子和编号小球可以体会一种相关的简单模型：每一步随机选一个球，把它移到另一盒。如果一边有九个、另一边只有一个，下一步更可能从多的一边移走。到五比五后运动仍不停，平衡不是“所有小球不再动”，而是数量在典型范围内涨落。

Paul Ehrenfest 的独立贡献：相变与量子理论

Paul 的个人研究还涉及相变怎样分类、经典运动怎样连接早期量子规则，以及量子平均值怎样随时间变化。以下三项应与夫妇共同署名的统计力学基础研究分别看待。

1. 一级与二级相变：Ehrenfest 分类（1933）

Paul Ehrenfest 在 1933 年提出按热力学势的导数连续性区分相变：最低阶出现不连续的导数，决定相变的阶数。这一分类是 Paul 的个人成果；两人共同完成的统计力学基础研究见前文。

以固定粒子数的 Gibbs 自由能 $G(T,p)$ 为例，熵和体积是它的一阶导数，热容则涉及二阶导数：

$S=-\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_p,\qquad V=\left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_T,\qquad C_p=-T\left(\frac{\partial^2G}{\partial T^2}\right)_p$
- 一级相变：自由能连续，但至少一个一阶导数有跳变，例如熵或体积不连续。常压下冰的熔化、水的沸腾是典型例子；若熵有跳变，相变就伴随潜热。
- 严格的 Ehrenfest 二级相变：自由能及其一阶导数连续，但至少一个二阶导数有有限跳变，例如热容跳变。由于熵连续，这种相变没有潜热。
$L=T_{\mathrm{tr}}\Delta S$

这里 $T_{\mathrm{tr}}$ 是相变温度，$L$ 是沿所选相变方向吸收的潜热，$\Delta S$ 是对应的熵变化；热量与熵须采用相同的总量或摩尔量约定。一级相变的判据是一阶导数跳变，不能只检查有没有潜热。

从历史分类到现代连续相变

现代临界点常伴随响应函数发散、非整数幂奇异性等行为，不能一概归入“二阶导数有限跳变”的原始图像。因此，今天常用“连续相变”描述自由能一阶导数连续而临界行为仍非解析的转变；“二级相变”也常被较宽泛地用作它的同义词，但不应与严格的 Ehrenfest 二级分类完全等同。

Ehrenfest 提出的是热力学分类；Landau 后来通过序参量、对称性和自由能展开建立相变的现象学理论。标度理论与重整化群进一步解释涨落和普适性。分类方案与解释临界行为的理论，是相互联系的不同层次。
2. 连接经典轨道与早期量子理论：绝热原理

Ehrenfest 研究外部参数缓慢变化时保持不变的作用量，把绝热不变量与允许的量子态联系起来。这是旧量子论的重要组织原则，后来也启发了对量子绝热过程的系统研究；历史上的绝热原理与现代量子绝热定理应加以区分。
3. 连接量子平均与经典动力学：Ehrenfest 定理（1927）

量子力学中的位置、动量平均值满足与经典力学相近的运动关系，但平均力通常不等于平均位置处的力，因此并非所有波包都严格沿经典轨道运动。
$\frac{\mathrm d\langle x\rangle}{\mathrm dt}=\frac{\langle p\rangle}{m},\qquad\frac{\mathrm d\langle p\rangle}{\mathrm dt}=-\left\langle\frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle$
这里取一维哈密顿量 $H=p^2/(2m)+V(x)$。只有在势能形状或波包宽度等条件合适时，才可进一步近似为经典轨道。

Tatyana Afanasyeva-Ehrenfest 的独立贡献：热力学与几何教育

Tatyana 持续思考物理与数学中的概念如何建立：热力学的结论依赖哪些前提，学生又怎样从直观经验走向严格证明。研究与教学在她的工作中彼此联系。

1. 澄清热力学的逻辑结构：公理、熵与不可逆性

Tatyana 在共同综述之外长期独立研究热力学基础，分析哪些内容来自经验、哪些结论需要数学假设，特别关注熵、可逆性和过程方向的关系。这是一条持续发展的独立研究路线，关注热力学概念的逻辑基础。
2. 从直观出发理解证明：几何教育

她主张让学生从空间经验、图形和实际问题进入几何，再逐步理解公理化推理；并通过教师讨论推动这种教学方法。对她而言，直观与严格证明是学习过程中的互补环节。

Boltzmann 的学生：追问到老师叫苦

1899–1900 年，年轻的 Paul 在 Vienna 听 Boltzmann 讲授热的力学理论。此前，他对学校教育的体验颇为消极；Boltzmann 的课却重新激发了他对数学和物理的热情。1904 年，他在 Boltzmann 指导下完成博士论文，研究刚体在流体中的运动与 Hertz 力学。论文题目属于经典力学，统计力学则成为他此后长期追问的方向。

传记中还转述了两段课堂轶事：一次 Paul 对导师工作的介绍非常详尽，Boltzmann 打趣说，但愿自己也这样熟悉自己的工作；另一次，Paul 不断要求澄清问题，导师抱怨他简直要像挤柠檬一样把自己榨干。这些故事经后来的传记与文章转述，并非逐字课堂记录。

1906 年 Boltzmann 去世，Paul 为导师撰写悼文。后来夫妇共同完成的统计力学综述，继续审视导师留下的核心问题：从微观力学走向宏观热现象时，究竟增加了哪些概率假设？

数学俱乐部：从一条禁令到一段婚姻

Paul 与 Tatyana 在 Göttingen 听 Klein、Hilbert 的课时相识。Paul 发现她不来参加数学俱乐部，追问后才知道，原因是俱乐部不允许女性参加。他为此挑战规定，经过一番争论，促成了改变。两人的友谊也在共同学习与讨论中逐渐发展。

1904 年 12 月，他们在 Vienna 结婚。此后相继在 Vienna、Göttingen、St Petersburg 和 Leiden 生活。两人共同学习和研究，也需要寻找职位、抚养孩子和维持家庭。

Klein 的催稿：写综述，还是解决所有问题？

两人共同撰写统计力学综述之前，已合作研究罐模型。Felix Klein 随后邀请两人撰写百科全书综述，邀请明确包括 Tatyana。

这篇综述写得比预期慢，因为他们不断追究统计力学基础中尚未澄清的困难。Klein 后来提醒他们，任务是写一篇综述，并不要求夫妻俩亲自解决这个领域的全部问题。

两只狗与跳蚤：Paul 怎样讲不可逆性

Paul 后来把罐模型讲成两只狗之间跳来跳去的跳蚤：单次跳动没有偏好的方向，宏观数量却会向典型状态靠近。

回到当天的双原子气体，Paul 在 1913 年研究过转动热容问题。旧量子论时代，对氢气热容的理解经历了不少困难，后来的量子理论才逐步澄清。两人的合作与各自独立的工作应当区分：统计基础研究有共同成果，Paul 的具体热容论文则不是夫妇共同署名。

Einstein 来访：房子、奏鸣曲与钢笔

1912 年，Paul 在 Prague 初次与 Einstein 见面，两人很快成为朋友。他们既谈遍历性、引力等问题，也暂停讨论来合奏 Brahms 的奏鸣曲：Einstein 拉小提琴，Paul 弹钢琴。夫妇在 Leiden 的俄式住宅由 Tatyana 亲自设计，Einstein 后来频繁来访、借住；家中的谈话、音乐与物理讨论交织在一起。

1919 年，Paul 写信邀请 Einstein 到 Leiden，特别强调身边的朋友珍惜的是他这个人，也珍惜与他相处的生活。1921 年，Einstein 又送给 Paul 一件特别的礼物：自己用于撰写广义相对论研究的钢笔。这支笔后来由 Leiden 的 Boerhaave 博物馆收藏。

Paul 与 Niels Bohr 也有深厚友谊。1925 年 12 月，他让 Bohr 与 Einstein 在自己家中相聚，试图通过面对面的讨论澄清量子理论的分歧。

学生与年轻来访者：从下午讨论到自旋论文

Uhlenbeck 回忆，Ehrenfest 常常连续多个下午与一个学生深入讨论，逐篇读论文、追问细节。起初学生会累得筋疲力尽，经过这样的训练，却逐渐能与老师平等地工作。莱顿大学保存的博士学生名单中，有 Johannes Martinus Burgers、Hendrik Kramers、George Uhlenbeck、Samuel Goudsmit、Jan Tinbergen 和 Hendrik Casimir 等人。

Uhlenbeck 与 Goudsmit：鼓励发表电子自旋的想法

1925 年，Paul 让熟悉原子光谱的 Goudsmit 与 Uhlenbeck 一起工作。两人互相追问、互补所长，提出了电子自旋的设想。Goudsmit 在 1971 年回忆，老师鼓励他们发表这个有趣、但也可能出错的想法，还打趣说他们尚无名声可损失。这里讲的是提出自旋概念的历史，早期的小球转动图像不能直接等同于现代量子自旋。

Fermi：得到鼓励的年轻来访者

Goudsmit 的回忆还提到，Paul 注意到年轻 Fermi 的论文，请当时在 Italy 的 Uhlenbeck 去见他，并邀请他到 Leiden。Fermi 在此前的求学经历中颇受挫折，这次来访使他得到鼓励，也更有信心继续研究。他是与 Paul 密切交流的年轻来访者，博士学位并非由 Paul 指导取得。

Tinbergen：从物理博士走向经济学

Jan Tinbergen 于 1929 年在 Paul 指导下完成博士论文，题目是《物理学与经济学中的极小值问题》。他后来转向经济学，并与 Ragnar Frisch 共同获得 1969 年首届纪念诺贝尔经济学奖。

Oppenheimer：先想简单例子，再搬计算大炮

1928 年，Paul 写信欢迎年轻的 Oppenheimer 再访 Leiden，同时提出一个带着玩笑的要求：遇到问题，先认真想一个尽可能简单的例子，不要立即搬出巨大的计算大炮。他甚至说，如果对方准备继续动用数学重炮，那就暂时别来荷兰，因为他很喜欢这个年轻人，希望继续保持这份好感。

教师们各执一词：Tatyana 怎样看待讨论

移居 Leiden 后，Tatyana 组织数学教师讨论教学。面对大家难以达成一致的局面，Paul 对讨论的效果有所怀疑，她却认为教师开始讨论本身就是进步。她的几何教学主张从直观的空间探索出发，再走向严密论证。

家庭生活与最后的悲剧

夫妇共有四个孩子：女儿 Tanja、Galinka，以及儿子 Pawlik 和 Wassik。长女 Tanja 的正式姓名也是 Tatyana，后来成为数学家，阅读史料时需要与母亲区分。小儿子 Wassik 患有唐氏综合征，需要持续照护。

从他与朋友的通信来看，最迟到 1931 年 5 月，Paul 已表现出严重的抑郁与自我怀疑。那个月，他写信给 Bohr，形容自己仿佛已与理论物理失去联系，甚至难以继续阅读和理解新的论文与书籍。朋友们也越来越担心他的处境。

1932 年，Einstein 为此向 Leiden 大学校方写信，希望减轻朋友的工作负担。历史学家 Marijn J. Hollestelle 的研究将这封求助信记在 1932 年 8 月，并提到 Einstein 建议增设一位理论物理教授来分担工作。

研究上的不安、夫妻关系紧张、家庭照护与经济压力，以及欧洲政治局势的恶化，交织在 Paul 晚年的生活中。悲剧发生前，他曾为其他孩子日后的照料与生活作了安排，并处理财务事务。1933 年 9 月 25 日，他在 Amsterdam 开枪杀害了患有唐氏综合征、年仅 15 岁的小儿子 Wassik，随后自杀。这场家庭悲剧留下了妻子与其他孩子，也使朋友和学生深感震动。

1939 年，儿子 Pawlik 又在滑雪时遭遇雪崩去世。Tatyana 经历接连的丧亲与战争，仍继续研究、写作和推动数学教育，直到 1964 年去世。

战后的食品包裹：Einstein 与 Tatyana 的通信

Paul 去世后，Einstein 与 Tatyana 仍保持通信。二战后，他从美国接连给她寄食品包裹。Tatyana 最后在信中问，大意是：“你打算一直给我送吃的，直到我去世吗？”她还请他把包裹转寄给 Paris 的同事 Edmund Bauer。两人的通信一直持续到 Einstein 于 1955 年去世前。

资料与进一步阅读

Tatyana 的热力学基础研究：Leiden，Tatyana 的热力学研究。
Paul 的生平与学术工作：MacTutor，Paul Ehrenfest。
Tatyana 的生平与几何教育：MacTutor，Tatyana Afanassjewa。
共同综述与统计力学基础：1911 年综述与英文译本资料。
现代统计物理背景：David Tong，Statistical Physics。
量子平均与经典运动：Ehrenfest，关于量子力学中经典力学近似有效性的讨论（1927）。
相变分类的原始出处与历史：Tilman Sauer，A Look Back at the Ehrenfest Classification（含 Ehrenfest 1933 年原论文英译与评述）。
相识、数学俱乐部与生平：Dwight E. Neuenschwander，The struggles of Paul Ehrenfest（The SPS Observer，2013–2014；转述 Klein 等传记材料）。
Boltzmann 的课堂轶事与 Uhlenbeck 的教学回忆：Eric Johnson，The Perils of Being Paul Ehrenfest, a Forgotten Physicist and Peerless Mentor（The MIT Press Reader；传记与回忆的转述）。
Einstein 的来访、音乐与家庭讨论：Dirk van Delft，Albert Einstein in Leiden（Physics Today，2006）。
1919 年邀请信与钢笔礼物：Leiden University / Instituut-Lorentz，Einstein in Leiden。
圣彼得堡与莱顿的讨论班、1912 年到任：Leiden University / Instituut-Lorentz，Colloquium Ehrenfestii。
与 Einstein 的引力理论讨论、手稿批注与莱顿特聘职位：Leiden University / Instituut-Lorentz，Einstein papers。
自旋论文、Fermi 来访与学生眼中的老师：Samuel Goudsmit，The discovery of the electron spin（1971 年演讲；J. H. van der Waals 英译，回忆性史料）。
正式博士学生及论文题目：Leiden University / Instituut-Lorentz，Ph.D. students of P. Ehrenfest。
Tinbergen 后来的经济学工作：Jan Tinbergen，The Use of Models: Experience and Prospects（1969 年获奖演讲）。
Oppenheimer 的计算大炮、晚年书信与家庭悲剧：Dirk van Delft，Paul Ehrenfest’s final years（Physics Today，2014；依据通信档案）。
Einstein 向大学校方求助的时间与建议：Marijn J. Hollestelle，Ehrenfest en Einstein. Menselijke katalysator van het heldere denken（Studium 9，2016，26–50 页；相关叙述见第 49 页及注 133）。该文记为 1932 年 8 月；2024 年 Physics Today 文章则把这次求助与同年 9 月的探访相联系。
其他孩子的照料安排与晚年概述：Paul Ehrenfest，Final years（Wikipedia；与上述传记及通信研究对照阅读）。
Tatyana 的独立事业、家庭与战后食品包裹：Margriet van der Heijden，More is known about him than about her: Tatiana Ehrenfest-Afanassjewa（Physics Today，2024；依据家庭档案与书信）。本文故事中的中文引语为据英文所作的意译。

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14 · 11 月 11 日（周三） · Satyendra Nath Bose

重新计数光量子：Bose 统计的诞生

课程内容：期中讲评；理想 Bose 气体与 Bose–Einstein 分布；高温经典极限

课堂共看

相同光量子应怎样分配到可用状态？

从相同光量子的计数得到辐射定律，区分 Bose 的原始工作与 Einstein 的气体推广。
认识他在 X 射线研究、科学教育与本地语言传播方面的工作。
从一封来信、汽车里的统计笑话及 Paris 的语言误会认识这位研究者。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Satyendra Nath Bose（1894–1974）

印度理论物理学家，1924 年用新的光量子计数方法推导 Planck 辐射定律。Bose–Einstein 统计及 boson 的名称均与这项工作有关。

早年与求学

1894 年出生于 Calcutta，在 Presidency College 学习，1915 年获硕士学位。Meghnad Saha 是他的同学和合作者；两人参与翻译、介绍相对论等新物理学。

学术生涯

1916 年在 Calcutta 大学开始任教，1921 年到新成立的 Dhaka 大学任物理学 Reader。1924–1926 年赴欧洲访问，在 Paris 和 Berlin 学习并与研究者交流；1926 年回 Dhaka 任教授、物理系主任，建设 X 射线衍射、光谱和磁学等研究条件。

1945–1956 年任 Calcutta 大学 Khaira 物理教授。1956 年出任 Visva-Bharati 大学校长，后来继续参与科学组织与教育，1974 年在 Calcutta 去世。

主要学术贡献：光量子计数、实验研究与科学教育

1. 重新数光的状态：Bose 统计（1924）
对量子而言，给相同粒子交换标签不能产生新的物理状态。用现代占据数语言概括，Bose 的方法改变了给相同光量子逐一贴标签的经典计数，导出黑体辐射的统计结果；原论文使用的是相空间单元计数，不能把今天的全部形式都说成 1924 年已经写出。

$\bar n(\epsilon)=\frac1{e^{(\epsilon-\mu)/(k_{\mathrm B}T)}-1}$
这是后来推广到一般理想 Bose 气体的形式；平衡黑体光子的粒子数不守恒，$\mu=0$。对有粒子数约束的物质气体，化学势须由密度确定；取基态能量为零时，有限体系的正温度占据公式要求化学势严格小于零，凝聚时的零值是热力学极限。

Bose 粒子可以多重占据一个单粒子态，平均占据数不受费米子零或一规则的限制。这种统计性质影响光子、声子和低温原子气体，也是 Bose–Einstein 凝聚的前提。
2. 从辐射到物质气体：Bose–Einstein 理论
Einstein 将 Bose 的方法推广到有粒子数约束的气体，并预言凝聚。Bose 的关键贡献是统计计数；凝聚预言的具体推广则属于 Einstein 的后续工作，两者应在历史上区分。
3. 实验研究、统一场探索与科学教育
1924 年的统计论文是 Bose 最具开创性的科学贡献。他在欧洲希望学习放射性实验，并在 Maurice de Broglie 的实验室学习了 X 射线技术；回到 Dhaka 后组织光谱、衍射和磁学研究；晚年也尝试统一场论，但没有形成获得实验支持的统一理论。教学、实验室建设和孟加拉语科学传播应作为其广泛活动介绍，不能据此把几项工作都写成与 Bose 统计同等的理论突破。
研究依据：印度国家科学院，Bose 纪念传记。

Bose–Einstein 凝聚的原课程图 — 1995 年陷阱中稀薄原子气体的凝聚图像原课程材料

科学教育与传播：一本孟加拉语月刊

1948 年 1 月，Bose 参与创立 Bangiya Vijnan Parishad，并创办孟加拉语科学月刊《Jnan O Vijnan》（知识与科学）。杂志介绍能源、农业、水资源和工业等问题，同时出版科学读物。

这项工作延续了他在大学中的教学和研究组织活动：在 Dhaka 建实验研究条件，回到 Calcutta 后又把科学知识带到本地语言的读者中。

1924 年 6 月 4 日的来信

Bose 在 Dhaka 研究黑体辐射时，尝试直接从光量子的状态计数得到 Planck 定律。论文投稿遇到困难后，他在 1924 年 6 月 4 日写信给 Einstein，附上稿件，请对方判断并帮助发表。原信保存在 S. N. Bose 国家基础科学中心的档案中。

Einstein 把论文译成德文，送交《Zeitschrift für Physik》。论文没有沿用给粒子逐一贴标签的经典计数，而是处理相同光量子如何分配到可用状态。

Einstein 随后在自己的论文中把方法推广到粒子数固定的物质气体，1924–1925 年预言凝聚。因此，本课的 Bose 分布从光子计数发展而来，下一次课的凝聚则是推广后的结果。

“玻色子”中的名字

后来把服从 Bose 统计的一类粒子称为 bosons，中文译为“玻色子”。这个命名纪念的是统计方法的开创性贡献，不意味着 Bose 发现了今天列举的所有玻色粒子。

汽车前后座的两种统计

课堂小问：同一辆车，前后两排怎么会遵守不同的统计？

Dwarka N. Bose 在 2007 年《Physics Today》来信中，转述 Bose 的学生 Shyamadas Chatterjee 讲给他的往事。Dirac 夫妇访问 Kolkata、结束演讲后，被安排坐在汽车后排；Bose、Chatterjee 和另一人准备挤进前排。Dirac 请 Bose 到后面来，于是有人接了一句统计物理笑话：前面遵守 Bose–Einstein 统计，后面请遵守 Fermi–Dirac 统计。原文没有在这句话旁明确标出说话者，因此这里也不把台词固定归给某一个人。

笑话借用了两种占据规则：多个玻色粒子可以占据同一个单粒子态，相同费米粒子则受 Pauli 不相容原理限制。汽车前排的拥挤场面，让这个课堂概念有了一个生活中的比方。

故事出处：Dwarka N. Bose，2007 年转述；原文未明确指定笑话的说话者。

会一些法语，却没能及时说出口

课堂小问：敢给 Einstein 写信的人，面对 Curie 时会不会也有点紧张？

印度国家科学院的纪念传记记下，Bose 到 Paris 后希望在 Marie Curie 的实验室学习。Curie 强调先掌握法语；生性拘谨的 Bose 却没能及时说明，自己已经有一定法语基础。

这一片段来自传记和回忆材料。它给那位敢于写信给 Einstein 的年轻人添了另一面：面对著名实验室的主人，他也会不好意思开口。

故事出处：印度国家科学院，Bose 纪念传记，Paris 经历。

公式之外，他还拉 esraj

Bose 中心档案保存了他演奏 esraj 的照片，包括在 Mahalanobis 家庭纪念活动中的演奏。esraj 是一种弓弦乐器，不能把它直接写成西方小提琴。

照片为这项爱好留下了实物记录；介绍 Bose 时，除了“玻色子”的名字，还可以让学生认识一位参加音乐活动、关心语言和科学传播的人。

故事出处：Bose 中心档案，Photographs 项。

晚年与影响

1974 年在 Calcutta 去世。1995 年稀薄原子气体中的凝聚实验实现了 Bose–Einstein 理论的重要预言，也使七十年前的计数方法呈现出可直接观察的集体量子现象。

资料与进一步阅读

INSA，Bose 传记。
Dwarka N. Bose，Stories and statistics of Bose（2007）。
原始书信与论文档案：S. N. Bose 国家基础科学中心档案。
任教、访问与科学月刊：Bose 档案馆生平年表。
光量子计数与论文发表背景：Physics Today，Bose 统计背后的人。
人物生平：MacTutor，Bose 生平。
光量子计数的原始论文：Bose 1924 年原始论文。
Bose–Einstein 凝聚的实验发展：2001 年诺贝尔奖，原子气体凝聚。
现代统计物理背景：David Tong，Statistical Physics。

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16 · 11 月 18 日（周三） · Enrico Fermi

从量子统计到弱相互作用与核反应

课程内容：Fermi–Dirac 分布与理想 Fermi 气体；零温极限与费米能

课堂共看

每个完整单粒子态至多容纳一个费米子，会产生怎样的零温填充？

从不相容原理得到理想费米气体与零温简并压。
认识贝塔衰变、中子研究、宇宙线加速及早期计算实验。
用木桌与石蜡、落下的纸片和“回来的能量”穿插讨论实验与估算。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Enrico Fermi（1901–1954）

意大利出生的物理学家，同时从事理论与实验。1926 年建立理想费米气体统计；1938 年诺贝尔物理学奖则表彰中子辐照产生放射性及慢中子核反应的工作。

早年与求学

1901 年出生于 Rome，1922 年在 Pisa 完成博士研究。1923 年到 Göttingen 随 Max Born 研究，1924 年访问 Leiden 的 Paul Ehrenfest；1924–1926 年在 Florence 任教，量子气体统计工作在这一时期形成。

学术生涯

1926 年获聘 Rome 大学理论物理职位，芝加哥大学保存的任命文件注明 1927 年 1 月 1 日生效。其 Rome 团队成员包括 Edoardo Amaldi、Emilio Segrè 等，研究从原子理论扩展到中子实验。

1938 年携家人赴 Stockholm 领奖后离开意大利，1939 年在 Columbia 大学任教。1942 年在 Chicago 领导团队实现首个受控、自持核链式反应；1944 年到 Los Alamos。1946–1954 年任 Chicago 大学教授，参与核研究、加速器研究和研究生教学。

主要学术贡献：量子统计、弱相互作用与核物理

1. 建立弱相互作用的早期理论：贝塔衰变（1933–1934）
Fermi 把 Pauli 的中微子假说组织成定量的 $\beta$ 衰变理论，用相互作用描述核子转变以及电子和中微子的产生。这成为低能弱相互作用理论的出发点。以下用现代粒子记号表示自由中子的衰变：
$n\longrightarrow p+e^-+\bar{\nu}_e$
这一四费米相互作用描述适用于低能过程，后来被纳入电弱理论。
2. 建立费米气体统计：Fermi–Dirac 分布（1926）
Fermi 把 Pauli 不相容原理用于理想气体。低温时，粒子并不全部落入最低单粒子态，而是依次填满能级，形成费米海；温度升高主要改变费米能附近的占据。

$\bar n(\epsilon)=\frac1{e^{(\epsilon-\mu)/(k_{\mathrm B}T)}+1}$
$\mu$ 由粒子数约束确定。在 $T\to0$ 时，占据函数趋于阶跃。Dirac 同年从量子理论的交换性质得到相应统计。
3. 从慢中子到受控链式反应：实验核物理
Fermi 与团队研究中子诱发核反应，发现慢中子在许多核反应中特别有效；1938 年诺贝尔奖表彰了这些中子研究。1942 年，他在 Chicago 领导团队实现首个受控、自持的核链式反应，将核反应的理论判断、材料选择与实验控制结合起来。
4. 解释零温仍有压强：简并费米气体
费米子即使在零温也必须占据有限动量的态，因此具有动能和简并压。对三维、非相对论、两种自旋的自由费米气体，费米能由密度决定。

$E_F=\frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2n)^{2/3},\qquad P(T=0)=\frac25nE_F$
$n=N/V$ 是粒子数密度。相互作用、维度或相对论能谱改变时，公式也要改变。
5. 用局域密度描述电子：Thomas–Fermi 模型
Fermi 善于先判断哪些尺度最重要，再决定需要多精细的计算。Thomas–Fermi 模型用局域电子密度近似描述原子和多电子体系，是把费米气体思想用于非均匀物质的早期方法。
6. 宇宙中的粒子怎样被加速：Fermi 加速（1949）
Fermi 提出，高能带电粒子与运动中的磁化云反复散射，统计平均后可能从云的宏观运动中获得能量。这是后来称为二阶 Fermi 加速的机制；现代激波处的一阶加速是后续发展，不能把所有现代宇宙线加速理论都归给 1949 年的原模型。
研究依据：Fermi，On the Origin of the Cosmic Radiation（1949）。
7. 用计算机追问热化：Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou 问题
早期非线性振子链计算发现，在特定初态、非线性强度及观测时间内，能量会近似回到最初的振动模。Mary Tsingou 的编程与计算贡献不可省略。这项工作使热化、近可积性与长时间动力学成为可以通过数值实验追问的问题，而不是普遍否定能量均分。
研究依据：Los Alamos，FPU 报告节选及计算贡献记录。

Trinity 试验中的纸片估算

课堂小问：不用精密仪器，几张落下的纸片能提供什么信息？

Fermi 既能做理论，也重视实验和估算。一个有他本人记录的片段发生在 1945 年 Trinity 试验：他观察空气扰动对落下纸片的影响，作出一次粗略的强度估计。这项估算发生在核武器研制过程中，依赖模型假设，属于粗略估计。

“Fermi 式问题”通常将缺少完整数据的问题拆成若干可以估计的量，再检查单位和尺度，作出数量级估算。

对理想费米气体，给定粒子数和体积后，可以根据每个完整单粒子态至多容纳一个费米子的规则，估算零温下填满的动量空间范围与费米动量。

故事出处：Fermi 本人的 Trinity 现场记录；数量级估算。

从 Stockholm 继续前往 New York

1938 年意大利颁布反犹种族法。Laura Fermi 出身犹太家庭，Fermi 为妻子和孩子的安全考虑移居。12 月，全家前往 Stockholm 参加诺贝尔颁奖，随后经英国赴美国，没有返回 Rome。

1939 年 1 月抵达 New York 后，他在 Columbia 开始新的教学研究，并与 Herbert L. Anderson 等人合作。这里的 Herbert L. Anderson 与后面介绍的凝聚态物理学家 Philip W. Anderson 是不同的人。

战后到 Chicago 任教的 Fermi 继续亲自参与实验和计算，也培养研究生。其职业经历横跨 Italy、欧洲访问机构与美国大学，理论统计和核物理实验都贯穿其中。

电脑中的“弦”为什么又振回去了？

课堂小问：把能量交给一个振动模，计算机一定会看到它均分吗？

1950 年代初，Fermi、John Pasta、Stanislaw Ulam 用 Los Alamos 的 MANIAC 计算机研究一个问题：把能量集中给一条有弱非线性相互作用的振子链的一种振动模式，系统会不会逐渐走向各模式的能量均分？Mary Tsingou 编写程序并运行计算，1955 年报告在致谢中明确记下了她的贡献；今天常称它为 Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou 问题。

意外的是，在他们研究的条件和时间范围内，能量扩散到其他模式后，又大幅回到最初的模式附近。研究原本想追踪趋向均分的过程，却遇到近似复现。这个结果没有否定热力学，而是把非线性、初态、时间尺度与热化条件变成了具体可计算的问题。

故事出处：Los Alamos，原报告与 Tsingou 致谢。

换一张桌子，计数率为什么就变了？

课堂小问：在中子源和样品之间加一块材料，信号一定会变弱吗？

1934 年 Rome 团队发现，银样品在木桌上接受中子照射后，诱发放射性比相同条件下的大理石桌面强。随后把石蜡放在中子源与样品之间，也观察到明显增强。

Fermi 博物馆的实验回顾解释，木材、石蜡及水中的氢能在碰撞中有效减慢中子；慢中子对这里研究的核反应更有效。改动看起来像是在“挡住”中子，结果却使活化更强。

故事出处：Fermi 博物馆，慢中子诱发放射性展览。

晚年与影响

1954 年在 Chicago 去世。量子统计、弱相互作用与核反应共同构成其学术遗产。他将理论、实验与数量级判断结合，既改变了对微观相互作用的认识，也影响了凝聚态、天体物理与核技术。

资料与进一步阅读

Fermi 博物馆。
Fermi，On the Origin of the Cosmic Radiation（1949）。
Los Alamos，FPU 原始报告节选与 Tsingou 致谢。
任命原件与学术档案：Chicago 大学，Fermi 文献目录。
1938–1939 年迁居的家庭背景：Chicago 大学图书馆展览。
1946–1954 年教职与研究：Chicago 大学纪念介绍。
人物生平与中子研究：诺贝尔奖，Fermi 生平。
弱相互作用、核物理与研究生涯：美国能源部，Fermi 生涯。
Trinity 试验中的数量级估算：Fermi，Trinity 现场记录。
费米气体统计：Fermi 1926 年理想气体量子化论文。
现代统计物理背景：David Tong，Statistical Physics。

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19 · 11 月 30 日（周一） · Lev Davidovich Landau

用序参量和准粒子理解物态

课程内容：Landau 能级、轨道抗磁性与磁场中的电子

课堂共看

带电粒子在磁场中的轨道为何形成离散能级？

用序参量和准粒子连接相变、超流、超导与费米液体。
介绍 Landau 能级、阻尼、非绝热跃迁和磁化动力学的不同问题。
通过理论基础考试和讨论班的“消防员”，了解严肃训练之外的学派生活。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Lev Davidovich Landau（1908–1968）

苏联理论物理学家，1962 年诺贝尔物理学奖表彰他对凝聚态、特别是液氦的开创性理论。研究包括轨道抗磁性、相变、超流、费米液体和等离子体。

早年与求学

1908 年出生于 Baku，先在当地求学，后转到 Leningrad 大学，1927 年毕业。1929–1931 年在欧洲访问研究，多次到 Copenhagen，与 Niels Bohr 交流，并一直把 Bohr 视为重要导师。

学术生涯

1932–1937 年主持 Kharkiv 物理技术研究所理论部门，并在当地高校教学。与 Evgeny Lifshitz 等人合作写作教材，组织讨论班和理论基础考试。

1937 年应 Pyotr Kapitza 邀请到 Moscow 的物理问题研究所主持理论研究。1938–1939 年被捕入狱，获释后继续研究。1962 年严重车祸结束了正常科研活动，1968 年去世；其学派的研究者随后建立了 Landau 理论物理研究所。

主要学术贡献：序参量、准粒子与动力学

1. 用序参量描述相变：Landau 理论
在临界点附近，先识别相变涉及的对称性和序参量，再写出允许的自由能展开。对称性决定哪些项可以出现，系数变化决定平衡态。它给出相变的统一语言，但忽略涨落的平均场近似在某些维度会失效。

$F(m)=F_0+a(T)m^2+bm^4+\cdots$
这里假设零场下具有 $m\to-m$ 对称性；$b>0$ 时，$a(T)$ 变号可产生连续的平均场转变。

1950 年，他与 Vitaly Ginzburg 将序参量思想用于超导，建立含复序参量及其与电磁场耦合的自由能理论。Ginzburg–Landau 理论描述超导的空间变化、界面与磁响应，不能只归于 Landau 一人。
2. 解释液氦的超流：激发与临界速度
Landau 用声子和 roton 等集体激发描述液氦，分析流动何时能够通过产生激发而损失能量。能谱由此决定一个运动学阈值。

$v_c=\min_{p>0}\frac{\epsilon(p)}{p}$
该判据针对激发产生的能量条件；实际临界速度还可能由涡旋、边界和缺陷限制，因而更低。
3. 用准粒子描述相互作用费米系统：Landau 费米液体
即使粒子相互作用很强，低能激发也可能与自由费米子的激发一一对应，只是具有重整化的质量和相互作用。Landau 的准粒子图像使许多金属和液态氦同位素的低温性质得以理解。

$C_V\propto T\qquad (T\ll T_F)$
这是正常 Fermi 液体的典型低温行为；量子临界体系和其他非 Fermi 液体不能直接套用。
4. 量子化磁场中的轨道运动：Landau 能级与抗磁性
Landau 发现带电粒子在均匀磁场中的横向轨道运动形成离散能级，由此解释自由电子气的轨道抗磁性。这一能级结构后来成为磁振荡与量子霍尔效应的基本出发点。
$E_{n,k_z}=\hbar\omega_c\left(n+\frac12\right)+\frac{\hbar^2k_z^2}{2m},\qquad\omega_c=\frac{|q|B}{m}$
这里取三维非相对论自由粒子，$n=0,1,2,\ldots$，并省略自旋 Zeeman 能；沿磁场方向仍可自由运动。
5. 没有碰撞也能衰减：Landau 阻尼
Landau 研究等离子体中的集体波，指出波可通过与速度接近相速度的粒子交换能量而衰减。在适当稳定的分布下，即使忽略碰撞，集体电场也会因相位混合而变弱；这不等同于微观动力学失去可逆性。
6. 能级接近时怎样跃迁：Landau–Zener 问题（1932）
当两个量子能级在随时间改变的参数下发生避免交叉，演化能否保持绝热取决于能隙和扫动速度。Landau 与 Zener、Stueckelberg、Majorana 等人的独立研究形成这一经典问题；其常用简单公式有两能级及扫动规律等适用条件。
研究依据：Landau 论文集，1932 年碰撞中能量转移论文。
7. 磁化不是只会静止排列：Landau–Lifshitz 动力学（1935）
Landau 与 Lifshitz 用进动和耗散项描述铁磁体磁化方向的演化。它把静态磁自由能与磁畴、磁共振等时间依赖问题连接起来；后来 Gilbert 的阻尼写法是后续发展，不能把所有形式都称为 1935 年的原式。
研究依据：Landau 原始论文目录，1935 年与 Lifshitz 的磁性工作。

Ioffe 回忆中的一次统计物理考试

课堂小问：解法与老师预想不同，进展又慢，结果会怎样？

Boris Ioffe 的本人回忆记载，1947 年他打电话给 Landau，希望成为学生，次日被邀请参加数学考试。通过之后，还要分门准备理论物理课程，参考书既有教材，也有英文、德文原始论文。

一次统计物理考试中，Ioffe 采用了 Landau 没有预料的解法，进展缓慢。Lifshitz 中途也来看过；Landau 继续留出时间。最终 Ioffe 得到正确答案，Landau 检查推导后认可了它。1949 年 6 月完成最后一门考试后，Ioffe 被列入学生名单。

Ioffe 还记录了讨论班的实际安排：轮到报告的人需讲清新一期《Physical Review》中指定论文的思路、计算和实验方法，听众会当场追问。考试和讨论班是两个相连但不同的训练环节。

故事出处：Ioffe，Landau’s Theoretical Minimum。

科学之外的险境

1938 年 Landau 被捕入狱，Kapitza 等人努力营救，他于次年获释。1962 年又在严重车祸中受伤，未能赴 Stockholm 领奖。

从自由电子到 Fermi 液体

当天课程的 Landau 能级来自电子在磁场中的轨道量子化，给出轨道抗磁响应；它与前次课的自旋顺磁响应有不同来源。

1950 年代的 Fermi 液体理论则研究一类有相互作用的费米系统：费米面附近仍有长寿命准粒子，但有效质量与相互作用参数已经改变。低温热容的线性关系可以保留，系数不必等于自由电子结果。这一理论有适用条件，并非所有金属都属于 Fermi 液体。

Landau 讨论班里来了一位“消防员”

课堂小问：一个准时开始的物理讨论班，为什么突然要“消防疏散”？

Boris Ioffe 的回忆记录，Landau 讨论班通常准时开始，Arkady Migdal 却有时享有几分钟的特殊宽限。一次讨论班进行中，一名戴头盔、穿消防服的人进来，要求众人离场，声称这里要举行消防训练。Lifshitz 起身争辩，但听众还是开始离座。

随后那人摘下头盔和用于改变鼻子外形的细线，大家才发现是 Migdal 的恶作剧。这段恶作剧由讨论班参加者 Ioffe 记述，与基础考试、论文报告和固定的每周讨论班一同出现在他的回忆里。

故事出处：Ioffe 本人回忆。

晚年与影响

1968 年去世。序参量、准粒子和对称性仍是理论物理最常用的语言，但每一种有效理论都必须结合能量尺度、维度与涨落来判断适用性。

资料与进一步阅读

Landau 原始论文目录，1935 年与 Lifshitz 的磁性工作。
Landau 论文集，1932 年碰撞中能量转移论文。
Ioffe 回忆，收入 Under the Spell of Landau。
教职、Bohr 交流与政治经历：YIVO 研究百科，Landau 传记。
考试与讨论班的本人回忆：Boris Ioffe，Landau’s Theoretical Minimum。
1962 年之后学派与研究所的建设：Isaak Khalatnikov，Landau 研究所回忆。
Moscow 研究所的历史：Kapitza 物理问题研究所。
人物生平与主要贡献：诺贝尔奖，Landau 生平。
理论学派与个人经历：Lifshitz 等，Landau 生平与学派。
主要研究的原始文献：Landau 原始论文目录。
现代统计物理背景：David Tong，Statistical Physics。

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17 · 11 月 23 日（周一） · Philip Warren Anderson

多者异也：集体行为的新规律

课程内容：低温 Fermi 气体、Sommerfeld 展开、热容与简并压

课堂共看

在理想费米气体之外，无序和相互作用怎样改变电子传播？

从自由电子出发，追问无序与相互作用怎样改变传播和低能激发。
补全超交换、杂质模型、正交灾难、规范场质量机制及共振价键。
从 Bell 的实验问题、日本围棋和一个局域扰动讲到集体响应。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Philip Warren Anderson（1923–2020）

美国凝聚态物理学家，研究无序、磁性和强关联电子。1977 年与 Nevill Mott、John H. Van Vleck 分享诺贝尔物理学奖，获奖工作涉及磁性与无序体系的电子结构。

早年与求学

1923 年出生于 Indianapolis。1940 年进入 Harvard，第二次世界大战期间从事雷达相关工作，战后回校，1949 年随 John H. Van Vleck 完成博士研究。

学术生涯

1949–1984 年在 Bell Laboratories 工作。1967–1975 年同时在 Cambridge 任教；1975 年起兼任 Princeton 教授，1984 年离开 Bell 后转为 Princeton 全职教授，1996 年荣休，2020 年去世。

与合作者研究磁性杂质、自旋玻璃、量子自旋液体和电子局域化。1979 年与 Elihu Abrahams、Don Licciardello、T. V. Ramakrishnan 发表局域化标度理论论文，将电导的尺度变化作为核心问题。

主要学术贡献：无序、磁性、强关联与涌现

1. 无序能否阻止传播：Anderson 局域化（1958）
电子即使没有经典意义的障碍，也可能因随机势造成的量子干涉而局域化。局域态的波函数在空间中衰减，不能像扩展态那样输运电荷。其结论与维度、无序强度、对称性及相互作用条件有关。

$|\psi(\mathbf r)|\sim e^{-|\mathbf r-\mathbf r_0|/\xi}$
$\xi$ 是局域长度，$\mathbf r_0$ 是局域中心。这是局域态包络的示意表达，并非所有无序体系都必然绝缘。
2. 理解规范场为何出现能隙：凝聚态中的质量机制（1963）
Anderson 借助等离子体与超导体说明：当集体相位运动与规范场耦合时，物理激发谱不必保留一个独立的无能隙相位模。凝聚态中的具体例子，为后来理解规范理论的质量机制提供了重要先导；这里的“质量”指相应激发的能隙结构。
3. 从局域磁矩到强关联：Anderson 杂质模型
用一个带局域相互作用的电子能级与导带杂化，描述磁性杂质怎样形成局域磁矩，以及它与周围电子如何相互影响。这为 Kondo 问题和更广泛的强关联电子研究提供了基本模型。

他还发展 Kondo 问题的 poor man’s scaling：逐步消去导带边缘的高能态，追踪低能有效耦合怎样改变。这是把尺度思想用于量子杂质的重要方法；弱耦合流动揭示强耦合趋势，并不等于普通微扰已经给出完整强耦合解。
研究依据：Anderson，A poor man’s derivation of scaling laws for the Kondo problem（1970）。
4. 探索量子自旋液体与高温超导：共振价键思想
Anderson 提出并发展用许多自旋单态配对构型的量子叠加描述强关联磁体，并与合作者探索掺杂后产生超导的可能性。共振价键思想推动了量子自旋液体与强关联研究，是重要的研究路线；它不能直接写成已经统一解决高温超导机制的定论。
5. 研究无序中的集体冻结：自旋玻璃
Anderson 与 Edwards 提出用随机竞争相互作用研究自旋玻璃。普通磁化可能为零，但局部自旋仍能在长时间尺度上冻结，因此需要超越均匀磁化的序参量。

$q_{\rm EA}=\frac1N\sum_i[\langle s_i\rangle^2]_{\rm dis}$
$[\cdot]_{\rm dis}$ 表示无序平均，热平均应在选定的平衡纯态或相应冻结态意义下理解。
6. 认识不同尺度的组织原则：多者异也

1972 年的《More Is Different》讨论科学层级与涌现：知道微观定律，还需要发现宏观组织原则。这篇文章不是否定微观理论，而是强调对称性破缺、集体激发和新的有效规律不可省略。
7. 非磁性离子怎样传递磁耦合：超交换（1950）
Anderson 把经由中间非磁性离子的虚跃迁整理为有效自旋相互作用，为理解绝缘体中的反铁磁性提供了重要理论。相互作用的大小与符号依赖轨道、电子占据和交换过程，不能把一切超交换都简单等同于同一种反铁磁耦合。
研究依据：Anderson，Antiferromagnetism. Theory of Superexchange Interaction（1950）。
8. 一个局域改变，为何影响整个费米海：正交灾难（1967）
在费米海中加入局域散射势，即使每个单粒子态的变化很小，宏观多体基态的重叠仍可能在热力学极限中趋零。这使“只改一个局部位置”和“多体状态几乎不变”成为不同的判断，也与吸收边奇异性和量子杂质动力学相联系。
研究依据：Anderson，Infrared Catastrophe in Fermi Gases with Local Scattering Potentials（1967）。

一个磁共振实验引出局域化问题

课堂小问：一项具体的磁共振实验，为什么会引出普遍的无序传播问题？

Anderson 在诺贝尔演讲中回顾，1956 年 Bell 新理论部门成立后，他与 David Pines、Elihu Abrahams 讨论 George Feher 在硅中施主杂质上的低温磁共振实验。实验涉及磁性弛豫以及自旋激发能否在杂质之间传播。

随机环境能否完全阻止传播，成为可以单独研究的问题。1958 年的论文《Absence of Diffusion in Certain Random Lattices》建立随机格点模型，分析局域化。研究起点包含具体材料实验，最终得到可以脱离该实验单独计算的模型。

本次课从费米面附近激发计算低温热容。Anderson 的工作接着追问：加上无序或局域相互作用，电子仍能像自由粒子一样传播吗？理想费米气体是比较的起点，并不是 Anderson 提出的模型。

故事出处：Anderson 本人诺贝尔演讲。

1972 年的文章与 1979 年的合作

1972 年，Anderson 在《Science》发表《More Is Different》，讨论对称性破缺以及不同尺度需要的物理概念。这篇文章提出的是对研究组织和解释层次的看法，与局域化论文中的具体模型结论不同。

1975 年转任 Princeton 后，他仍与 Bell 同事合作。1979 年四位作者的标度理论论文把无序电子的研究推进到电导如何随系统尺度变化；它与 1958 年论文是相隔二十余年的两项工作。

到日本访问，还学会了围棋

课堂小问：围棋中的一颗新棋子，会不会改变远处的局势？

1953–1954 年，Anderson 到日本访问，与 Ryogo Kubo 等当地物理学家交流，妻子 Joyce 和女儿 Susan 也一同前往。这趟访问还让他开始长期下围棋。William Brinkman、N. Phuan Ong 与 Patrick Lee 的纪念文记载，他达到业余初段，并在 2007 年获得日本棋院的终身成就表彰。

同事的纪念文把围棋列为他终身的兴趣。日本访问期间，他还与当地理论物理学家讨论反铁磁、自旋和磁共振等研究问题。

故事出处：Brinkman、Ong、Lee 的同行纪念文；棋局问题是课堂类比。

晚年与影响

2020 年去世。局域化、强关联与涌现仍是凝聚态物理的核心问题。

资料与进一步阅读

Anderson，Infrared Catastrophe in Fermi Gases with Local Scattering Potentials（1967）。
Anderson，Antiferromagnetism. Theory of Superexchange Interaction（1950）。
Brinkman、Ong 与 Lee，Anderson 同事纪念文。
Bell、Cambridge 与 Princeton 的任职：Princeton 校方专访与纪念资料。
局域化问题的实验起点：Anderson 本人诺贝尔演讲。
1979 年局域化标度理论：Abrahams 等原始论文。
人物生平与获奖贡献：诺贝尔奖，Anderson 生平与研究。
无序局域化：局域化原始论文（1958）。
涌现与科学层级：More Is Different（1972）。
自旋玻璃：Edwards–Anderson 自旋玻璃模型。
规范场的质量机制：Anderson，Plasmons, Gauge Invariance, and Mass（1963）。
共振价键与高温超导：Anderson，The Resonating Valence Bond State in $\mathrm{La}_2\mathrm{CuO}_4$ and Superconductivity（1987）。

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24 · 12 月 16 日（周三） · Lars Onsager

从输运互易关系到二维 Ising 精确解

课程内容：补充：二维 Ising 模型；Peierls 论证、Kramers-Wannier 对偶与临界温度

课堂共看

二维 Ising 的精确解怎样改变平均场的临界预言？

比较近平衡互易关系与二维 Ising 精确自由能两项不同成果。
涵盖液晶、介电反应场、磁振荡、量子涡旋及湍流工作。
从补写博士论文、登门挑错和黑板上先公布的公式讲研究经历。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Lars Onsager（1903–1976）

挪威出生的理论物理化学家。1968 年诺贝尔化学奖表彰不可逆热力学的互易关系；二维 Ising 模型的精确解是他在统计物理中的另一项代表作。

早年与求学

1903 年出生于 Oslo，1925 年在 Trondheim 完成化学工程学位。1926–1928 年在 ETH Zürich 随 Peter Debye 研究电解质理论，随后赴美国。

学术生涯

1928 年先在 Johns Hopkins 工作，同年到 Brown 任化学教师，1933 年转到 Yale。1934 年任助理教授，1935 年才取得 Yale 博士学位；1945 年任 J. Willard Gibbs 理论化学教授。

在 Yale 长期研究输运、Ising 模型、液晶与流体。1972 年转到 University of Miami，1976 年去世。他横跨化学、物理与数学的研究，与其化学教席和工程训练并行。

主要学术贡献：互易关系、精确解与流体统计

1. 把不同输运过程联系起来：Onsager 互易关系（1931）
靠近平衡时，热流、粒子流等通量可写成热力学力的线性组合。微观可逆性对交叉响应系数施加对称约束，解释一种驱动力为何会诱发另一种输运过程。

$J_i=\sum_jL_{ij}X_j,\qquad L_{ij}=L_{ji}$
后一式适用于无时间反演破缺场且所选变量具有相同时间反演宇称的情形；更一般情况需用 Onsager–Casimir 关系。
2. 精确看见非平均场临界行为：二维 Ising 模型（1944）
Onsager 求得零外场正方格点最近邻 Ising 模型的自由能，显示热容在临界点对数发散。这是涨落改变平均场预言的决定性范例。一般非零外场模型并未因此被完整求解。

$\sinh(2K_c)=1,\qquad K_c=\frac{J}{k_{\mathrm B}T_c}$
式中采用各向同性铁磁耦合 $J>0$；临界条件依赖具体格点和相互作用。
3. 用磁振荡测费米面：Onsager 关系
电子轨道在磁场中量子化，许多量随逆磁场呈周期振荡。振荡频率与费米面垂直磁场方向的极值截面积相联系，使宏观测量成为读取动量空间几何的工具。

$F=\frac{\hbar}{2\pi e}A_{\rm ext}$
$F$ 是相对于 $1/B$ 的振荡频率，$A_{\rm ext}$ 为极值截面积，$e>0$ 为元电荷。
4. 仅靠排斥也能有序：硬棒液晶理论
对于足够细长的硬棒，取向一致虽减少转动自由度，却能显著减少排除体积、增加平移构型数。Onsager 说明总熵的竞争可以驱动各向同性相到向列相的转变，揭示“有序”并不总要依赖吸引能。
5. 用统计力学研究流动：二维涡旋
Onsager 把二维点涡旋当作统计体系，研究其能量、熵与大尺度组织。在适当受限的点涡旋模型中，高能区可出现负绝对温度并倾向于同号涡旋聚集。这里的温度属于涡旋自由度，不是把普通流体冷却到绝对零度以下。
6. 液体会反过来作用于分子：Onsager 反应场（1936）
把极性分子置于连续介质空腔中，分子偶极极化周围介质，介质的反应场又作用回分子。Onsager 用这一自洽图像改进对极性液体介电性质的理解。它与 Debye 的稀薄气体取向模型有关，但包含不同的局域场近似。
研究依据：美国国家科学院，Onsager 传记与论文目录。
7. 从量子涡旋到湍流耗散
除二维点涡旋统计外，他还提出超流体中环量量子化的思想，并研究湍流在无黏极限中的能量耗散与速度场粗糙性。后来数学与实验的进展使这些问题继续发展；量子涡旋、二维点涡旋和三维湍流应当分清模型与自由度。
研究依据：NTNU，Onsager 手稿档案，Liquid Helium 与 Hydrodynamics。

信号对逆磁场周期振荡的教学示意，不是实验数据 — 磁场中的量子振荡本课程绘制 · 教学示意

已经任教，还要补写博士论文

课堂小问：没有博士学位的人，能先成为助理教授吗？

Onsager 到耶鲁任职时，还没有博士学位。他在 1934 年成为助理教授，1935 年才正式获得学位。美国国家科学院的传记记载，有人建议他用已有论文满足要求，他却选择重新写一份，研究 Mathieu 方程及相关函数。

新论文的数学内容让化学与物理方面的同事感到棘手，最后请数学家 Einar Hille 帮忙评判。Hille 认可了工作，最终学位由化学方面推荐授予。

1952 年，他研究磁场中电子的量子振荡，把振荡周期与费米面截面积联系起来。实验能测到随磁场变化的振荡，理论则把它译成动量空间的几何信息。

故事出处：美国国家科学院，Onsager 传记。

Brown 的课堂上遇到合作者

同事记录过 Onsager 在 Brown 讲课不易听懂的情形：数学推导快，又常背向听众在黑板上写。有一位新听众 Raymond Fuoss 能跟上，还指出过一个需要补上的单位矢量。

Fuoss 后来成为他的学生与合作者，1932 年两人发表电解质不可逆过程研究，此后在 Yale 继续合作多年。课堂记忆来自旁观者回忆，合作关系则有发表论文的记录。

本次课从 Peierls 论证和 Kramers–Wannier 对偶进入二维 Ising 临界温度。Onsager 的零场精确自由能进一步给出热容的对数奇异，不能把它扩展成一般外场下二维 Ising 模型也已解出。

年轻来客先指出问题，后来成为 Debye 的助手

课堂小问：拜访名教授时先指出推导错误，接下来会发生什么？

1925 年，刚完成化学工程学业的 Onsager 到 Zürich 拜访 Debye。他关注 Debye–Hückel 电解质理论在电导计算中的一个问题：推导允许周围离子作 Brownian 运动，却把中心离子当作匀速直线运动，处理方式不对称。若中心离子也能像邻居一样运动，计算会改变。

Longuet-Higgins 与 Fisher 的传记记载，Onsager 提出了修正；Debye 在 1926 年聘他为研究助手，随后还向学界介绍他的结果。这个经历既是青年研究者与名家的交往，也通向 Onsager 后来持续研究的电解质输运问题。

故事出处：美国国家科学院，Onsager 传记。

公式先写到黑板上，完整证明后来才发表

课堂小问：一个公式已经写在黑板上，是否等于完整证明已经公开？

美国国家科学院传记记载，1948 年 Onsager 曾在 Cornell 的黑板上写出二维 Ising 自发磁化公式，1949 年在 Florence 的会上又公布这一结果，并提到与 Bruria Kaufman 的工作。

完整推导并未随那次公布一起发表；1952 年杨振宁给出了著名的已发表推导。讲这则故事时，要分清 1944 年自由能精确解、稍后的自发磁化结果，以及不同研究者在证明中的贡献。

故事出处：Longuet-Higgins 与 Fisher，Onsager 传记，第 207–208 页。

晚年与影响

1976 年去世。互易关系、Ising 精确解与磁振荡关系分别用于研究非平衡输运、相变和金属电子结构。

资料与进一步阅读

任教地点与生平档案：NTNU，Lars Onsager Archive。
教职年表、博士论文与 Fuoss 合作：Longuet-Higgins 与 Fisher，Onsager 传记。
输运互易关系：互易关系原始论文。
二维 Ising 模型：二维 Ising 模型原始论文。
磁振荡与费米面：Onsager，Interpretation of the de Haas–van Alphen effect（1952）；期刊页面。
生平与获奖贡献：诺贝尔奖网站，生平与研究。

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20 · 12 月 2 日（周三） · Nicolas Léonard Sadi Carnot

热机效率的极限由什么决定？

课程内容：Carnot 循环、第二定律与热力学势；Maxwell 关系与第三定律

课堂共看

给定高温与低温热源，所有热机的效率受到什么共同限制？

比较同一对热源之间的热机，理解可逆效率的上限。
区分 1824 年的热质说、身后笔记与现代绝对温标的表达。
从让弟弟试读的小书、音乐与运动爱好，以及同名侄子认识 Carnot。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Nicolas Léonard Sadi Carnot（1796–1832）

法国军事工程师、热力学先驱。1824 年出版《关于火的动力及适于发展这种动力的机器的思考》，研究热机效率的普遍限制。他没有担任大学教授，主要研究在军职与独立学习期间完成。

早年与求学

1796 年出生于 Paris，父亲 Lazare Carnot 是军事工程师、数学家和政治人物。1812 年进入 École Polytechnique，1814 年转入 Metz 的军事工程学校，接受工事、力学与数学训练。

学术生涯

毕业后作为工程军官从事工事检查、绘图和报告等工作。1819 年转到 Paris 的参谋系统，获得较多独立学习时间，听课、阅读，并考察工厂与蒸汽机。

1824 年在 Paris 出版热机研究的小书。1828 年离开军职，此后继续研究，未再发表同等规模的著作；1832 年在霍乱流行期间去世，年仅三十六岁。其思想后来经 Clapeyron、Kelvin、Clausius 等人发展，进入现代热力学。

主要学术贡献：可逆循环与热机效率的普遍限制

1. 给定两热源温度，热机效率的上限是多少？
可逆热机在同一高温热源和低温热源之间工作时具有相同效率，任何不可逆热机都不能超过它。这个结论把热机性能从具体材料和机器结构中抽离出来。

$\eta_{\rm C}=1-\frac{T_c}{T_h}$
这是以现代绝对温标表示的结果，$T_h>T_c>0$。Carnot 当时使用热质理论，不能把全部现代热力学表述直接放回 1824 年。
2. 用理想循环理解可逆性：Carnot 循环
两段等温过程与两段绝热过程构成理想循环。这里还要求没有摩擦等耗散，传热温差在可逆极限中趋于零；仅仅进行得很慢，并不能保证可逆。每一步都能沿同一路径反向进行，由此比较不同热机，并理解不可逆性为何降低效率。

$\frac{Q_h}{T_h}=\frac{Q_c}{T_c}$
$Q_h,Q_c$ 分别是可逆循环吸入和放出的热量大小；这一关系采用现代热力学解释。
3. 把工程问题转化为普遍原理
Carnot 没有只问怎样改进一台机器，而是问所有热机共同受到什么限制。这种从具体工程对象提炼不可能性原理的方法，后来成为热力学的基本风格。

热与功：手稿中的思考与历史边界

Carnot 的手稿包含对热与机械功关系的思考，但能量守恒和熵的成熟形式属于后续发展。

让弟弟试读的一本小书

课堂小问：讨论蒸汽机极限的书，为什么先请不做同一研究的弟弟读？

弟弟 Hippolyte 的回忆记载，两兄弟在 Paris 同住时，Sadi 把手稿的部分段落交给他读，检验不从事同一研究的人能否理解。1824 年发表的著作讨论的不是某个蒸汽机零件，而是热从高温到低温时产生动力的限制。

Hippolyte 后来撰写兄长传记，并保存部分研究笔记。这些回忆是了解 Carnot 家庭生活和研究过程的重要材料；1824 年正文与身后笔记属于不同阶段。

Carnot 当时仍用热质说讨论循环，假定热在过程中传递。现代热力学把热与功联系起来，并以绝对温度写出效率公式。可逆性和循环比较保留下来，热的解释则经历了修正。

故事出处：Hippolyte Carnot 的兄长传记与原著英译。

先是军官，后被物理学记住

他在军事工程学校受训，毕业后的实际工作包括检查工事和绘制图纸。到 Paris 后，他也到车间与工厂了解蒸汽机，阅读当时的工程与物理资料。

本次课先比较热机循环，再讨论第二定律和热力学势。Carnot 提供的是可逆效率的起点；熵、热力学势及 Maxwell 关系则是后续热力学发展中的概念。

名字来自诗人，家里还有另一位 Sadi Carnot

课堂小问：一个是热学家，一个是法国总统，检索时怎样分清？

Hippolyte 的传记说明，父亲 Lazare 为儿子取名 Sadi，是为了纪念喜爱的波斯诗人 Saadi。这一家后来还出现了另一位 Sadi Carnot：Hippolyte 的儿子 Marie François Sadi Carnot，于 1887 年成为法国总统。他是热学家 Sadi 的侄子，两人相差一代；检索画像和传记时很容易遇到同名者。

弟弟还记下了 Sadi 的日常兴趣：他拉小提琴，研究音乐理论，去 Louvre、剧院和自然史场馆，也练习击剑、游泳、舞蹈和滑冰。Hippolyte 说，兄长不只把这些当消遣，还会琢磨其中的原理。这些生活细节保存在 Hippolyte 撰写的兄长传记中。

故事出处：France Mémoire，Carnot 家族档案展。

晚年与影响

Carnot 循环至今仍是教学中的理想参照。它的价值是标明可逆极限和温差的作用，而不是宣称现实机器可以在有限功率下恰好达到该效率。

资料与进一步阅读

France Mémoire，Carnot 家族档案展：同名的热学家与总统。
原著、笔记与弟弟的生平回忆：Carnot 原著英译与 Hippolyte Carnot 传记。
1812 年入学与家族档案：École Polytechnique 图书馆。
人物生平：MacTutor，Sadi Carnot 生平。
热机效率与可逆循环：Carnot 原著英译，Reflections on the Motive Power of Heat。
现代热力学背景：Tong，热力学与热机。
统计物理讲义：David Tong，Statistical Physics。

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22 · 12 月 9 日（周三） · Giorgio Parisi

在无序与涨落中寻找结构

课程内容：相变与临界现象；Ising 模型与平均场理论

课堂共看

在 Ising 平均场中加入随机、竞争的耦合，状态结构会怎样改变？

从 Ising 平均场走向自旋玻璃的多态与复制对称性破缺。
介绍 DGLAP、KPZ、随机量子化、随机共振及湍流多重分形。
通过鸟群的邻居、被质疑的计算机计划和噪声的意外作用展开故事。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Giorgio Parisi（1948 年生）

意大利理论物理学家，研究无序、临界涨落与复杂系统。2021 年获诺贝尔物理学奖的一半份额，表彰其发现从原子到行星尺度物理系统中无序与涨落相互作用的规律。

早年与求学

1948 年出生于 Rome，1970 年在 Rome 大学完成物理学学业，导师为 Nicola Cabibbo。早期研究粒子物理与场论，后来把相关方法用于统计物理。

学术生涯

1971–1981 年在 Frascati 国家实验室研究，其间访问 Columbia（1973–1974）、IHÉS（1976–1977）及 Paris 的 École Normale Supérieure（1977–1978）。这些是其 Frascati 任职期间的访问。

1981–1992 年任 Rome Tor Vergata 大学理论物理教授，1992 年转到 Sapienza 大学。与合作者开展自旋玻璃、随机动力学、并行计算及鸟群集体运动等研究。

主要学术贡献：无序、粒子物理与非平衡涨落

1. 描述自旋玻璃的多态结构：复制对称性破缺
自旋玻璃存在无序和竞争相互作用，低温状态不能仅用两个相反磁化的简单图像描述。Parisi 的方案在无限程 Sherrington–Kirkpatrick 模型中引入层级化的状态结构，解决了简单复制对称近似的不足。

怎样比较不同的平衡构型？
为比较在同一无序样本中取得的两个平衡构型，可以定义自旋重叠。重叠的概率分布记录状态之间的相似程度，从而比总磁化提供更多信息。

$q_{ab}=\frac1N\sum_i s_i^{(a)}s_i^{(b)},\qquad P(q)=\bigl[\langle\delta(q-q_{ab})\rangle\bigr]_{\rm dis}$
$a,b$ 表示同一无序样本中的两个独立热平衡副本。复杂的 $P(q)$ 是研究玻璃态组织的工具；有限维模型仍需分别分析。
2. 追踪部分子分布的尺度演化：Altarelli–Parisi 方程
Parisi 与 Guido Altarelli 研究高能散射中部分子分布怎样随探测尺度变化，将夸克和胶子的辐射、分裂与可观测的分布演化联系起来。这是微扰量子色动力学的基础成果之一，也是 DGLAP 演化理论的重要组成部分。
3. 描述界面的随机生长：KPZ 方程
Kardar、Parisi 与 Zhang 用连续方程研究随机生长界面。局部平滑、斜率导致的非线性生长与随机噪声共同决定长时间、长尺度行为，形成非平衡普适性的经典范例。

$\partial_t h=\nu\nabla^2h+\frac{\lambda}{2}(\nabla h)^2+\eta$
$h$ 是界面高度，$\nu$ 控制平滑，$\lambda$ 为非线性系数，$\eta$ 为随机噪声；常数平均生长速度已移去。
4. 用随机过程描述量子场：随机量子化
Parisi 与 Wu Yongshi 引入辅助的随机演化过程，使其平衡分布对应欧氏量子场论的路径积分权重。它把随机动力学、概率分布与量子场计算联系起来；辅助演化时间不等于物理时间。
5. 噪声有时帮助响应：随机共振
Parisi 与 Benzi、Sutera、Vulpiani 在简化气候模型中研究，噪声怎样帮助系统越过势垒，使弱周期信号的响应增强。早期论文分阶段发表于 1981–1983 年；不能把噪声越大越好当作结论，也不能把一个简化模型说成已经解释了完整气候系统。
研究依据：Benzi、Parisi、Sutera、Vulpiani，Stochastic resonance in climatic change（1982）。
6. 湍流不只有一个标度指数：多重分形
他与 Uriel Frisch 提出用一组不同局部标度描述湍流的间歇性，将强烈但稀少的事件纳入统计图像。这是关于湍流涨落的重要模型框架，不能把它直接等同于 Navier–Stokes 方程一般问题的严格解。
研究依据：Johns Hopkins，Parisi–Frisch 多重分形模型及原始文献。

用多台相机追踪罗马上空的椋鸟

课堂小问：鸟群保持队形，靠固定几米的距离，还是附近几只邻居？

Parisi 与 Michele Ballerini、Nicola Cabibbo、Andrea Cavagna、Irene Giardina 等合作者，用多台相机拍摄 Rome 的椋鸟群，重建数千只鸟的三维位置。研究把可见的鸟群形状转成个体间距、邻居数量和方向等统计数据。

2008 年的论文比较不同密度的鸟群，发现相互作用范围用附近鸟的数量描述，比固定米数的距离更合适；研究中的典型数目约为六至七个邻居。这是对所观测鸟群的统计推断，不能当作所有动物都遵守的精确规则。

鸟群由主动运动的个体组成，并非热平衡自旋玻璃。研究共用的是对许多相互作用个体及其集体统计性质的分析方法。

故事出处：Ballerini 等，2008 年原始观测论文。

低温熵出了问题，先检查哪一步？

Sherrington–Kirkpatrick 模型的简单复制对称近似，在低温给出不合理的负熵。Parisi 于 1979 年提出逐级打破复制对称性的方案，随后发展为描述多态层级结构的理论。

本次课以 Ising 模型和平均场为起点。普通铁磁模型的耦合趋向一致排列，自旋玻璃则加入随机正负耦合与竞争，不能只用一个均匀磁化描述全部状态。Parisi 的解针对无限程模型；有限维自旋玻璃需要另外分析。

为了做计算，先参与造一台电脑

课堂小问：如果计算专家说“机器也许造得出，程序写不出来”，怎么办？

1980 年代，Parisi 与 Nicola Cabibbo、Roberto Petronzio、Enzo Marinari 等人推动 APE 并行计算机项目，最初的重要用途是格点量子色动力学计算。普通解析方法处理不了的多自由度问题，需要大量数值运算，团队于是把研究延伸到了计算机的硬件与软件。

Parisi 在 Padova 大学 2023 年访谈中回忆，项目初期他和 Cabibbo 去 CERN 介绍方案，一位计算专家认为他们可能造得出机器，却写不出所需程序。Parisi 接着说，他们最终确实写成并长期使用这些程序；访谈也强调，这依靠后来加入的不同专长的合作者。

故事出处：Parisi，Padova 大学 2023 年本人访谈。

噪声会帮忙，一夜模拟却没有立刻换来发表

课堂小问：噪声总会淹没微弱信号吗？

合作者 Roberto Benzi 回忆，1980 年 2 月，他与 Angelo Vulpiani 做出早期随机共振模拟；他们正同 Parisi、Sutera 追问弱周期信号能否被非线性随机动力学放大。

Benzi 还记下，最初稿件曾被两种期刊拒绝，相关气候论文后来发表于 Tellus。这个故事的物理反转是噪声有时帮助响应，历史细节则来自参加者的回顾，而不是给 Parisi 一个人安排的一夜“灵光”。

故事出处：Benzi 本人，Stochastic resonance: from climate to biology（2010）。

学术影响

2021 年诺贝尔奖表彰其揭示无序与涨落相互作用的贡献。自旋玻璃方法还影响优化、信息处理和复杂系统研究，但将结论推广到其他问题时仍须检查模型与极限。

资料与进一步阅读

Benzi 本人回顾。
Johns Hopkins，Parisi–Frisch 多重分形模型及原始文献。
Benzi、Parisi、Sutera、Vulpiani，Stochastic resonance in climatic change（1982）。
Cabibbo 本人访谈：APE 并行计算项目的起源。
Padova 大学，Parisi 本人访谈（2023）。
Frascati、访问经历与 Rome 的两所大学：Parisi 本人履历。
椋鸟三维观测的原始研究：Ballerini 等，PNAS（2008）。
人物生平与获奖贡献：诺贝尔奖，Parisi 事实与贡献。
无序、涨落与复杂系统：2021 年诺贝尔物理学奖科学背景。
自旋玻璃与鸟群研究：2021 年诺贝尔奖科普，自旋玻璃与鸟群。
随机界面生长：Kardar–Parisi–Zhang 原始论文。
部分子分布的尺度演化：Altarelli–Parisi，Asymptotic Freedom in Parton Language（1977）。
研究经历与学术回顾：Parisi 诺贝尔演讲，无序、涨落及其研究联系。

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25 · 12 月 21 日（周一） · Leo Philip Kadanoff

一群自旋，能否看成一个新自旋？

课程内容：Landau 理论、序参量、临界指数与普适性

课堂共看

临界点附近，把许多小自旋看成一个块，会怎样改变有效相互作用？

用分块自旋理解尺度与普适性，并说明图画与有效计算的区别。
认识 Kadanoff–Baym、守恒近似、实空间重整化及复杂流动。
从未来导师就在同楼、计算实验课程和沙堆滑落引出故事。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Leo Philip Kadanoff（1937–2015）

美国理论物理学家，研究临界现象、多体动力学和复杂流动。1966 年提出分块自旋的标度图像，1980 年与 Michael Fisher、Kenneth Wilson 分享 Wolf 物理学奖。

早年与求学

1937 年出生于 New York，在 Harvard 完成本科与研究生学习，1960 年获物理博士学位。博士阶段完成分别与 Roy Glauber、Paul Martin 合作的两项研究，获得的是一个博士学位。随后到 Copenhagen 的 Bohr 研究所做博士后。

学术生涯

1962–1969 年在 University of Illinois at Urbana-Champaign 任教，1969 年到 Brown，1978 年到 University of Chicago。1982 年任物理与数学 MacArthur 讲席教授，先后两次主持材料研究中心。

2003 年荣休后继续在 James Franck Institute 活动，2007 年任美国物理学会主席，2015 年在 Chicago 去世。本科教学包括《Chaos, Computers and Physics》，1990 年获 Quantrell 教学奖。

主要学术贡献：分块标度、非平衡多体与复杂流动

1. 把许多自旋看成一个：分块思想（1966）
临界点附近，相关区域远大于晶格间距。将相邻自旋组成一个块，并赋予块一个有效变量，再观察放大后的体系。问题由“每个自旋怎样运动”变成“改变观察尺度后，哪些描述仍然重要”。
2. 解释不同体系为何相似：标度与普适性
粗粒化后，微观细节可能不再影响长距离行为。奇异自由能按照尺度变换组织，临界指数由少数标度维数控制。这给流体和磁体共享某些临界规律提供了共同图像。

$f_s(t,h)=b^{-d}f_s(b^{y_t}t,b^{y_h}h)$
$b>1$ 是长度重标度因子，$t,h$ 为约化温度与外场标度变量；这是临界附近的标度假设表达。
3. 把多体关联带入动力学：Kadanoff–Baym 方法
与 Gordon Baym 合作发展多体 Green 函数和非平衡方法，将关联、自能与守恒律联系起来。它与分块自旋侧重点不同，却同样是在寻找复杂体系的有效描述。
4. 研究复杂动力学：流体、界面与混沌
Kadanoff 将尺度、模型和数值实验的方法用于流体、界面及复杂动力系统，研究简单运动规则怎样形成多尺度行为。其工作把临界现象中形成的方法带到更广泛的非线性问题中。
5. 把分块图像变成递推计算：Migdal–Kadanoff 近似
Kadanoff 分析和推广 Migdal 的实空间递推，把移键、消元等步骤组织为可计算的重整化近似。这些方法在某些层级格点上有精确对应，在普通晶格上通常是近似；不能因图像直观，就把得到的全部临界指数当成精确值。
研究依据：Kadanoff，Notes on Migdal’s recursion formulas（1976）。

教学与科学训练

他设计“Chaos, Computers and Physics”等本科课程，把研究问题与计算实验带入课堂；1990 年获得 Chicago 的教学奖。

一群自旋，能否看成一个新自旋？

课堂小问：未来的导师和合作者，可能原来就是儿时邻居吗？

Kadanoff 的同事在纪念文章中记录了一个巧合：他在纽约成长的公寓楼里，也住着后来成为他导师的 Roy Glauber，未来的合作者 Gordon Baym 则住在附近。他后来在 Harvard 的博士阶段完成了分别与 Glauber、Paul Martin 合作的两项论文工作，获得的是一个博士学位。

1966 年，他提出研究 Ising 模型临界行为的分块思想。把许多小自旋分成小块，每块用一个新的变量代表，再问新变量之间应当怎样相互作用。

但图画的直观不等于计算已经完成。给每块按多数投票赋值只是课堂示意；要建立有效理论，还需处理被消去自由度的影响，也可能产生更多相互作用。Kadanoff 的贡献在于把尺度变化与临界规律清楚联系起来。这一思想用于解释不同微观体系在长距离上表现出的相同临界规律。

故事出处：Glauber、Baym 等同行的纪念文章。

把研究问题带到本科课堂

Chicago 的纪念资料特别提到 Kadanoff 的本科教学。他将混沌、计算和现代物理放到同一门课里，让学生通过具体模型研究相关问题。

分块思想与本次课的联系

当天从 Landau 理论的序参量和平均场临界指数出发，再比较不同体系的普适性。Kadanoff 的 1966 年工作给出尺度图像：把许多自旋组织成块，观察更长距离下有效变量和相互作用怎样改变。

多数投票只是分块的一种课堂画法。严格消去块内自由度时，可能生成原模型没有的多自旋和远程耦合；临界指数的计算还需要更完整的重整化处理。

一粒新沙，为什么可能引发大滑落？

课堂小问：一粒新沙总是只会让一粒沙移动吗？

Kadanoff 后来还研究过沙堆雪崩的计算模型。直观的问题是：慢慢添加颗粒时，有时只移动几粒，有时却引起一连串滑落，怎样比较这些事件的大小？1989 年，他与 Sidney Nagel、Lei Wu、Su-Min Zhou 合作，用一维和二维的元胞自动机模型研究雪崩分布及其随系统大小的变化。

他们还改变微观滑落规则，检查不同模型是否有同样的标度性质。结果并不是所有规则都给出同一种普适行为：论文发现了不同的普适类。论文比较的是具体的一维、二维理想模型，并区分了不同规则下的结果。

故事出处：Kadanoff 等，1989 年雪崩模型原始论文。

晚年的每周讨论班，继续把不同领域拉到一起

Chicago 校方纪念文介绍，Kadanoff 晚年长期组织 Computations in Science 讨论班，主动寻找能让物理、数学、化学、地学等研究者共同参与的问题。

同事与女儿的回忆还强调，他后期很看重培养年轻人、把合适的研究者带到一起。这与他把混沌和计算实验带入本科课程的做法相呼应，是研究生活中的另一项具体工作。

故事出处：Chicago 大学校方纪念，2015。

晚年与影响

2015 年在 Chicago 去世。分块自旋是介绍重整化群的常用图像，具体的有效相互作用仍需通过计算确定。

资料与进一步阅读

Kadanoff，Notes on Migdal’s recursion formulas（1976）。
Kadanoff 等，Scaling and universality in avalanches（1989）。
具体教职与本科课程：Chicago 大学校方纪念。
早年邻居与两项博士研究：Kadanoff 同事的纪念文。
分块自旋与标度：Kadanoff，Scaling laws for Ising models near $T_c$（1966）；期刊页面。

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27 · 12 月 28 日（周一） · Kenneth Geddes Wilson

重整化群与格点规范理论

课程内容：补充：Landau-Ginzburg 理论、关联长度与临界涨落

课堂共看

临界涨落跨越许多尺度时，有效耦合会怎样变化？

用固定点与相关方向解释临界规律和普适性。
涵盖算符乘积展开、格点规范理论与 Kondo 数值重整化群。
从等计算结果的插曲、少发论文的教职阶段和民间舞讲研究生活。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Kenneth Geddes Wilson（1936–2013）

美国理论物理学家，1982 年诺贝尔物理学奖表彰其相变临界现象理论。他把重整化群发展成计算多尺度问题的系统方法，也开创格点规范理论并发展数值重整化群。

早年与求学

1936 年出生于 Waltham，在 Harvard 读本科，1961 年在 Caltech 随 Murray Gell-Mann 获博士学位，早期研究粒子物理和量子场论。随后有欧洲核子研究中心等地的博士后经历。

学术生涯

1963 年加入 Cornell 物理系，在那里发展临界现象重整化群，与 Michael Fisher 合作。1974 年提出格点规范理论，随后推动并行计算及大学超级计算资源建设。

1988 年受聘 Ohio State University，继续从事理论与科学教育研究，参与教师培训和课程改革。2008 年退休，2013 年在 Maine 去世。

主要学术贡献：重整化群、场论与数值方法

1. 跟踪尺度变化：重整化群
依次消去短距离自由度并重标度，得到相互作用参数的流动。临界点对应固定点附近的行为，不同微观模型可以流向同一固定点，从而共享普适性质。

$\frac{\mathrm dg_i}{\mathrm d\ell}=\beta_i(\{g\})$
$\ell$ 表示尺度的对数，$g_i$ 为有效耦合。这里的 $\beta_i$ 是流函数，不是逆温度。

尺度改变时，哪些扰动会留下？
在固定点附近，某些扰动随粗粒化增强，必须调节才能到达临界；另一些扰动减弱，只影响短距离细节。这个分类解释为什么宏观临界行为只依赖少数参数。

$\delta g_i(\ell)\sim e^{y_i\ell}\delta g_i(0)$
$y_i>0$ 为相关方向，$y_i<0$ 为无关方向，$y_i=0$ 时需继续分析。分类是相对于给定固定点而言。写成指数形式前，应沿线性化流的本征方向选取扰动；边缘方向只靠线性项还不能判断。
2. 保持规范对称性地离散时空：格点规范理论（1974）
Wilson 把规范场论定义在离散时空格点上，以连接格点的变量描述规范场，并用闭合回路上的 Wilson 环研究规范不变的物理量。这使强耦合问题能够通过系统的近似与数值方法处理。
他在格点理论的强耦合极限中展示了夸克禁闭机制，为格点量子色动力学奠定基础；这一结果应与连续极限中的完整问题区分。
3. 组织短距离物理：算符乘积展开
Wilson 发展用局域算符的线性组合描述短距离算符乘积的思想。系数承载短距离奇异性，算符则保留可与长距离状态结合的信息；这一方法把尺度、反常维数和可观测关联联系起来，成为量子场论的基本工具。
$\mathcal O_a(x)\mathcal O_b(0)\sim\sum_c C_{ab}^{\ c}(x)\,\mathcal O_c(0)\qquad(x\to0)$
这里的 $\sim$ 表示在适当关联函数中的短距离展开，不是任意距离上普通函数的恒等式。
4. 跨越极不相同的能量尺度：数值重整化群
Kondo 问题中，局域磁矩与导带电子形成很低的特征能量。Wilson 对能量区间作对数离散并逐步迭代，展示数值方法也可以按照尺度组织，从而处理普通微扰难以覆盖的强耦合区域。

相关参数按 t′=2t 演化的简化示意，不代表完整模型计算 — 改变尺度后的参数本课程绘制 · 教学示意

Kondo 问题需要一层层降低能量

金属中的局域磁矩与导带电子耦合，在低温产生很小的特征尺度，普通低阶微扰难以贯穿整个温区。Wilson 以对数方式划分能量区间，把问题改写为逐步加入更低能自由度的计算。

每一步都对有效体系重新对角化，并保留合适的低能状态，接着计算下一尺度。1975 年的 Kondo 问题长篇论文系统说明数值重整化群；截断和离散是方法中的近似，需要检查。

当天课程讨论关联长度和临界涨落。临界点附近不能只修正一个固定大小的局部区域，重整化群要跟踪改变尺度后整套有效耦合如何流动。这与 Kondo 计算共享按尺度组织问题的方法，但模型和计算过程不同。

公式之外，还要建设计算条件

课堂小问：如果理论已经写出来，计算机却算不动，研究要停下来吗？

格点规范理论提出后，大规模数值计算需要更强的计算资源。学生 Paul Ginsparg 在 Cornell 纪念文中回忆，Wilson 很早便关注并行处理器和网络，并推动大学获得超级计算能力。

Cornell Theory Center 于 1985 年成为 NSF 支持的学术超级计算中心之一。到 Ohio State 后，他又参与 Project Discovery，组织科学和数学教师的培训；职业生涯后期的一部分工作由科研计算转向科学教育。

故事出处：Cornell，Ginsparg 对并行计算工作的回忆。

等电脑结果的空当，证明了一个猜想

课堂小问：等待电脑输出的时间，还能用来做什么？

Cornell 的纪念资料记下了一段计算机时代早期的插曲：Wilson 获博士学位后在 Harvard 做 Junior Fellow，使用 MIT 的计算机。等待机器输出结果的时间里，他证明了 Freeman Dyson 提出的一个数学猜想。这段经历发生在他后来以重整化群闻名之前。

他在生活中还喜欢民间舞。与 Alison Brown 的相识也发生在民间舞活动中；Brown 在 Cornell 的计算中心工作，后来两人结婚。因而在他的经历里，计算机既出现在物理研究和计算中心建设中，也与家庭交往的背景相连。

故事出处：Cornell 所载早年数学插曲。

论文很少的时候，Cornell 已给他长期职位

Cornell 纪念文回顾，Wilson 1963 年到校后，在发表成果还不多时便获得 tenure。他的诺贝尔自述也谈到，自己选择的量子场论问题难以迅速产出论文。

这段经历反映的是他在特定机构得到的长期研究支持；后来重整化群、数值 Kondo 方法与格点理论的成果，也使人们能够回看这种支持带来的影响。

故事出处：Cornell 纪念与 Wilson 诺贝尔生平自述。

晚年与影响

2013 年去世。他发展的重整化群方法广泛用于临界现象与量子场论，分析有效参数和物理规律随尺度的变化。

资料与进一步阅读

American Physical Society：Wilson 与 Alison 的舞会相识回忆。
1988 年聘任、2008 年退休与教育工作：Ohio State 物理系纪念。
学生对并行计算工作的回忆：Cornell 纪念文。
1985 年计算中心建设：Cornell Theory Center 历史。
人物生平：诺贝尔奖，Wilson 生平。
重整化群与临界现象：Wilson 诺贝尔演讲。
Kondo 问题与数值重整化群：Wilson，Kondo 问题与重整化群。
任教经历与学术回顾：Institute for Advanced Study，Wilson。
短距离物理与算符乘积展开：Wilson，Non-Lagrangian Models of Current Algebra（1969）。
格点规范理论：Wilson，Confinement of Quarks（1974）。

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28 · 12 月 30 日（周三） · Vadim Lvovich Berezinskii、John Michael Kosterlitz、David James Thouless

从涡旋配对到解束缚：BKT 相变

课程内容：课程总结与期末复习；综合题、答疑与机动补讲

课堂共看

二维体系没有常规长程序，是否仍能有不同的相？

先讲 BKT 的幂律关联、涡旋解束缚与普适刚度跃变。
分别介绍 Berezinskii 的一维局域化与奇频配对、Kosterlitz 的无序和动力学、Thouless 的输运与拓扑。
保留三人的不同经历：工业研究机构、攀岩与求职、Cornell 的实验课。

课后详读 · 完整故事与资料出处

人物简介

Vadim Lvovich Berezinskii（1935–1980）

苏联理论物理学家，1959 年毕业于 Moscow State University，随后在 Moscow Engineering Physics Institute 进行研究生学习。1963 年起在 Moscow Textile Institute，1968 年起在热工仪表研究机构工作，1977 年转到 Landau 理论物理研究所。

关于二维体系、刚度和拓扑缺陷的关键俄文论文发表于 1970、1971 年，英文译文分别发表于 1971、1972 年；这早于他进入 Landau 研究所。还研究一维局域化和奇频配对，1980 年因病去世。

John Michael Kosterlitz（1943 年生）

在 Cambridge 学习，1969 年在 Oxford 获高能物理博士学位，随后到 Torino 做博士后。1971 年到 Birmingham，与 David Thouless 合作；1973–1974 年在 Cornell，1974 年回 Birmingham 任讲师，1982 年到 Brown 任教授。

研究二维拓扑相变、无序和界面动力学，与 David Nelson 在 1977 年提出二维超流体刚度的普适跃变。

David James Thouless（1934–2019）

1955 年在 Cambridge 毕业，1958 年在 Cornell 随 Hans Bethe 获博士学位。曾在 Berkeley、Birmingham 和 Cambridge 工作，1965 年任 Birmingham 数学物理教授。1978 年离开，短期在 Yale 后于 1980 年到 University of Washington，2003 年退休。

研究量子多体、二维拓扑相变、局域化、量子霍尔拓扑与量子化输运。2016 年与 F. Duncan Haldane、Kosterlitz 分享诺贝尔物理学奖，2019 年去世。

三个人与一条理论线索

BKT 是 Berezinskii–Kosterlitz–Thouless 的缩写。Berezinskii 的先行研究与 Kosterlitz、Thouless 的独立合作前后衔接，三人不是同一篇论文的共同作者。

Berezinskii 已于 1980 年去世；2016 年诺贝尔奖授予 Thouless、Haldane 和 Kosterlitz。BKT 名称与该届获奖名单并不相同。

主要学术贡献：共同主题——BKT 理论的形成

Berezinskii 的先行工作与 Kosterlitz、Thouless 的合作共同构成理论脉络。下面先讲这条线索，再分别介绍三人的重要研究。

1. 二维也能有相变：涡旋配对与解束缚
在二维短程相互作用的平面自旋体系中，有限温度下可以没有普通的非零长程序参量，却仍通过拓扑缺陷发生相变。Berezinskii 的先行研究指出低温相的幂律关联、刚度及缺陷的重要性；Kosterlitz 与 Thouless 随后发展涡旋解束缚的定量理论。低温时涡旋与反涡旋形成束缚对，高温时自由涡旋增多，长距离关联迅速衰减。
2. 比较涡旋的能量与熵：BKT 机制
单个涡旋的能量随系统尺寸对数增长，可放置位置的熵也随尺寸对数增长。两者竞争提供理解相变的入口；完整理论还要考虑涡旋对屏蔽对刚度的重整化。

$E_v\simeq\pi\rho_s\ln(L/a),\qquad S_v\simeq2k_{\mathrm B}\ln(L/a)$
$\rho_s$ 是相位刚度，$L$ 是系统尺寸，$a$ 是短程截断；这里忽略涡芯的有限贡献，并采用相位角为整周周期、基本涡旋绕数为一的 XY 类模型。
3. 识别不同的临界行为：刚度跃变与相关长度
BKT 转变不具有普通幂律发散的相关长度。低温相具有准长程序，转变附近出现本质奇异性；普适刚度跃变是该理论后来发展出的重要可检验结果。

$\xi\sim a\exp\!\left(\frac{b}{\sqrt{t}}\right),\qquad t=\frac{T-T_{\rm BKT}}{T_{\rm BKT}}>0$
$b$ 是非普适正系数。上述结果属于 BKT 理论及其后续发展；普适刚度跃变由 Nelson 与 Kosterlitz 于 1977 年提出。

各自的重要工作：Vadim Berezinskii

1. 无序怎样阻止传播：一维局域化

Berezinskii 发展处理一维随机势中量子粒子运动的方法，为理解局域化和低频输运作出贡献。这是与二维涡旋相变不同的研究方向。

2. 扩展配对对称性的可能：奇频配对设想（1974）

在研究超流 $^3\mathrm{He}$ 时，他提出配对关联在相对时间反号时变号的可能性，后来成为奇频配对研究的起点。它是关于允许配对对称性的理论设想，不应写成已经确认的液氦配对机制。

各自的重要工作：Michael Kosterlitz

1. 研究随机相互作用：无序、自旋玻璃与局域化

Kosterlitz 与不同合作者研究随机体系、电子局域化和自旋玻璃，分析无序如何改变集体状态与临界行为。

2. 追踪物态怎样形成：界面与相变动力学

他与 Thouless、Jones 还在 1976 年研究球形自旋玻璃模型；这与二维涡旋理论是不同问题。他还研究熔化、凝固和生长中的动力学，包括相场模型与界面演化，把关注点从平衡相图扩展到物态形成的实际过程。

各自的重要工作：David Thouless

1. 用拓扑解释量子化输运：TKNN 工作（1982）

Thouless 与 Mahito Kohmoto、M. Peter Nightingale、Marcel den Nijs 将二维量子霍尔电导同占据能带的拓扑不变量联系起来。在非相互作用能带描述、零温且费米能位于能隙的条件下：

\sigma_{xy}=C\frac{e^2}{h},\qquad C\in\mathbb Z

$C$ 是占据能带的总 Chern 数，符号随取向约定。只要能隙不闭合，连续形变不会改变这个整数；这解释了量子化值的稳健性。

2. 在一个周期中输运整数粒子：Thouless 泵（1983）

他进一步表明，一维周期体系在参数缓慢循环变化时，可产生由拓扑整数决定的粒子输运。对完全填充且在整个循环中与其他能带隔开的非相互作用能带，严格绝热极限中的每周期输运粒子数是整数；电荷输运量还要乘以粒子电荷。这将静态能带拓扑推广到循环演化。

3. 边界响应与无序电子传播：Thouless 能量

Thouless 与 Edwards 等把能谱对边界条件的敏感性用作判断扩展、局域化和输运的工具。电子跨越样品的特征时间对应一个能量尺度，进一步联系到无量纲电导；这条研究线索与量子霍尔拓扑、绝热泵有关联，但并不是同一个结果。

研究依据：Edwards–Thouless，Numerical studies of localization in disordered systems（1972）。

Birmingham 的办公室与 Cornell 的一年

Kosterlitz 在自传中回忆，原本在做高能理论计算，几次发现类似结果已被其他研究者完成。他到同事办公室询问能研究什么问题，在 Thouless 处接触了薄氦膜、涡旋和二维晶体等陌生概念，随后转向统计物理。

两人于 1972、1973 年发表拓扑缺陷介导相变的研究。Thouless 在回忆中说，自己着重大图景，Kosterlitz 则检查论证漏洞并补上计算。

1973–1974 年，Kosterlitz 到 Cornell，与 Michael Fisher 及其学生 David Nelson 交流合作。后来与 Nelson 在 1977 年给出普适刚度跃变，使这里的故事也连接前面介绍的 Fisher 与临界现象研究。

Berezinskii 的先行探索

课堂小问：关于二维相变的先行工作，是否一定来自当时的顶尖理论所？

Berezinskii 并不是在进入 Landau 研究所后才完成二维相变工作。他先后在 Moscow Textile Institute 和热工仪表研究机构任职，直到 1977 年才进入 Landau 研究所；关于二维体系的关键论文早在 1970、1971 年就已发表。

同事们的纪念文章强调了他把清楚的物理问题与困难的数学计算结合起来的能力。他于 1980 年因病去世，年仅 44 岁。

故事出处：Abrikosov 等同事的 1981 年纪念文。

攀岩、CERN 申请与新的职位

课堂小问：一份没按时交齐的申请，怎么改变了研究方向？

Kosterlitz 学生时代加入 Cambridge 攀岩俱乐部，周末常去 Wales 或 Scotland。到 Torino 做博士后时，靠近 Alps 的地理条件也是他选择当地的重要原因。他曾认真考虑做职业登山者，最后继续学术工作。

申请 CERN 的 1971–1972 年博士后职位时，他未及时提交必要材料而未获录用。妻子 Berit 买来登有职位广告的英国报纸，他据此申请 Birmingham 的职位并获聘；后来与 Thouless 的合作发生在这里。

故事出处：Kosterlitz 本人诺贝尔生平自述。

Cornell 没做出正确结果的实验课

课堂小问：实验结果都不对，为什么最后还能拿到最高成绩？

Thouless 的本人及家人合写传记记载，Cornell 要求研究生做实验课。他回忆，实验结果似乎都不正确，但他能说明故障原因以及需要怎样改进，最终得到最高成绩，并获准免修第二学期。

在 Cornell，他还认识了学习生物学的 Margaret Scrase，两人于 1958 年结婚。多年后两人都在 University of Washington 工作，分别从事物理与生物医学相关研究。

故事出处：Thouless 本人及家人合写生平。

与课程总结的联系

本次课用于回顾相变与涨落。BKT 提供不同于普通 Landau 连续相变的例子：短程相互作用的二维连续对称体系，可以没有常规自发长程序，却保留低温幂律关联和有限刚度，并通过涡旋解束缚转变。

采用相位刚度的能量约定时，跃变满足 $\rho_s(T_{\rm BKT}^{-})=2k_{\mathrm B}T_{\rm BKT}/\pi$。超流数密度的写法需带上质量与 $\hbar$ 因子，不能混用。

Berezinskii 还问过，配对能否在时间上变号？

1974 年，Berezinskii 为超流氦-3 提出一个特别的配对构想：在特定自旋和空间对称性下，两粒子的配对关联可以对相对时间反号，等价地在频率上具有奇对称性。这就是后来称为“奇频配对”的想法。它把配对的分类从空间和自旋，扩展到了时间结构。

这一提案并不是氦-3 实际超流相的正确描述，却留下了一个可继续研究的问题。今天讨论超导异质结构中的奇频关联时，仍会提到 Berezinskii。这是他二维相变工作之外的另一条具体研究线索。

父子研究不同领域，却都在八十多岁成为院士

Kosterlitz 的父亲 Hans 是药理学家，参与发现体内的镇痛肽；儿子则研究二维相变。2026 年 Michael 获选 Royal Society Fellow 后，在 Brown 大学采访中提到，加入父亲曾经加入的学会，对他有特殊意义。

他还开了一个关于家族时间表的玩笑：父亲也是八十多岁才获选，看来晚年入选像是一项家庭传统。Brown 大学保存了这段本人采访。

Anderson 提来的一维问题，通向二维涡旋

Thouless 在 2012 年暑期学校报告摘要中回忆，1969 年 Anderson 曾问他：一维 Ising 链若有随距离平方反比衰减的长程相互作用，会发生什么？这个问题来自 Anderson 对 Kondo 效应的研究，改用畴壁描述后，会出现随距离对数变化的相互作用。

两年后，Thouless 与 Kosterlitz 在薄氦膜的正负涡旋之间也认出了对数相互作用，研究由此走向涡旋配对与解束缚。他同时明确写到，他们很快得知 Berezinskii 已先行完成相关工作。这条回忆把 Anderson 的提问、Birmingham 的合作与 Berezinskii 的先行论文连在了同一段研究经历中。

学术影响

Berezinskii 于 1980 年、Thouless 于 2019 年去世。BKT 理论研究二维体系中的拓扑缺陷与相变，量子霍尔研究则将能带拓扑与量子化电导联系起来。

资料与进一步阅读

Kosterlitz 与 Thouless 的无序系统工作：Kosterlitz–Thouless–Jones，Spherical Model of a Spin-Glass（1976）。
Thouless，Theory of BKT transitions: early work（2012），摘要第 26 页。
Brown University，Kosterlitz 2026 年本人采访。
Linder–Balatsky，Odd-frequency superconductivity（2019）。
Berezinskii 逐年任职：Abrikosov 等同事的 1981 年纪念文。
Berezinskii 任职与原始论文目录：Landau 研究所档案。
Kosterlitz 学位与 Brown 教职：Brown 本人研究主页。
Thouless、Margaret 与 Washington 的经历：University of Washington 纪念。
Berezinskii 的任职与研究经历：Berezinskii，Landau 研究所档案与论文目录。
二维经典体系与准长程序：Berezinskii，二维经典体系（俄文 1970；英文 1971）。
二维量子体系：Berezinskii，量子体系（俄文 1971；英文 1972）。
普适刚度跃变：Nelson–Kosterlitz，普适刚度跃变（1977）。
Thouless 的个人经历：Thouless，诺贝尔生平自述。
Kosterlitz 的攀岩与求职经历：Kosterlitz，诺贝尔生平自述。
Kosterlitz 与 Thouless 的合作：Kosterlitz–Thouless 原始论文（1973）。
量子霍尔电导与拓扑：TKNN，量子霍尔拓扑不变量。
拓扑物态与获奖背景：2016 年诺贝尔奖，拓扑与物态。
Berezinskii 的奇频配对设想：Landau 研究所，Berezinskii 1974 年奇频配对论文目录。
量子化绝热输运：Thouless，Quantization of Particle Transport（1983）。

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实验	怎样测量	线性响应	计算的平衡关联
电导	电场 \(\to\) 电流密度 \(j\)	\(\delta\langle j\rangle=\sigma E\)	\(\langle\Delta j(t)\Delta j(0)\rangle\)
交流磁化率	磁场 \(\to\) 磁化 \(M\)	\(\delta\langle M\rangle=\chi_m\delta H\)	\(\langle\Delta M(t)\Delta M(0)\rangle\)
介电 / 光吸收	电场 \(\to\) 极化 \(P_{\rm el}\) / 吸收	\(\delta\langle P_{\rm el}\rangle=\varepsilon_0\chi_e E\)	\(\langle\Delta P_{\rm el}(t)\Delta P_{\rm el}(0)\rangle\)
核磁 / 电子自旋共振	横向交变磁场 \(\to\) 磁化 \(M_\perp\) / 吸收	吸收由虚部 \(\chi_m^{\prime\prime}(\omega)\) 决定	\(\langle\Delta M_{\perp}(t)\Delta M_{\perp}(0)\rangle\)
热导	温度梯度 \(\to\) 热流密度 \(j_Q\)	\(\langle j_Q\rangle=-\kappa\,\partial_xT\)	\(\langle\Delta j_Q(t)\Delta j_Q(0)\rangle\)

实验	测量的线性关系	理论中的时间关联
电导测量	加弱电场，测电流密度：\(\delta\langle j\rangle_\omega=\sigma(\omega)E(\omega)\)。直流电导对应低频极限。	电流关联决定导电响应。
交流磁化率	加弱交流磁场，测磁化的幅度与相位：\(\delta\langle M\rangle_\omega=\chi_m(\omega)\delta H(\omega)\)。	磁矩关联联系磁响应与磁损耗。
介电响应与弱光吸收	加弱电场，测极化：\(\delta\langle P_{\rm el}\rangle_\omega=\varepsilon_0\chi_e(\omega)E(\omega)\)；损耗部分与光吸收相联系。	极化关联决定介电响应。
核磁共振与电子自旋共振（NMR/ESR）	在静磁场上叠加弱横向射频或微波磁场，探测共振吸收；横向指垂直于静磁场。吸收与磁化率的虚部 \(\chi_m^{\prime\prime}(\omega)\) 相联系。	磁矩关联包含共振频率、线宽与弛豫的信息。
热导测量	施加小温度梯度，测稳态热流密度：\(\langle\mathbf j_Q\rangle=-\kappa\nabla T\)。	Green–Kubo 关系用平衡热流关联的时间积分计算热导率。

Statistical Mechanics

9 月 30 日课堂签到

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A quote from Albert Einstein

布朗运动模拟

粒子扩散、状态数与熵

Josiah Willard Gibbs (1839-1903)

宇宙微波背景辐射

Bose–Einstein凝聚

Fermi–Dirac Distribution

从原子运动到熵：统计力学的奠基者

课堂共看

人物简介

Ludwig Boltzmann（1844–1906）

早年与求学

学术生涯

主要学术贡献：从微观运动到宏观热现象

1. 熵与第二定律的统计解释

第二定律为何具有统计意义？

2. 描述气体趋于平衡：Boltzmann 方程与 \(H\) 定理（1872）

3. 平衡分布与能量均分

经典二次自由度的能量均分

4. 早期系综工作（1884–1885）

5. 辐射定律：Stefan–Boltzmann 定律（1884）

原子是真实存在，还是理论构造？

加州游记：啤酒、英语与龙虾

Klein 的催稿术：你不写，就交给 Zermelo

晚年与纪念

身后的实验证据

资料与进一步阅读

从热机到熵：Clausius 与第二定律

课堂共看

人物简介

Rudolf Clausius（1822–1888）

早年与求学

学术生涯

主要学术贡献：熵、分子运动与平均关系

1. 描述热过程的方向：熵与第二定律

2. 建立热、功与内能的关系：热力学第一定律（1850）

3. 确定相共存曲线的斜率：Clausius–Clapeyron 关系

4. 解释扩散：气体动理论与平均自由程（1857–1858）

5. 联系平均动能与作用力：维里定理（1870）

1850 年：修正热质说，保留 Carnot 的可逆热机结论

1865 年：给 entropy 取个像 energy 的名字

1923 年：胡刚复创译“熵”

讲台之外：救护队与家庭

56 岁学骑马：从医生的建议到拿手本领

Clausius 之后的熵：从热过程到信息与时空

1. Boltzmann (1877)：数微观态

2. Gibbs (1902)：看概率分布

3. von Neumann (1927)：描述量子态

4. Shannon (1948)：消息的不确定性

5. Jaynes (1957)：由约束选择分布

6. Rényi (1961)：改变对不同概率的权重

7. Bekenstein–Hawking (1973–1975)：黑洞也有熵

8. 纠缠熵 (1986–1996)

9. Kitaev–Preskill / Levin–Wen (2006)：拓扑纠缠熵